[数学]四边形2012中考题精选 压轴题 改变一生

[数学]四边形2012中考题精选 压轴题 改变一生 2013年6月加速卡的初中数学组卷 菁优网 www.jyeoo.com 2013年6月加速卡的初中数学组卷 一(填空题(共1小题) 1((2012•鄂尔多斯)如图，点A在双曲线上，且OA=4，过点A作AC?y轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，则?ABC的周长为 _________ ( 二(解答题(共29小题) 2(如图，点A是双曲线与直线y=,x,k在第二象限内的交点，AB?x轴于B，且S=3 ?ABO(1)求这两个函数的解析式; (2)求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和?AOC的面积( 3((2012•资阳)已知:一次函数y=3x,2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1( (1)求该反比例函数的解析式; (2)将一次函数y=3x,2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标; (3)请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式: ?函数的图象能由一次函数y=3x,2的图象绕点(0，,2)旋转一定角度得到; ?函数的图象与反比例函数的图象没有公共点( 4((2011•贵阳)如图，点E是正方形ABCD内一点，?CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边AD于点F( (1)求证:?ADE??BCE;(2)求?AFB的度数( 5(已知等腰梯形中，AB=DC=2，AD?BC，AD=3，腰与底相交所成的锐角为60?，动点P在线段BC上运动( 点P不与B、C点重合)，并且?APQ=60?，PQ交射线CD于点Q，若CQ=y，BP=x， ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com (1)求下底BC的长( (2)求y与x的函数解析式，并指出当点P运动到何位置时，线段CQ最长，最大值为多少, (3)在(2)的条件下，当CQ最长时，PQ与AD交于点E，求QE的长( 6(如图，在菱形ABCD中，AC=8cm，BD=6，E为CD边中点，点E到BD的距离等于OC，点P从点A开始沿AC方向以每秒2cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达点C时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒，当点P在线段AO上运动时， ?请用含x的代数式示OP的长度; ?若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围); ?是否存在时刻x，四边形PBEQ的面积为13,若存在，求出满足条件的x的值;若不能，请说明理由( 7(已知:在梯形ABCD中，AD?BC，AB=DC=5，AD=3.5，，点E是AB边上一点，BE=3，点P是BC边上的一动点，连接EP，作?EPF，使得?EPF=?B，射线PF与AD边交于点F，与CD的延长线交于点G，设BP=x，DF=y( (1)求BC的长; (2)试求y关于x的函数关系式，并写出定义域; (3)连接EF，如果?PEF是等腰三角形，试求BP的长( 8(如图，四边形ABCD是正方形，点G是直线BC上的任意一点，DE?AG于点E，BF?DE，交AG于F( (1)当点G在线段BC上时，如图1，求证:DE,BF=EF; (2)当点G在线段CB的延长线上时，如图2，线段DE、BF、EF之间的数量关系是 _________ ; (3)在(2)的条件下，连接AC，过F作FP?GC，交AC于点P，连接DP，若?ADE=30?，GB=，求DP的长( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 9(如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5cm，AD=4cm，BC=10cm，点E从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向点B移动，点F从点B出发以2cm/s的速度沿BA方向向点A移动，当点F到达点A时，点E停止运动;设运动的时间为t(s) (0,t,2.5)(问: (1)当t为何值时，EF平分等腰梯形ABCD的周长, 22)若?BFE的面积为S(cm)，求S与t的函数关系式; ( (3)是否存在某一时刻t，使五边形AFECD的面积与?BFE的面积之比是3:2,若存在求出t的值;若不存在，说明理由( (4)在点E、F运动的过程中，若线段EF=cm，此时EF能否垂直平分AB, 10(如图，已知OABC是矩形，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OC=6cm，OA=8cm(点P从点A开始沿边AO向点O以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动(如果P、Q分别从A，C同时出发( (1)?若连接OQ、PB，试判断四边形OPBQ的形状，并说明理由; ?若连接PQ、OB，经过几秒,使得QP?OB; (2)点K在x轴上，经过几秒时,?PQK是等边三角形，并求点K的坐标( (3)点E为OC边上的一动点，试说明PE+QE的最小值是一个定值，并求出这个值( 11(在矩形ABCD中，点F在AD延长线上，且DF=DC，M为AB边上一点，N为MD的中点，点E在直线CF上(点E、C不重合)( (1)如图1，若AB=BC，点M、A重合，E为CF的中点，试探究BN与NE的位置关系及的值，并证明你的结论; (2)如图2，且若AB=BC，点M、A不重合，BN=NE，你在(1)中得到的两个结论是否成立,若成立，加以证明;若不成立，请说明理由; ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com (3)如图3，若点M、A不重合，BN=NE，你在(1)中得到的结论两个是否成立，请直接写出你的结论( 12(如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，且P是线段DF的中点，连接PG，PC( (1)如图1中，PG与PC的位置关系是 _________ ，数量关系是 _________ ; (2)如图2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变，求证:PG=PC; (3)如图3，若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，P是线段DF的中点，连接PG、PC，且?ABC=?BEF=60?，求的值( 13(如图，在梯形ABCD中，AD?BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，?MBC是等边三角形(动点P、Q分别是在线段BC和MC上运动，且?MPQ=60?保持不变( (1)求证:梯形ABCD是等腰梯形; (2)设PC为x，MQ=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量取值范围; (3)在(2)中，当y取最小值时，判断?PQC的形状，并说明理由( 14(如图，在梯形ABCD中，AD?BC，?C=90?，AB=BC=10，AD=16(动点P、Q分别从点D、B同时出发，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点Q运动到点C时，点P随之停止运动(设运动的时间为t(秒)( (1)直接用含t的代数式表示:PA= _________ ; (2)当t= _________ 秒时，PQ?AB; (3)设射线PQ与射线AB相交于点E，?AEP能否为等腰三角形,如果能，请求出t的值;如果不能，请说明理由( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 15(我们知道:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形(类似地，我们定义:至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形( (1)请写出一个你学过的四边形中是等对边四边形的图形的名称; (2)在?ABC中，如果?A是锐角，点D，E分别在AB，AC上，且?DCB=?EBC=?A(猜想图中哪个四边形是等对边四边形，并证明你的结论( 16(如图，已知梯形ABCD，AB?DC，?A=90?，DC=7cm，AB=13cm，AD=8cm(点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B?C?D?A运动，速度为2cm/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点P运动时间为t(s)( (1)求BC的长; (2)当t=3时，求tan?CPQ的值; 2(3)当t为何值时，?PBQ的面积为21cm( 17(如图，矩形ABCD中，AB=6m，AD=4m( (1)如图(1)，矩形AEFN的顶点E，N分别在边AB和AD上，点F在矩形ABCD的内部，以点A为位似中心，作矩形AEFN的位似矩形AMPQ，且使得矩形的顶点P恰好落在对角线BD上;(不要求写作法) (2)若AM=4m，求矩形AMPQ的面积; (3)如图(2)，在一个矩形空地ABCD上，王师傅准备修建一个矩形的花坛AMPQ，要求点M在AB上，点Q 2在AD上，设AM的长为xm，矩形AMPQ的面积为Sm，求当x为何值时，S有最大值,并求出最大值( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 18((2012•自贡)如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，?BAD=120?