基于凸优化及其求解软件的最低旁瓣方向图综合算法

基于凸优化及其求解软件的最低旁瓣方向图综合算法 Sep . 2009 2009 年 9 月西 安 邮 电 学 院 学 报 第 14 卷 第 5 期J OU RNAL O F XI’AN U N IV ERSI T Y O F POS TS AND T EL ECOMMU N ICA T ION SVol114 No15 基于凸优化及其求解软件的 最低旁瓣方向图综合算法 杨洁 () 西安邮电学院 通信系 ,陕西 西安 710121 摘要 :针对任意阵列天线的方向图综合问题 ,提出了基于凸优化及其求解软件的方向图综合方法 。其中针对最低旁瓣方向图综合问题的特殊性 ,利用了凸优化的优良数值求解特性 ,以及最新的凸优化求解软件 cvx 对任意阵列 天线的最低旁瓣方向图综合算法进行了有效的建模和求解 ,获得了满足给定要求的综合方向图 。并通过详细的仿 真分析验证了所提方法的正确性和有效性 ,而且优于当前提出的迭代算法 。 关键词 :阵列方向图综合 ;凸优化 ;cvx 软件 ;最低旁瓣方向图 () 中图分类号 : TN911文献标识码 :A文章编号 :1007 - 3264 200905 - 0005 - 04 9 - 10 ,Wang 等人研究了基于半正定规划的稳 11 健方向图综合方法。 引言最近几年 ,由于凸优化及其求解软件的发展 ,进 一步推动了凸优化的应用技术研究 ,尤其在阵列信 随着阵列天线在通信 、雷达等众多领域的广泛号处理领域 ,得到了极大的扩展 。本文提出了基于 ,天线方向图综合成为阵列信号处理的一项基 应用 12 13 凸优化和其求解软件如 SeDuMi 和 cvx的任意 础研究内容 ,而且受到了广泛的关注 。阵列天线方 阵列最低旁瓣方向图综合方法 ,其中不仅给出了基 向图综合就是求解各阵列单元激励的加权值以使天 于凸优化的方向图综合算法 , 而且利用求解软件 线阵列方向图趋近期望的形状 。Dolp h 首次给出了 cvx 进行了有效的求解 , 并通过仿真分析验证了所 如何获得均匀线阵的权函数以实现切比雪夫方向图 提方法的正确性和有效性 。 1 的方法,从而实现了对于给定主瓣宽度 、最大旁 瓣电平最低意义上的最优解 。然而如何有效地实现 任意阵列天线的方向图综还是一个具有挑战性的研 究课题 。 1 凸优化及其求解软件 cvx当前的方向图综合方法主要分为两大类 : 一种 2 - 4 为传统的矢量加权方法,而另一种为矩阵加权 凸优化问题源于工程设计 ,而且广泛应用于工5 方法,其中也提出了利用智能计算方法来提高最 程应用 ,如控制系统 、机械工程 、信号和图像处理 、电 6 优加权矢量的计算效率 ,如基于遗传进化算法和 7 路设计以及最优试验设计等 ,而且还广泛应用于阵 粒子群最优化算法。对于方向图综合问题的不 列天线设计等 。为了后面方向图综合算法的设计和 同类型算法几乎都受到了最近在凸优化方面研究进 求解 ,下面简要介绍凸优化的基本概念和特点 。展的促进 。L ebret 和 Bo yd 利用内点法对单观察方 8 向的方向图综合问题给出了求解方法, Scholnik 凸优化问题通常具有如下形式 : 和 Coleman 应用凸优化技术实现了宽带阵列方向图 ( )min f x 0 ( ) , m s . t . f x ?0 , i = 1 , ( )i 1 T x = b , i = 1 , a , p i i 收稿日期 :2009 - 06 - 02 ()基金项目 :西安邮电学院中青年科研基金资助项目 109 - 0412 () 作者简介 :杨洁 1976 - ,女 ,陕西西安人 ,西安邮电学院通信工程系工程师 。 分别为凸函数 , 相比于一般最优化标 , f 其中 f , m 0 2 最低旁瓣方向图综合及其求解) 准形式 , 凸问题具有如下三个额外的要求 :1目标 ( ) ) ( ) 函数 f x 2f x 必须是凸的 ; 不等式约束函数 0 i ) 在阵列天线方向图综合设计中通常要求 : 1方) , m 必须是凸的; 3 < 0 , i = 1 , 等式约束函数) 向图的主波束之外具有最低的旁瓣电平 ; 2 在目标T ( ) - b , i = 1 , 必须是仿射的 。因, p hx = a x i i i ) 方向具有单位增益 ; 3在给定的方向具有较深的零 此 , 利用该定义可以立即得到一个重要的性质 , 即凸陷 。该方向图综合问题通常称之为最低旁瓣方向图 优化的可行集是凸的 。综合 。 对于凸优化 ,一般没有解析形式的解 ,但是具有 θθ 假设阵列天线的波束覆盖范围为 [,,min max 非常有效的数值求解方法 ,如内点法在实际应用中具 θΔ 目标方向为, 主瓣宽度为, 置零角度集为 A =0 m j 有较好的求解效果 ,然而对于不同的问题 ,内点法的 θθ(θ{, ,} 。