南京理工大学2011级《线性代数》练习册(二)

一. 判断题（正确打√，错误打×） 1若 不能由 线性表示，则 线性无关. (×) 解答：反例：取 ， ，则 不能由 线性表示，但 线性相关. 2. 若 与 等价，则 线性相关.(  √ ) 解答：因为等价的向量组具有相同的秩，所以 ，所以向量组 线性相关. 3. 如果 可由 唯一线性表示,则 线性无关.(√) 解答：向量 能由向量组 唯一线性表示的充分必要条件是 ； 所以 ，所以 线性无关. 4. 向量组的秩就是它的最大线性无关组的个数.(×) 解答：正确结论： 向量组的秩就是它的最大线性无关组所含向量的个数. 5. 若向量组 只有一个极大无关组，则 线性无关. (×)  解答：反例：取 ，则向量组 只有一个最大无关      组 ，但 线性相关. 正确命题：若 线性无关，则 只有一个最大无关组. 二. 单项选择题 1.设向量组（1）: 能由向量组（2）: 线性表示，则( A ). （A）向量组（1）线性相关;    （B）向量组（1）线性无关; （C）向量组（2）线性相关;    （D）向量组（2）线性无关. 解答：因为 ，且 能由 线性表示，由 推论1可知 线性相关.所以选项（A）正确. 2. 设 维向量组 线性无关，则(B ). （A）向量组中增加一个向量后仍线性无关; （B）向量组中去掉一个向量后仍线性无关; （C）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关; （D）向量组中每个向量任意增加一个分量后仍线性无关. 解答：根据“全体无关则部分无关”知选项（B）正确. 注意（D），“向量组中每个向量任意增加一个分量后”不是 原来的延伸向量组，所以不能保证还线性无关. 例如 线性无关，但 线性相关. 3.下列命题错误的是(C ) （A）若 维向量组 中没有一个向量能由其余向量线性表示，则该向量组线性无关; （B）若 维向量组 的秩小于 ，则此向量组线性相关; （C）若 维向量组 线性无关，向量组 也线性无关，则向量组 ， 的秩为 . （D）任何一组不全为零的数 使 则向量组 线性无关. 解答：由定义或定理即知选项（A），（B），（D）均正确. 选项（C）错误.反例 线性无关， 也线性无关，但是 的秩是2，而不是3. 4. 设A： 是一组 维向量，且 线性相关，则(D ). (A)A的秩等于4;          (B) A的秩等于 ; (C) A的秩等于1;          (D) A的秩小于等于3. 解答：因为 线性相关，所以A： 线性相关， 所以 . 5.已知向量组 线性无关, 则下面线性无关的向量组是 (C). (A) ; （B） ; (C) ; （D) . 解答：一 (A): ;        （B） ； (C) ： ；    (D) . 方法二    ， ， 知(A)、(B)均线性相关.由替换定理的推论知(D)线性相关.故应选(C)（可用线性无关的定义证明线性无关）. 三. 填空题 1. 设 维向量 线性无关，则向量组 的秩       2      . 解答：因为 , 所以 线性相关, (或者因为 , 所以 线性相关) 但 线性无关, 所以 . （设 ，则有 因为 线性无关, 所以 , 所以   线性无关.) 2. 已知 .若由 生成的向量空间的维数为2, 则 6  . 解答：方法一  因为由 生成的向量空间的维数为2, 而 线性无关, 所以 可由 唯一线性表示, 所以 , 即 , 解得 . 方法二  因为 生成的向量空间的维数为2，所以 线性相关，从而 也线性相关，于是 解得 . 3. 设向量组 线性无关，向量 不能由它们线性表示，则向量组 的秩为 . 解答：因为 线性无关，所以 ，若 < ，则 线性相关，于是 能由 线性表示，与已知矛盾，故 . 4. 若向量组 与向量组 不等价，  则常数 . 解答：显然 线性无关，如果 也线性无关，则它们均是全体2维向量组的最大无关组，故两个向量组等价，与题设矛盾，所以应该是 线性相关，所以 . 5. 已知向量组 线性相关，而向量组 线性无关，则向量 组 的最大无关组为 . 解答：因为 线性无关，所以 线性无关，而 线性相关，所以向量组 的最大无关组为 . 四.判断下列向量组的线性相关性，并说明理由. 1． , , ； 解答：因为 线性相关，所以 线性相关. 2． , , , ； 解答：四个三维向量一定线性相关. 3． , , ； 解答：因为 ，所以线性无关. 4． ， , . 解答：因为 ， , 线性无关， 所以 ， , 线性无关. 五．证明题 1．已知 维向量 ，其中任意三个向量都线性无关，证明每一个向量都能由其余三个向量线性表示. 证明  因为 个 维向量必定线性相关，所以 必线性相关，则存在不全为零的数 ，使得 其中必有 ，否则 不全为零，上式变为 ，这与任意三个向量都线性无关矛盾.于是 . 即 可由其余三个向量线性表示.同理可证 ，命题得证. 2．已知 ,证明向量组 与 等价. 证明： 因为 ，所以 可由 线性表示，又因为 ，所以 也可由 线性表示（或者直接由 解得 ）. 3.已知向量组 线性无关，证明向量组 也线性无关. 证明：  方法一    记 ，那么 可由 线性表示，又因为 ，所以 可由 线性表示，所以两个向量组等价，从而秩相等，而 线性无关，所以 线性无关. （如果要解出 的话，可以这样做： ，所以 ， ， ） 方法二  （反证法）    假设 线性相关，则秩（ ） ， 因为 能由 线性表示，所以 秩（ ） 秩（ ） ，从而 线性相关，与已知矛盾. 4. 设 维向量组（1）: 的秩为 ；（2）： 的秩为 ；（3）： 的秩为 .证明 . 证明： 不妨设 是 的一个最大无关组， 是 的一个最大无关组，则 可由 线性表示，所以                .          5．已知 且 线性无关, .证明向量组 线性无关.                                                                                                                                                                                                                                            证明：  记 ， 因为 ，所以 可由 线性表示，二者等价，秩相等，所以 线性无关. 6．若向量组 线性相关，证明对任意的实数 ，向量组 也线性相关. 证明    方法一  如果 中至少有一个为零，则 线性相关.下面假设 全不为零. 因为 线性相关，所以存在不全为零的数 使得 ，所以 ， 由于 不全为零，所以 不全为零，所以向量组 线性相关. 方法二  因为 线性相关，则 秩（ ） ，又 能由 线性表示，所以秩（ ） 秩（ ） ，从而 线性相关. 7. 证明： 维向量组 线性相关的充分必要条件是至少存在一个 维向量 不能由 线性表示. 证明 必要性 反证法：如果一切 维向量都可由 线性表示，那么 可由 线性表示，又 可由 线性表示，所以 与 等价，从而秩同为 ，所以 线性无关，矛盾！ 充分性 反证法：如果 线性无关，则 是 的一个基，从而一切 维向量都可由 线性表示，矛盾！ 8. 已知 且 是 生成的线性空间, 是 生成的线性空间，证明  . 证明 因为 ,所以 与 等价,所以 .