，?AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合( (1)证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF; (2)当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和?CEF的面积是否发生变化,如果不变，求出这个定值;如果变化，求出最大(或最小)值( 19((2012•永州)如图，在等腰梯形ABCD中，AD?BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF=GC(求证:四边形AEFG为平行四边形( 20((2012•盐城)如图?所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向?ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD?l于点D，过点E作EE?l于点E( 1111 (1)如图?，当点E恰好在直线l上时(此时E与E重合)，试说明DD=AB; 11 (2)在图?中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD、EE、AB之间的数量关系，并说明理11 由; (3)如图?，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD、EE、AB之间的数量关系((不需要证明) 11 21((2012•厦门)已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P作PE?AC，PF?BD，垂足分别为E、F，PE=PF( (1)如图，若PE=，EO=1，求?EPF的度数; (2)若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF=BC+3,4，求BC的长( 22((2012•襄阳)如图，在梯形ABCD中，AD?BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com (1)求证:梯形ABCD是等腰梯形; (2)当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形,请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积( 23((2012•无锡)如图，在?ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF(求证:?BAE=?CDF( 24((2012•乌鲁木齐)如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE?DF， 求证:BF=DE( 25((2012•温州)如图，?ABC中，?B=90?，AB=6cm，BC=8cm(将?ABC沿射线BC方向平移10cm，得到?DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD(求证:四边形ACFD是菱形( 26((2012•威海)(1)如图?，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F( 求证:AE=CF( (2)如图?，将?ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A处，点B落在点B处，设11FB交CD于点G，AB分别交CD，DE于点H，I( 111 求证:EI=FG( 27((2012•泰州)如图，四边形ABCD中，AD?BC，AE?AD交BD于点E，CF?BC交BD于点F，且AE=CF(求证:四边形ABCD是平行四边形( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 28((2012•苏州)如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD(已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x(s)，线段GP的长为y(cm)，其中0?x?2.5( (1)试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值; (2)记?DGP的面积为S，?CDG的面积为S(试说明S,S是常数; 1212 (3)当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长( 29((2012•沈阳)已知，如图，在?ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN( (1)求证:?AEM??CFN; (2)求证:四边形BMDN是平行四边形( 30((2012•锦州)已知:在?ABC中，?BAC=90?，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合)(以AD为边作正方形ADEF，连接CF( (1)如图1，当点D在线段BC上时，求证:?BD?CF(?CF=BC,CD( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com (2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系; (3)如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变:?请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系(?若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究?AOC的形状，并说明理由( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 2013年6月加速卡的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一(填空题(共1小题) 1((2012•鄂尔多斯)如图，点A在双曲线上，且OA=4，过点A作AC?y轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，则?ABC的周长为 2 ( 考点: 反比例函数综合题( 专题: 探究型( 分析: 由OA的垂直平分线交OC于点B可知OB=AB，故?ABC的周长=AC+OC，设A(a，b)，由于点A在第 222一象限，故a,0，b,0，根据AC?y轴可知AC+OC=OA，再根据点A在反比例函数y=的图象上可知 b=，由此可组成关于a、b的方程组，求出a+b的值即可( 解答: 解:?OA的垂直平分线交OC于点B， ?OB=AB， ??ABC的周长=AC+OC， 设A(a，b)， ?点A在第一象限， ?a,0，b,0， ?AC+OC=a+b， ?AC?y轴，OA=4， 22222?AC+OC=OA，即a+b=16?， ?点A在反比例函数y=的图象上， ?b=?， 由??得，a+b=2，即?ABC的周长为2( 故答案为:2( 点评: 本题考查的是反比例函数综合题，此题涉及到线段垂直平分线的性质、勾股定理及反比例函数图象上点的 坐标特点，在解答此题时要注意利用数形结合( 二(解答题(共29小题) 2(如图，点A是双曲线与直线y=,x,k在第二象限内的交点，AB?x轴于B，且S=3 ?ABO(1)求这两个函数的解析式; (2)求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和?AOC的面积( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 考点: 反比例函数与一次函数的交点问题( 专题: 计算题( 分析: (1)先设A点坐标为(a，b)，则OB=,a，AB=b，根据三角形面积公式得到•(,a)•b=3，即ab=,6; 再把A(a，b)代入反比例函数解析式中得到ab=k,1，则有 k,1=,6，解得k=,5，这样可确定两函数解析式; (2)先利用直线y=,x+5确定D点坐标，再解有两个解析式所组成的方程组得到A点和C点坐标，然后 利用S=S+S进行计算( ?AOC?AOD?COD 解答: 解:(1)设A点坐标为(a，b)，则OB=,a，AB=b， 则S=OB•AB=•(,a)•b=3， ?ABO ab=,6， 把A(a，b)代入y=得ab=k,1， 则k,1=,6， 解得k=,5， 故反比例函数的解析式为y=,，直线的解析式为y=,x+5; (2)直线AC交x轴于D点， 对于y=,x+5，令y=0，则x=5， 则D点坐标为(5，0)， 解方程组得或， 则点A的坐标为(,1，6)，C点坐标为(6，,1)， 则S=S+S=×5×6+×5×1=( ?AOC?AOD?COD 点评: 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式(也 考查了三角形的面积公式( 3((2012•资阳)已知:一次函数y=3x,2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1( (1)求该反比例函数的解析式; (2)将一次函数y=3x,2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标; (3)请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式: ?