则主瓣区域的角度范围为 A = - j m 0 1 程序设计相差较大。近几年随着凸优化研究的深入 ΔθΔ) / 2 ,+ / 2, 而旁瓣区域的角度范围为 A = m 0 m s 和发展 ,开发了许多最优化问题求解软件如 SeDu2 θθΔθΔθ[,- / 2 ] ?[+ / 2 ,] 。如果假设阵 列导min 0 m 0 m max 12 13 Mi和 cvx等都可以用于凸优化问题的有效求(θ) 向矢量为 a , 加权矢量为 w , 则该方向图综 合问 解 ,其中 cvx 很好地将 SeDuMi 和其它求解软件包进题可以建模为如下的凸优化问题 。 H 行了集成 ,使得凸优化问题的求解得到了极大简化。(θ) θmin max | w a | ,? A s s s13 ( ) cvx 为格式化凸优化 DCP的建模系统,而 H (θ) s. t . w a = 1 DCP 是指利用有限的约束规则定义的凸优化问题 。( )2 0 H (θ) θw a = 0 ,? A cvx 可以用于求解的凸优化问题 , 如线性规划 j j j () ( ) ( ) L P、二次规划 Q P、二阶锥规划 SOCP和半正定 θ 通常为集合 A 内的一系列均匀采样角度值 。s s ( ) 规划 SD P。相比于这些问题的各自求解方法和软 由该最优化问题的表达式可以看出 ,很难给出解析件 ,cvx 使得给定求解任务得到极大的简化 ,而且也 形式的最优解 ,但是通过观察发现 ,该最优化问题的 可以求解包含不可微分函数等更加复杂的凸优化问 目标函数和约束关系式均为凸函数 ,故为凸优化问 题 。只要将需要求解的凸优化问题表示成满足 cvx 题 ,因而可以很容易地利用当前的凸优化求解软件 13 格式要求的标准形式 ,利用简洁的 cvx 语言即可实 进行求解 ,如 cvx软件工具 。 现求解软件的 Matlab 编程 。关于如何应用 cvx 进 由于 cvx 是用于凸优化问题的格式化建模和求 行凸优化的求解 ,将结合后面的方向图设计问题和 解系统 ,因此对于上面的最低旁瓣方向图综合问题 , 算法进行具体描述和说明 。 基于 cvx 的 Matlab 软件实现为 : 程序代码代码解释及说明 软件开始标志cvx begin () 求解变量定义 其中 n 表示阵元数量 ,co mplex 表示复数( ) variable w nco mplex () 最优化目标函数 其中 As 表示旁瓣方向导向矢量矩阵( ( () ) )3 w minimize max abs As 约束条件开始标志 subject to ()目标约束 其中 Atar 表示目标方向导向矢量 Atar 3 w = = 1 ; ()置零约束 其中 Anull 表示置零方向导向矢量矩阵 Anull 3 w = = 0 ; cvx end 软件结束标志 显然 ,基于 cvx 的凸优化建模和求解方法非常始最优化问题中的变量和有关参数利用 Matlab 软 简单 ,而且比较容易编写 ,基本和最优化问题的描述 件进行有效地表示 。 式相同 。通过程序的运行发现 ,该求解软件具有较 3 仿真分析高的计算效率和较高的求解精度 ,尽管只给出最终 为了验证所提出算法的正确性和有效性 ,以及 的最优求解变量结果 ,但是求解结果详细信息都会 cvx 求解软件的求解效果 , 分别进行了如下的仿真 以状态信息列表的形式给出 ,便于对求解过程和结 分析 。相 比 于 当 前 提 出 的 其 它 方 向 图 综 合 算 果进行深入的性能分析 。对于其它的凸优化问题求 2 - 5 解与本文的算法相类似 ,而其实现的关键就是将原 法,本文算法具有较大的灵活性 , 如在给定主 瓣宽度和置零角度集合的条件下使得旁瓣的电平达2 维的随机矩阵 , 具体的阵列位置如图 3 所示 。× 到最低 ,而其它算法都是给定参考目标方向图 ,通过 目标方向角为 60?, 主波束宽度为 40?, 零点约束角迭代求解和搜索等方法使得综合方向图与目标方向 度为95 ?110?120?140?225?] 。相比与图 1 和图 2 , 图的误差最小来实现的 ,故两者之间很难进行比较 。 该图中的方向图更能体现在给定主瓣宽度和置零角 而且本文算法的求解不需多次迭代 ,只利用 cvx 软 度集合条件下 ,实现最低旁瓣的方向图综合要求 。 件对所建模的凸优化算法进行求解而获得 ,然而其 它算法都必须给定一个误差上限 ,并在多次迭代条 件下分别求解最优化问题以实现目标方向图综合要 求 。