函数的图象能由一次函数y=3x,2的图象绕点(0，,2)旋转一定角度得到; ?函数的图象与反比例函数的图象没有公共点( 考点: 反比例函数与一次函数的交点问题;一次函数图象与几何变换( 分析: (1)先求出两函数的交点坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式; (2)平移后的图象对应的解析式为y=3x+2，联立两函数解析式，进而求得交点坐标; ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com (3)常数项为,2，一次项系数小于,1的一次函数均可( 解答: 解:(1)把x=1代入y=3x,2，得y=1， 设反比例函数的解析式为， 把x=1，y=1代入得，k=1， ?该反比例函数的解析式为; (2)平移后的图象对应的解析式为y=3x+2， 解方程组，得 或( ?平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为(，3)和(,1，,1); (3)y=,2x,2( (结论开放，常数项为,2，一次项系数小于,1的一次函数均可) 点评: 考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象与几何变换，解题的关键是待定系数法求函数解 析式，掌握各函数的图象和性质( 4((2011•贵阳)如图，点E是正方形ABCD内一点，?CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边AD于 点F( (1)求证:?ADE??BCE;(2)求?AFB的度数( 考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质( 专题: 几何综合题( 分析: (1)由题意正方形ABCD的边AD=DC，在等边三角形CDE中，CE=DE，?EDC等于?ECD，即能证其 全等( (2)根据等边三角形、等腰三角形、平行线的角度关系，可以求得?AFB的度数( 解答: (1)证明:?ABCD是正方形 ?AD=BC，?ADC=?BCD=90? 又?三角形CDE是等边三角形 ?CE=DE，?EDC=?ECD=60? ??ADE=?ECB ??ADE??BCE( (2)解:??CDE是等边三角形， ?CE=CD=DE， ?四边形ABCD是正方形 ?CD=BC， ?CE=BC， ??CBE为等腰三角形，且顶角?ECB=90?,60?=30? ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com ??EBC=(180?,30?)=75? ?AD?BC ??AFB=?EBC=75?( 点评: 本题考查了正方形、等边三角形、等腰三角形性质的综合运用，是涉及几何证明与计算的综合题，难度不 大( 5(已知等腰梯形中，AB=DC=2，AD?BC，AD=3，腰与底相交所成的锐角为60?，动点P在线段BC上运动( 点P不与B、C点重合)，并且?APQ=60?，PQ交射线CD于点Q，若CQ=y，BP=x， (1)求下底BC的长( (2)求y与x的函数解析式，并指出当点P运动到何位置时，线段CQ最长，最大值为多少, (3)在(2)的条件下，当CQ最长时，PQ与AD交于点E，求QE的长( 考点: 四边形综合题( 分析: (1)过点D作DE?AB，交BC于E，得到?ABED和等边?DEC，则BC=BE+EC=5; (2)根据两角对应相等的两三角形相似证明出?CPQ??BAP，由相似三角形对应边成比例得到CQ: 2BP=CP:BA，则y=,x+x，根据二次函数的性质可得当x=，即当点P运动到BC中点时，线段CQ 有最大值; (3)在(2)的条件下，当CQ最长时，BP=CP=，CQ=，则QD=(先由DE?CP，得出?QDE??QCP， 根据相似三角形的性质列出比例式，求出DE=，并且得出QE:QP=9:25，那么可设QE=9k，QP=25k(再 根据两角对应相等的两三角形相似证明?DEQ??PEA，DE:PE=EQ:EA，根据相似三角形的对应边成比 例得出:16k=9k:，解方程求出k=，进而得到QE的长度( 解答: 解:(1)如图1，过点D作DE?AB，交BC于E， ?AD?BC， ?四边形ABED是平行四边形， ?BE=AD=3，DE=AB=DC=2， ?DE?AB， ??DEC=?B=60?， ??DEC为等边三角形， ?EC=DC=2， ?BC=BE+EC=3+2=5; (2)如图2，在?CPQ与?BAP中， ?， ??CPQ??BAP， ?CQ:BP=CP:BA，即y:x=(5,x):2， ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 2?y=,x+x， 当x==，即当点P运动到BC中点时，线段CQ最长， 此时最大值为=; (3)如图3，在(2)的条件下，当CQ最长时，BP=CP=，CQ=， ?QD=CQ,CD=,2=( ?DE?CP， ??QDE??QCP， ?QE:QP=DE:CP=QD:QC， 即QE:QP=DE:=:=9:25， ?可设QE=9k，QP=25k，且DE=， ?PE=QP,QE=16k，AE=AD,DE=3,=( 在?DEQ与?PEA中， ?， ??DEQ??PEA， ?DE:PE=EQ:EA， ?:16k=9k:， 解得k=， ?QE=9k=( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 点评: 本题考查了等腰梯形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，综合性较强，有一定难度( 6(如图，在菱形ABCD中，AC=8cm，BD=6，E为CD边中点，点E到BD的距离等于OC，点P从点A开始沿 AC方向以每秒2cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达点C时， P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒，当点P在线段AO上运动时， ?请用含x的代数式表示OP的长度; ?若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围); ?是否存在时刻x，四边形PBEQ的面积为13,若存在，求出满足条件的x的值;若不能，请说明理由( 考点: 四边形综合题( 分析: ?根据菱形的性质得出AO，BO的长，再利用P点运动速度得出OP的长即可; ?根据首先求出BQ的长，再利用y=S+S，得出答案即可; ?BPQ?BEQ ?根据?中所求，结合一元二次方程的解法得出即可( 解答: 解:??在菱形ABCD中，AC=8cm，BD=6， ?AO=CO=4cm，BO=DO=3cm，AC?BD， ?AD==5(cm)， ?点P在线段AO上运动，点P从点A开始沿AC方向以每秒2cm的速度运动， ?AP=2x， ?OP=4,2x; ??四边形PBEQ的面积为y， 过点E作EH?BD，?E为CD边中点，?EH为?COD的中位线， ?EH=CO=2cm， ?DQ=x，?BQ=6,x， ?y=S+S=×(6,x)(4,2x)+×(6,x)×2 ?BPQ?BEQ 2=x,9x+18; ?当四边形PBEQ的面积为13时， 2则13=x,9x+18， 2整理得出:x,9x+5=0， 解得:x=(此时P点在OC上，不合题意舍去)，x=， 12 ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 故x=时，四边形PBEQ的面积为13( 点评: 此题主要考查了四边形的综合应用以及菱形的性质和一元二次方程的解法等知识，根据已知得出OP，BQ 的长是解题关键( 7(已知:在梯形ABCD中，AD?BC，AB=DC=5，AD=3.5，，点E是AB边上一点，BE=3，点P是BC边上的一动点，连接EP，作?EPF，使得?EPF=?B，射线PF与AD边交于点F，与CD的延长线交于点G，设BP=x，DF=y( (1)求BC的长; (2)试求y关于x的函数关系式，并写出定义域; (3)连接EF，如果?PEF是等腰三角形，试求BP的长( 考点: 四边形综合题( 分析: (1)作等腰梯形ABCD的高AM、DN，得矩形AMND，?ABM??DCN，则 BC=BM+MN+NC=AD+2AB•cosB=9.5; (2)先由三角形内角和定理得出?BEP=?GPC，由等腰梯形在同一底上的两个角相等得出?B=?C，则 ?BEP??CPG，根据相似三角形对应边成比例得出y关于x的函数关系式，并写出定义域; (3)分三种情况:?PE=PF;?PE=EF;?PF=EF( 解答: 解:(1)如图，作等腰梯形ABCD的高AM、DN，得矩形AMND，?ABM??DCN， 所以BC=BM+MN+NC=AD+2AB•cosB=3.5+2×5×=9.5; (2)如图(??EPB+?EPF+?GPC=?EPB+?B+?BEP=180?，?EPF=?B， ??BEP=?GPC， ?ABCD是等腰梯形， ??B=?C， ??BEP??CPG， ?BE:CP=BP:CG， ?3:(9.5,x)=x:CG ?; 又?FD?PC， ??GFD??GPC， ?FD:PC=GD:GC， ?y:(9.5,x)=(CG,5):CG ?， ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com ??联立，消去CG，解得y=9.5,x,， ?射线PF与AD边交于点F，即y?0， ?9.5,x,?0， 又x?0， 2?9.5x,x,15?0， 2?x,9.5x+15?0， 解得2.5?x?7.5; (3)分三种情况: ?如果PE=PF，如图，过F作DC平行线交底边于H，则?FHP=?C=?B( ?在?PEB与?FPH中， ， ??PEB??FPH(AAS)， ?EB=PH=3，BP=FH=DC=5; ?如果PE=EF，如图，过F作DC平行线交底边于H，则?FHP=?C=?B( ?在?PEB与?FPH中， ， ??PEB??FPH， ?PE:PF=PB:FH， 又?PE=EF， 过E点做?EFP的高ET，则FP:PE=2PT:PE=2cos?EPF=2cos?B=， ?FH=DC=5， ?=， 解得x=; ?如果PF=EF，同理可得?PEB??FPH， ?PE:PF=PB:FH， ?PE=EF， 过F点做?EFP的高FT，则PE:PF=2PT:PF=2cos?EPF=2cos?B=， ?FH=DC=5， ?=， 解得x=6( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 点评: 本题考查了等腰梯形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，第(3)问进行 分类讨论是解题的关键( 8(如图，四边形ABCD是正方形，点G是直线BC上的任意一点，DE?AG于点E，BF?DE，交AG于F( (1)当点G在线段BC上时，如图1，求证:DE,BF=EF; (2)当点G在线段CB的延长线上时，如图2，线段DE、BF、EF之间的数量关系是 DE+BF=EF ; (3)在(2)的条件下，连接AC，过F作FP?GC，交AC于点P，连接DP，若?ADE=30?，GB=，求DP的长( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 考点: 四边形综合题( 分析: (1)先根据正方形的四条边都相等可得DA=AB，由同角的余角相等求出?BAF=?ADE，再利用“角角边” 证明?ABF??DAE，然后根据全等三角形对应边相等得出BF=AE，AF=DE，最后根据线段的和差关系即 可得证; (2)方法同(1)还是证明?ABF??DAE，得出DE=AF，BF=AE，然后结合图形可得出结论DE+BF=EF; (3)先解直角?ABG，求出AB=4，AG=，解直角?ABF，得出AF=2，再由FP?GC，根据平行 线分线段成比例定理得到=，求出AP=3，然后在?APD中运用余弦定理即可求出DP的长( 解答: (1)证明:?BF?DE，DE?AG， ?BF?AG，?AFB=90?( ?四边形ABCD是正方形， ?DA=AB，?BAF+?DAE=?DAE+?ADE=90?， ??BAF=?ADE( 在?ABF和?DAE中， ， ??ABF??DAE(AAS)， ?BF=AE，AF=DE， ?DE,BF=AF,AE=EF; (2)解:如图2，线段DE、BF、EF之间的数量关系是DE+BF=EF(理由如下: ?BF?DE，DE?AG， ?BF?AG，?DAE+?ADE=90?， ?四边形ABCD是正方形， ?DA=AB，?BAF+?DAE=180?,?BAD=90?， ??BAF=?ADE( 在?ABF和?DAE中， ， ??ABF??DAE(AAS)， ?BF=AE，AF=DE， ?DE+BF=AF+AE=EF( 故答案为DE+BF=EF; (3)解:?AD?GC， ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com ??G=?EAD=90?,?ADE=90?,30?=60?( 在?ABG中，??ABG=90?，?G=60?，GB=， ?AB=GB•tan?G=×=4，AG=2GB=( 在?ABF中，??AFB=90?，?BAF=30?， ?BF=AB=2，AF=BF=2( ?FP?GC， ?=，=， ?AP=3( 在?APD中，?AP=3，AD=AB=4，?DAP=45?， 222?DP=AP+AD,2AP•ADcos?DAP=18+16,2×4×3×=10， ?DP=( 点评: 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，余弦定 理，第三问有一定难度，(3)中求出AP的长度是解题的关键( 9(如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5cm，AD=4cm，BC=10cm，点E从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向 点B移动，点F从点B出发以2cm/s的速度沿BA方向向点A移动，当点F到达点A时，点E停止运动;设运动 的时间为t(s) (0,t,2.5)(问: (1)当t为何值时，EF平分等腰梯形ABCD的周长, 2(2)若?BFE的面积为S(cm)，求S与t的函数关系式; (3)是否存在某一时刻t，使五边形AFECD的面积与?BFE的面积之比是3:2,若存在求出t的值;若不存在， 说明理由( (4)在点E、F运动的过程中，若线段EF=cm，此时EF能否垂直平分AB, 考点: 四边形综合题( 分析: (1)根据已知得出BE+BF=(AD+BC+CD+AB)=12，代入求出即可; (2)过A作AN?BC于N，过F作FG?BC于G，求出AN，根据?ABN??FGB得出比例式，求出FG， 根据三角形面积公式求出即可; (3)假设存在，根据已知和三角形面积、梯形面积得出方程，求出即可; (4)假设存在，证?ABN??BEF，得出比例式，求出EF即可( 解答: 解:(1)?EF平分等腰梯形ABCD的周长， ?BE+BF=(AD+BC+CD+AB)=12， ?10,t+2t=12， t=2; 答:当t为2s时，EF平分等腰梯形ABCD的周长; ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com (2) 过A作AN?BC于N，过F作FG?BC于G， 则BN=(BC,AD)=×(10,4)=3(cm)， ?AN?BC，FG?BC， ?FG?AN， ?ABN??FGB， ?=， ?=， FG=t， ?S=×BE×FG=(10,t)•t， ?BEF 2S=,t+8t; (3)假设存在某一时刻t，使五边形AFECD的面积与?BFE的面积之比是3:2， 22S=S,S=×(4+10)×4,(,t+8t)=28+t,8t， 五边形梯形AFECDABCD?BFE 22即2(28+t,8t)=3(,t+8t)， 解得:t=5+(大于2.5，舍去)，t=5,; 即存在某一时刻t，使五边形AFECD的面积与?BFE的面积之比是3:2，t的值是(5,)s; (4)假设存在EF垂直平分AB， 则?ABN??BEF， =， =， EF=?， 即线段EF=cm，此时EF不能垂直平分AB( 点评: 本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形的面积，三角形的面积，勾股定理等知识点的应用，主要考查 学生分析问题和解决问题的能力( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 10(如图，已知OABC是矩形，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OC=6cm，OA=8cm(点P从点 A开始沿边AO向点O以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动(如果 P、Q分别从A，C同时出发( (1)?若连接OQ、PB，试判断四边形OPBQ的形状，并说明理由; ?若连接PQ、OB，经过几秒,使得QP?OB; (2)点K在x轴上，经过几秒时,?PQK是等边三角形，并求点K的坐标( (3)点E为OC边上的一动点，试说明PE+QE的最小值是一个定值，并求出这个值( 考点: 四边形综合题( 分析: (1)?由BQ?OP且BQ=OP，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形OPBQ是平 行四边形; ?当QP?OB时，四边形OPBQ是菱形，根据OQ=OP列出方程求解即可; (2)过点P作PM?BC于M(根据等边三角形及垂线的性质得出?MPQ=30?，由直角三角形的性质得出 PQ=2QM，然后在直角?PMK中根据勾股定理列出方程求解即可; (3)作点P关于y轴的对称点P′，连接P′Q，交y轴于点E，则P′Q即为PE+QE的最小值(过点Q 作QF?x轴于点F，在?P′QF中根据勾股定理求出P′Q的值为10cm( 解答: 解:(1)?四边形OPBQ是平行四边形，理由如下: 如图1?，?OABC是矩形， ?BC=OA=8cm，BC?OA， ?BQ?OP， 又?CQ=AP=tcm， ?BQ=OP=(8,t)cm， ?四边形OPBQ是平行四边形; ?设经过t秒能够使得QP?OB( 如图1?，连接OQ、PB( ?四边形OPBQ是平行四边形， ?当QP?OB时，?OPBQ是菱形， ?OQ=OP， 222?6+t=(8,t)， 解得t=( 故经过秒能够使得QP?OB; (2)设经过t秒，?PQK是等边三角形( 如图2，过点P作PM?BC于M，则?PMQ=?MPK=90?( ??PQK是等边三角形， ??KPQ=60?， ??MPQ=?MPK,?KPQ=90?,60?=30?， ?PQ=2QM( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com ?AP=BM=CQ=tcm， ?QM=(8,2t)cm，PQ=(16,4t)cm( 在?PMQ中，??PMQ=90?， 222222?QM+PM=PQ，即(8,2t)+6=(16,4t)， 2整理，得t,8t+13=0， 解得t=4?