因此从求解效率上 ,本文所提出方法具有较大 优势 ,而且建模简单 ,求解方便 。重要的是 ,基于凸 优化建模 ,并利用 cvx 软件的求解已经被有关文献 13 证明收敛于全局最优点。因此下面重点只进行 所提出算法的正确性和有效性分析 。 图 1,图 4 分别给出了均匀线阵 、均匀平面阵 、 非均匀平面阵的方向图综合示例 。为了处理简单和 直观显示 ,对于二维平面阵 ,只进行方位角的约束 , 对于二维角度约束 ,只是再增加一维俯仰角 ,其最优 化问题的建模和求解与一维约束相似 。 图 1 为均匀线阵的最低旁瓣方向图综合示例 。 图 2 均匀平面阵的最低旁瓣方向图综合其中阵元数为 10 ,阵元间距为半波长 , 目标方向角 为 60?,主波束宽度为 40?,零点约束角度为95 ?110? 120?140?170?] 。从综合方向图可以看出 , 所提出 算法不仅在置零角度处具有较深的零陷 ,而且具有 最低的旁瓣电平 ,同时满足给定的主瓣宽度要求 。 图 3 非均匀平面阵的阵元位置分布图 因此 ,从上面的方向图综合实例可以看出 ,本文 提出的最低旁瓣电平方向图综合算法是正确的 、有 效的 ,而且完全可以利用当前的凸优化求解软件 cvx 进行正确和有效地求解 , 其不仅具有较高的方 向图综合效率 ,而且具有优良的方向图综合效果 。 4 结论图 1 均匀线阵的最低旁瓣方向图综合 图 2 为均匀平面阵的最低旁瓣方向图综合示 本文提出了基于凸优化和其求解软件 cvx 的最 例 。其中阵元数为 6 ×6 = 36 ,阵元间距为半波长 , 低旁瓣阵列方向图综合算法 。由于凸优化具有一系 目标方向角为 60?, 主波束宽度为 40?, 零点约束角 列优良的特性 ,而且易于求解 ,尤其是当前开发的多 度为95 ?110?120?140?225?] 。与图 1 相类似 ,从 个优化软件都可以应用于凸优化问题的数值求解 , 图中方向图可以看出 ,所提出算法能够很好地实现 因此极大地促进了阵列天线方向图综合技术的研究 方向图综合目标要求 。 和应用 。本文不仅给出了方向图综合算法 ,而且利 图 4 为非均匀平面阵的最低旁瓣方向图综合示 用求解软件 cvx 进行了有效地求解 ,并通过仿真分 例 。其中阵元数为 40 ,阵元间距为 5 倍波长乘以 40 析验证了所提方法的正确性和有效性 。 Internatio nal Co nference o n Acoustics , Speech and Signal Processing Proceedings , Ap r 15 - 20 2007 , Ho nolu2 lu , HI , U nited States , I EEE Inc. , Piscataway , NJ 08855 - 1331 , U nited States , Vol . 2 , pp : 885 - 888 . 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Therein , fo r t he particularit y of t he lowest side2 lo be level pat ter n synt hesis , and co mbining t he excellent numerical solving met ho ds fo r co nvex op timizatio n , and t he nearest co nvex op timizatio n solving sof t ware cvx , t he lowest sidelo be level pat ter n synt hesis algo rit hm fo r ar2 bit rary array is mo deled and solved , and t he specified synt hesis pat ter n is o btained. At last , t he co rrect ness and effectiveness is at tested by t he particular simulatio ns , and it is indicated t hat t he p ropo sed algo rit hm is bet ter t han ot her iteratio n algo rit hms. Key words :array antenna pat ter n synt hesis ;co nvex op timizatio n ;cvx sof t ware ;lowest sidelo be level pat ter n