( 当t=4,时，?AK=AP+PK=AP+PQ=t+16,4t=16,3t=16,3(4,)=4+3,8， ?KO=AK,OA=4+3,8=3,4， ?K(4,3，0)，运动时间(4,)秒; 当t=4+时，?OK=OP+PK=AP+PQ=8,t+16,4t=24,5t=24,5(4+)=4,5,0， ?t=4+不合题意舍去( 故点K在x轴上，经过(4,)秒时，?PQK是等边三角形，此时点K的坐标为(4,3，0); (3)如图3，作点P关于y轴的对称点P′，连接P′Q，交y轴于点E，连接PE( ?P与P′关于y轴对称， ?PE=P′E，OP=OP′， ?PE+QE=P′E+QE=P′Q，最小( 过点Q作QF?x轴于点F，?QFP′=90?，OF=CQ( ?OF=CQ=AP=tcm， ?OP=OP′=(8,t)cm， ?P′F=OP′+OF=8,t+t=8cm( 在?P′QF中，??QFP′=90?， 22222?P′Q=P′F+QF=8+6=100， ?P′Q=10(cm)， ?PE+QE的最小值是10cm( 故PE+QE的最小值是一个定值，这个值是10cm( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 点评: 本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，等边三角形、直角三 角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，综合性较强，有一定难度( 11(在矩形ABCD中，点F在AD延长线上，且DF=DC，M为AB边上一点，N为MD的中点，点E在直线CF上(点E、C不重合)( (1)如图1，若AB=BC，点M、A重合，E为CF的中点，试探究BN与NE的位置关系及的值，并证明你的结论; (2)如图2，且若AB=BC，点M、A不重合，BN=NE，你在(1)中得到的两个结论是否成立,若成立，加以证明;若不成立，请说明理由; (3)如图3，若点M、A不重合，BN=NE，你在(1)中得到的结论两个是否成立，请直接写出你的结论( 考点: 四边形综合题( 分析: (1)易证四边形ABCD是正方形，证明?NGE??BAN，即可得到?1+?3=90?，则BN?NE，然后根据 三角函数即可利用正方形的边长表示吃CE的长度，则可以得到的值; (2)延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH?CE，易证?BMN??GDN，则可以证 得NE是?BGE边上的中线，且NE=BG，从而得到?BGE是直角三角形，从而得到BN?NE，然后证明 ?CHE是等腰直角三角形，而BM=CH，即可证得; (3)同(2)可以延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH?CE，可以证得NE是?BGE 边上的中线，且NE=BG，从而得到?BGE是直角三角形，然后证明?NGE??BAN，从而得到BN?NE; 当AB?BC时，E，C，D不在一条直线上，因而比值的关系不成立( 解答: 解:(1)BN与NE的位置关系是BN?NE;=( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 证明:如图，过点E作EG?AF于G，则?EGN=90?( ?矩形ABCD中，AB=BC， ?矩形ABCD为正方形( ?AB=AD=CD，?A=?ADC=?DCB=90?( ?EG?CD，?EGN=?A，?CDF=90?( ?E为CF的中点，EG?CD， ?GF=DG=( ?( ?N为MD(AD)的中点， ?AN=ND=( ?GE=AN，NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB( ??NGE??BAN( ??1=?2( ??2+?3=90?， ??1+?3=90?( ??BNE=90?( ?BN?NE( ??CDF=90?，CD=DF， 可得?F=?FCD=45?，( 于是( (2)在(1)中得到的两个结论均成立( 证明:如图，延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH?CE， 交CD于点H( ?四边形ABCD是矩形， ?AB?CG( ??MBN=?DGN，?BMN=?GDN( ?N为MD的中点， ?MN=DN( ??BMN??GDN( ?MB=DG，BN=GN( ?BN=NE， ?BN=NE=GN( ??BEG=90?( ?EH?CE， ??CEH=90?( ??BEG=?CEH( ??BEC=?GEH( 由(1)得?DCF=45?( ??CHE=?HCE=45?( ?EC=EH，?EHG=135?( ??ECB=?DCB+?HCE=135?， ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com ??ECB=?EHG( ??ECB??EHG( ?EB=EG，CB=HG( ?BN=NG， ?BN?NE( ?BM=DG=HG,HD=BC,HD=CD,HD=CH=CE， ?=; (3)BN?NE;不一定等于( 证明:可以延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH?CE(GE交AD于点Q( 同(2)可以证得:?BMN??GDN， 则BN=NG=NE，则?BEG是直角三角形，?BEG=90?， 与(2)相同，可证:?ECB??EHG， ?EB=EG，CB=HG( ?BN=NG， ?BN?NE( 同(2)可得:GQ=CE?DG=BM， 故不一定等于(只有当Q与D重合时才相等)( 点评: 本题是正方形的判定，全等三角形的判定与性质的综合应用，正确证明边之间的关系，正确作出辅助线是 关键( 12(如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，且P是线段DF的中点， 连接PG，PC( (1)如图1中，PG与PC的位置关系是 CP?GP ，数量关系是 CP=GP ; (2)如图2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变，求证:PG=PC; ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com (3)如图3，若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”，点A，B，E在同一条直 线上，连接DF，P是线段DF的中点，连接PG、PC，且?ABC=?BEF=60?，求的值( 考点: 四边形综合题( 分析: (1)延长GP交DC于点H，由条件可以得出?DHP??FGP，就可以得出DH=GF，PH=PG，根据正方形 的性质就可以得出HC=GC，从而由等腰直角三角形的性质可以得出结论; (2)如图2，延长GP交DC于点H，由条件可以得出?DHP??FGP，根据直角三角形的性质就可以得出 结论; (3)如图2，延长GP交DC于点H，由条件可以得出?DHP??FGP，根据菱形的性质可以得出?HCG 是等腰三角形，由菱形的内角和可以求出?PCG=60?，由特殊角的三角函数值就可以求出结论( 解答: 解:(1)PG?PC且PG=PC; 理由:如图1，延长GP交DC于点H， ?四边形ABCD和BEFG是正方形， ?DC=BC，BG=GF，?FGB=?GC=?DCB=90?， ?CD?GF， ??CDP=?GFP( ?P是线段DF的中点， ?DP=FP( ?在?DHP和?FGP中， ， ??DHP??FGP(ASA)， ?DH=FG，PH=PG， ?HC=GC， ??HCG是等腰直角三角形， ?PH=PG ?PG?PC且PG=PC( (2)如图2，延长GP交DC于点H， ?四边形ABCD和BEFG是矩形， ?FGB=?GC=?DCB=90?， ?CD?GF， ??CDP=?GFP( ?P是线段DF的中点， ?DP=FP( ?在?DHP和?FGP中， ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com ， ??DHP??FGP(ASA)， ?PH=PG=HG， ??DCB=90?， ??HCG是直角三角形， ?CP=HG， ?PG=PC; (3)如图3，延长GP交CD于H， ?P是DF的中点， ?DP=FP( ?四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，点A，B，E在同一条直线上， ?DC?GF， ??HDP=?GFP( ?在?DHP和?FGP中， ， ??DHP??FGP(ASA)， ?HP=GP DH=FG ?CD=CB，FG=GB ?CD,DH=CB,FG 即:CH=CG ??HCG是等腰三角形， ?PC?PG?HCP=?GCP(等腰三角形三线合一) ??CPG=90?( ??ABC=60?， ??DCB=120?， ??GCP=?DCB=60?， ?Rt?CPG中:( 故答案为:PG?PC，PG=PC( 点评: 本题考查了正方形的性质的运用，矩形的性质的运用，菱形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运 用，等腰直角三角形的性质的运用，特殊角的三角函数值的运用(解答时证明三角形全等是解答本题的关 键( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 13(如图，在梯形ABCD中，AD?BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，?MBC是等边三角形(动点P、Q 分别是在线段BC和MC上运动，且?MPQ=60?保持不变( (1)求证:梯形ABCD是等腰梯形; (2)设PC为x，MQ=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量取值范围; (3)在(2)中，当y取最小值时，判断?PQC的形状，并说明理由( 考点: 四边形综合题( 分析: (1)需证?AMB??DMC，可得AB=DC，可得梯形ABCD是等腰梯形; (2)可证?BPM??CQP，则PC:BM=CQ:BP，PC=x，MQ=y，BP=4,x，QC=4,y，即可得到BP与 CQ的关系，从而转化成y与x的函数关系式; (3)先利用二次函数求最值，求出y取最小值时x的值和y的最小值，从而确定P、Q的位置，判断出?PQC 的形状( 解答: 解:(1)证明:??MBC是等边三角形， ?MB=MC，?MBC=?MCB=60?， ?M是AD中点， ?AM=MD ?AD?BC， ??AMB=?MBC=60?，?DMC=?MCB=60?( ??AMB??DMC，(2分) ?AB=DC， ?梯形ABCD是等腰梯形((3分) (2)在等边三角形MBC中，MB=MC=BC=4，?MBC=?MCB=60?，?MPQ=60?， ??BMP+?BPM=?BPM+?QPC=120?， ??BMP=?QPC， ??BMP??CPQ， ?PC:BM=CQ:BP(5分) ?PC=x，MQ=y，则BP=4,x，QC=4,y， ?=， 2?y=x,x+4(0,x,4) (3)?PQC为直角三角形， 由(2)知，当MQ取最小值时，x=PC=2( ?P是BC的中点，MP?BC，而?MPQ=60?， ??CPQ=30?， ??PQC=90?， ??PQC是直角三角形( 点评: 本题考查了本题考查平行四边形、直角三角形和等腰梯形的判定以及相似三角形的判定和性质的应用(还 考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，求函数最小值等知识点(要会利用 ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 数形结合的思想把代数和几何图形结合起来( 14(如图，在梯形ABCD中，AD?BC，?C=90?，AB=BC=10，AD=16(动点P、Q分别从点D、B同时出发，动 点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度向点C运动， 当点Q运动到点C时，点P随之停止运动(设运动的时间为t(秒)( (1)直接用含t的代数式表示:PA= 16,2t ; (2)当t= 秒时，PQ?AB; (3)设射线PQ与射线AB相交于点E，?AEP能否为等腰三角形,如果能，请求出t的值;如果不能，请说明理 由( 考点: 四边形综合题( 分析: (1)根据已知求出即可; (2)根据平行四边形的性质和判定得出BQ=AP，求出即可; (3)求出CD和PN，分为三种情况:?PE=AP，?AE=AP，?PE=AE，根据勾股定理和等腰三角形的性 质得出方程，求出方程的解即可( 解答: 解:(1)?AD=16，DP=t， ?AP=16,2t， 故答案为:16,2t( (2)当BQ=AP， ?BC?AD， ?四边形PABQ是平行四边形， ?此时PQ?AB， 即t=16,2t， t=， 故答案为:( (3)设射线PQ与射线AB相交于点E，?AEP能为等腰三角形， 理由是: 过B作BM?AD于M， ??BMA=90?， ??C=90?， ??D=?BMA， ?CD?BM， ?四边形CDMB是矩形， ?CD=BM，BC=DM=10， ?AM=16,10,6， 在Rt?BMA中，AB=10，由勾股定理得:BM=8， ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 分为三种情况:?当PE=AP=16,2t时， 如图1，过P作PN?BC于N， 则四边形CDPN是矩形， ?PN=CD=8，CN=DP=2t， ?PE=AP， ??A=?E， ?BC?AD， ??EBQ=?A， ??E=?EBQ， ?EQ=BQ=t， 222在Rt?PNQ中，由勾股定理得:8+(10,2t,t)=(16,2t,t)， t=; ?如图1，当AE=AP时， ?AE=AP， ??E=?EPA， ?BC?AD， ??EPA=?CQP， ??EQB=?CQP， ??E=?EQB， ?EB=QB=t， ?AE=AP，BC=10， ?10+t=16,2t， t=2; ?如图1，当PE=AE时，?BC?AD， ??EQB=?EPA，?EBQ=?A， ?AE=PE， ??A=?EPA， ??EQB=?EBQ， ?QE=BE， ?AE=PE， ?BC=PQ=10， 在Rt?PNQ中，NQ=10,2t,t=10,3t，pn=8，PQ=BC=10 222由勾股定理得:8+(10,3t)=10， t=; 即设射线PQ与射线AB相交于点E，?AEP能为等腰三角形，t的值是秒或2秒或秒( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 点评: 本题考查了矩形的性质和判定，梯形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要 考查学生的推理能力，注意要进行分类讨论啊( 15(我们知道:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形(类似地，我们定义:至少有一组对边相等的四边形叫做等 对边四边形( (1)请写出一个你学过的四边形中是等对边四边形的图形的名称; (2)在?ABC中，如果?A是锐角，点D，E分别在AB，AC上，且?DCB=?EBC=?A(猜想图中哪个四边形是等对边四边形，并证明你的结论( 考点: 四边形综合题( 分析: (1)等腰梯形，平行四边形等都是等对边四边形; (2)过B作BF?CD交CD延长线于F，过C作CG?BE于G，证?CFB??BGC，推出BF=CG，求出 ?BDF=?GEC，证?BDF??CEG，推出BD=CE即可( 解答: 解:(1)等腰梯形，如图:AB=DC( (2)此时存在等对边四边形DBCE， 证明:过B作BF?CD交CD延长线于F，过C作CG?BE于G， 则?BFC=?CGB=90?， ?在?CFB和?BGC中 ??CFB??BGC(AAS)， ?BF=CG， ??BDF=?ABC+?DCB=?ABE+?EBC+?DCB=?ABE+?A， ?GEC=?A+?ABE， ??BDF=?GEC， ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com ?在?BDF和?CEG中 ， ??BDF??CEG(AAS)， ?BD=CE， 即存在等对边四边形DBCE( 点评: 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力和理解能力( 16(如图，已知梯形ABCD，AB?DC，?A=90?，DC=7cm，AB=13cm，AD=8cm(点P从点A出发沿AB方向向 点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B?C?D?A运动，速度为2cm/s，当一个动点到达终点时，另 一个动点也随之停止运动，设点P运动时间为t(s)( (1)求BC的长; (2)当t=3时，求tan?CPQ的值; 2(3)当t为何值时，?PBQ的面积为21cm( 考点: 四边形综合题( 分析: (1)过C作CM?AB于M，得出四边形ADCM是矩形，求出DC=AM=7，AD=CM=8，求出BM，根据 勾股定理求出BC即可; (2)先推出?CPQ是直角三角形，再根据锐角三角函数的定义求出即可; (3)画出符合条件的三种情况，求出BP和高，根据三角形的面积公式得出关于t的方程，求出方程的解 即可( 解答: 解:(1)如图1，过C作CM?AB于M， ??A=90?， ??A=?CMB=90?， ?AD?CM， ?DC?AB， ?四边形ADCM是矩形， ?DC=AM=7，AD=CM=8， ?MB=13,7=6， 在Rt?CMB中，由勾股定理得:BC==10; (2)如图2，过Q作QN?AB于N， ?AM=7，AP=3， ?PM=4， ?CM=8， 222在Rt?CPM中，由勾股定理得:CP=4+8=80， ?CM?AB，QN?AB， ?CM?QN， ??BNQ??BMC， ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com ?==， ?CM=8，BQ=2×3=6，BC=10，BM=6， ?QN=4.8，BN=3.6， ?PN=13,3,BN=6.4， 222在Rt?PNQ中，由勾股定理得:PQ=4.8+6.4=64， 222?CQ=4=16，PC=80， 222?PQ+CQ=PC， ??PQC=90?， ?tan?CPQ===; (3)分为三种情况:?如图3，当Q在BC上时，过Q作QN?AB于N， ??BNQ??BMC， ?=， ?=， ?QN=1.6t， 2??PBQ的面积为21cm， ?BP×QN=21， ?(13,t)•1.6t=21， 解得:t=，t=10.5， ?Q在BC上，时间0,t?(0,t?5)， ?t=10.5(舍去)， 即t=; ?如图4， 当Q在DC上时，过Q作QN?AB于N， QN=CM=8， 2??PBQ的面积为21cm， ?BP×QN=21， ?(13,t)•8=21， 解得:t=， ?Q在BC上，时间,t?(5,t?8.5)， ?此时t的值符合， 即t=; ?如图5， 当Q在AD上时，AQ=8+7+10,2t=25,2t， ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 2??PBQ的面积为21cm， ?BP×AQ=21， ?(13,t)•(25,2t)=21， 解得:t=16，t= ?Q在AD上，时间,t,(8.5,t,12.5)， ?t=16舍去， 即t=; 2综合上述:当t的值是s或s或s时，?PBQ的面积为21cm( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 点评: 本题考查了梯形的性质，矩形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识点的应 用，第(2)和(3)问难度偏大，注意第(3)问要进行分类讨论啊( 17(如图，矩形ABCD中，AB=6m，AD=4m( (1)如图(1)，矩形AEFN的顶点E，N分别在边AB和AD上，点F在矩形ABCD的内部，以点A为位似中心，作矩形AEFN的位似矩形AMPQ，且使得矩形的顶点P恰好落在对角线BD上;(不要求写作法) (2)若AM=4m，求矩形AMPQ的面积; (3)如图(2)，在一个矩形空地ABCD上，王师傅准备修建一个矩形的花坛AMPQ，要求点M在AB上，点Q 2在AD上，设AM的长为xm，矩形AMPQ的面积为Sm，求当x为何值时，S有最大值,并求出最大值( 考点: 四边形综合题( 专题: 代数几何综合题( 分析: (1)根据位似图形的定义，连接AF并延长与BD相交于P，过P作PM?AD交AB于M，作PQ?AB交 AD于Q，四边形AMPQ即为矩形AEFN的位似图形; (2)先求出MB，然后根据?ABD和?MBP相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式求出PM，再 根据矩形的面积公式列式计算即可得解; (3)用x表示出MB=6,x，然后根据?ABD和?MBP相似，再利用相似三角形对应边成比例列出比例式 求出PM，再根据矩形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答( 解答: 解:(1)矩形AEFN的位似矩形AMPQ如图所示; (2)?AB=6m，AM=4m， ?MB=AB,AM=6,4=2m， ?PM?AD， ??ABD??MBP， ?=， 即=， 解得PM=m， 2?矩形AMPQ的面积=AM•PM=4×=m; (3)AM=xm时，MB=AB,AM=6,x， ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com ?PM?AD， ??ABD??MBP， ?=， 即=， 解得PM=(6,x)， 22?矩形AMPQ的面积为S=AM•PM=x•(6,x)=,(x,6x+9)+6=,(x,3)+6， 2即S=,(x,3)+6， 2所以，当x=3m时，S有最大值为6m( 点评: 本题是四边形综合题型，主要考查了位似图形的画法，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题， 难度不大，利用相似三角形对应边成比例列出比例式表示出PM是解题的关键( 18((2012•自贡)如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，?BAD=120?，?AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合( (1)证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF; (2)当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和?CEF的面积是否发生变化,如果不变，求出这个定值;如果变化，求出最大(或最小)值( 考点: 菱形的性质;二次函数的最值;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质( 分析: (1)先求证AB=AC，进而求证?ABC、?ACD为等边三角形，得?4=60?，AC=AB进而求证?ABE??ACF， 即可求得BE=CF; (2)根据?ABE??ACF可得S=S，故根据S=S+S=S+S=S四边形?ABE?ACFAECF?AEC?ACF?AEC?ABE?ABC 即可解题;当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短(?AEF的面积会随着AE的变化而变化， 且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S=S,S，则?CEF的面积就会四边形?CEFAECF?AEF 最大( 解答: (1)证明:连接AC，如下图所示， ?四边形ABCD为菱形，?BAD=120?， ?1+?EAC=60?，?3+?EAC=60?， ??1=?3， ??BAD=120?， ??ABC=60?， ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com ??ABC和?ACD为等边三角形， ??4=60?，AC=AB， ?在?ABE和?ACF中， ， ??ABE??ACF(ASA)( ?BE=CF; (2)解:四边形AECF的面积不变，?CEF的面积发生变化( 理由:由(1)得?ABE??ACF， 则S=S， ?ABE?ACF 故S=S+S=S+S=S，是定值， 四边形AECF?AEC?ACF?AEC?ABE?ABC 作AH?BC于H点，则BH=2， S=S=BC•AH=BC•=4， 四边形AECF?ABC 由“垂线段最短”可知:当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短( 故?AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小， 又S=S,S，则此时?CEF的面积就会最大( 四边形?CEFAECF?AEF ?S=S,S=4,×2×=( 四边形?CEFAECF?AEF 点评: 本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证?ABE??ACF是解题的关键， 有一定难度( 19((2012•永州)如图，在等腰梯形ABCD中，AD?BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF=GC(求 证:四边形AEFG为平行四边形( 考点: 等腰梯形的性质;平行四边形的判定( 专题: 证明题( 分析: 由等腰梯形的性质可得出?B=?C，再根据等边对等角的性质得到?C=?GFC，所以?B=?GFC，故可得 出AB?GF，再由AE=GF即可得出结论( 解答: 证明:?梯形ABCD是等腰梯形，AD?BC， ??B=?C， ?GF=GC， ??GFC=?C， ??GFC=?B， ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com ?AB?GF， 又?AE=GF， ?四边形AEFG是平行四边形( 点评: 本题考查的是等腰梯形的性质及平行四边形的判定定理，根据题意得出AB?GF是解答此题的关键( 20((2012•盐城)如图?所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、 BC为边向?ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD?l于点D，过点E作EE?l于点E( 1111 (1)如图?，当点E恰好在直线l上时(此时E与E重合)，试说明DD=AB; 11 (2)在图?中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD、EE、AB之间的数量关系，并说明理11由; (3)如图?，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD、EE、AB之间的数量关系((不需要证明) 11 考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质( 专题: 几何综合题( 分析: (1)由四边形CADF、CBEG是正方形，可得AD=CA，?DAC=?ABC=90?，又由同角的余角相等，求得 ?ADD=?CAB，然后利用AAS证得?ADD??CAB，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD=AB; 111 (2)首先过点C作CH?AB于H，由DD?AB，可得?DDA=?CHA=90?，由四边形CADF是正方形，11 可得AD=CA，又由同角的余角相等，求得?ADD=?CAH，然后利用AAS证得?ADD??CAH，根据11 全等三角形的对应边相等，即可得DD=AH，同理EE=BH，则可得AB=DD+EE( 1111 (3)证明方法同(2)，易得AB=DD,EE( 11 解答: (1)证明:?四边形CADF、CBEG是正方形， ?AD=CA，?DAC=?ABC=90?， ??DAD+?CAB=90?， 1 ?DD?AB， 1 ??DDA=?ABC=90?， 1 ??DAD+?ADD=90?， 11 ??ADD=?CAB， 1 在?ADD和?CAB中， 1 ， ??ADD??CAB(AAS)， 1 ?DD=AB; 1 (2)解:AB=DD+EE( 11 证明:过点C作CH?AB于H， ?DD?AB， 1 ??DDA=?CHA=90?， 1 ??DAD+?ADD=90?， 11 ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com ?四边形CADF是正方形， ?AD=CA，?DAC=90?， ??DAD+?CAH=90?， 1 ??ADD=?CAH， 1 在?ADD和?CAH中， 1 ， ??ADD??CAH(AAS)， 1 ?DD=AH; 1 同理:EE=BH， 1 ?AB=AH+BH=DD+EE; 11 (3)解:AB=DD,EE( 11 证明:过点C作CH?AB于H， ?DD?AB， 1 ??DDA=?CHA=90?， 1 ??DAD+?ADD=90?， 11 ?四边形CADF是正方形， ?AD=CA，?DAC=90?， ??DAD+?CAH=90?， 1 ??ADD=?CAH， 1 在?ADD和?CAH中， 1 ， ??ADD??CAH(AAS)， 1 ?DD=AH; 1 同理:EE=BH， 1 ?AB=AH,BH=DD,EE( 11 点评: 此题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质(此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌 握辅助线的作法( 21((2012•厦门)已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P作PE?AC， PF?BD，垂足分别为E、F，PE=PF( (1)如图，若PE=，EO=1，求?EPF的度数; (2)若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF=BC+3,4，求BC的长( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 考点: 平行四边形的性质;角平分线的性质;三角形中位线定理;正方形的判定与性质( 专题: 几何综合题( 分析: (1)连接PO，利用解直角三角形求出?EPO=30?，再利用“HL”证明?PEO和?PFO全等，根据全等三角 形对应角相等可得?FPO=?EPO，从而得解; (2)根据三角形中位线定理可得PF?AO，且PF=AO，然后根据两直线平行，同位角相等可得 ?AOD=?PFD=90?，再根据同位角相等，两直线平行可得PE?OD，所以PE也是?AOD的中位线，然后 证明四边形ABCD是正方形，根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解( 解答: 解:(1)如图，连接PO，?PE?AC，PE=，EO=1， ?tan?EPO==， ??EPO=30?， ?PE?AC，PF?BD， ??PEO=?PFO=90?， 在Rt?PEO和Rt?PFO中，， ?Rt?PEO?Rt?PFO(HL)， ??FPO=?EPO=30?， ??EPF=?FPO+?EPO=30?+30?=60?; (2)如图，?点P是AD的中点，点F是DO的中点， ?PF为?AOD中位线， ?PF?AO，且PF=AO， ?PF?BD， ??PFD=90?， ??AOD=?PFD=90?， 又?PE?AC， ??AEP=90?， ??AOD=?AEP， ?PE?OD， ?点P是AD的中点， ?PE是?AOD的中位线， ?PE=OD， ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com ?PE=PF， ?AO=OD，且AO?OD， ?平行四边形ABCD是正方形， 设BC=x， 则BF=x+×x=x， ?BF=BC+3,4=x+3,4， ?x+3,4=x， 解得x=4， 即BC=4( 点评: 本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质，(2)中判定出平行四边形ABCD 是正方形是解题的关键( 22((2012•襄阳)如图，在梯形ABCD中，AD?BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F( (1)求证:梯形ABCD是等腰梯形; (2)当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形,请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积( 考点: 等腰梯形的判定;全等三角形的判定与性质;菱形的判定与性质( 分析: (1)由AD?BC，由平行线的性质，可证得?DEC=?EDA，?BEA=?EAD，又由EA=ED，由等腰三角 形的性质，可得?EAD=?EDA，则可得?DEC=?AEB，继而证得?DEC??AEB，即可得梯形ABCD是 等腰梯形; (2)由AD?BC，BE=EC=AD，可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，又由AB?AC， AE=BE=EC，易证得四边形AECD是菱形;过A作AG?BE于点G，易得?ABE是等边三角形，即可求 得答案AG的长，继而求得菱形AECD的面积( 解答: (1)证明:?AD?BC， ??DEC=?EDA，?BEA=?EAD， 又?EA=ED， ??EAD=?EDA， ??DEC=?AEB， 又?EB=EC， ??DEC??AEB， ?AB=CD， ?梯形ABCD是等腰梯形( (2)当AB?AC时，四边形AECD是菱形( 证明:?AD?BC，BE=EC=AD， ?四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形( ?AB=ED， ?AB?AC， ?AE=BE=EC， ?平行四边形AECD是菱形( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 过A作AG?BE于点G， ?AE=BE=AB=2， ??ABE是等边三角形， ??AEB=60?， ?AG=， ?S=EC•AG=2×=2 菱形AECD 点评: 此题考查了等腰梯形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及菱形的判定与性质(此题 综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用( 23((2012•无锡)如图，在?ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF(求证:?BAE=?CDF( 考点: 平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质( 专题: 证明题( 分析: 首先根据平行四边形的性质可得AB=DC，AB?DC，再根据平行线的性质可得?B=?DCF，即可证明 ?ABE??DCF，再根据全等三角形性质可得到结论( 解答: 证明:?四边形ABCD是平行四边形， ?AB=DC，AB?DC， ??B=?DCF， 在?ABE和?DCF中，， ??ABE??DCF(SAS)， ??BAE=?CDF( 点评: 此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是找到证明?ABE??DCF的条件( 24((2012•乌鲁木齐)如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE?DF， 求证:BF=DE( 考点: 平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质( 专题: 证明题( 分析: 由平行四边形的性质和已知条件证明?CEB??AFD，所以可得BE=DF，进而证明四边形BFED是平行四 边形，即BF=DE( 解答: 证明:?四边形ABCD是平行四边形， ?AD=CB，AD?CB， ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com ??BCE=?DAF 又?BE?DF， ??BEC=?DFA 在?CEB和?AFD中， ?BCE=?DAF，?BEC=?DFA，BC=DA ??CEB??AFD ?BE=DF 故BFED为平行四边形( ?BF=DE( 点评: 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，是中考常见题型( 25((2012•温州)如图，?ABC中，?B=90?，AB=6cm，BC=8cm(将?ABC沿射线BC方向平移10cm，得到?DEF， A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD(求证:四边形ACFD是菱形( 考点: 菱形的判定;勾股定理;平移的性质( 专题: 证明题( 分析: 根据平移的性质可得CF=AD=10cm，DF=AC，再在Rt?ABC中利用勾股定理求出AC的长为10，就可以 根据四条边都相等的四边形是菱形得到结论( 解答: 证明:由平移变换的性质得: CF=AD=10cm，DF=AC， ??B=90?，AB=6cm，BC=8cm， ?AC===10， ?AC=DF=AD=CF=10cm， ?四边形ACFD是菱形( 点评: 此题主要考查了平移的性质，菱形的判定，关键是掌握平移的性质:各组对应点的线段平行且相等;菱形 的判定:四条边都相等的四边形是菱形( 26((2012•威海)(1)如图?，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F( 求证:AE=CF( (2)如图?，将?ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A处，点B落在点B处，设11 FB交CD于点G，AB分别交CD，DE于点H，I( 111 求证:EI=FG( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 考点: 平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;翻折变换(折叠问题)( 分析: (1)由四边形ABCD是平行四边形，可得AD?BC，OA=OC，又由平行线的性质，可得?1=?2，继而利 用ASA，即可证得?AOE??COF，则可证得AE=CF( (2)根据平行四边形的性质与折叠性质，易得AE=CF，?A=?A=?C，?B=?B=?D，继而可证得111 ?AIE??CGF，即可证得EI=FG( 1 解答: 证明:(1)?四边形ABCD是平行四边形， ?AD?BC，OA=OC， ??1=?2， ?在?AOE和?COF中， ， ??AOE??COF(ASA)， ?AE=CF; (2)?四边形ABCD是平行四边形， ??A=?C，?B=?D， 由(1)得AE=CF， 由折叠的性质可得:AE=AE，?A=?A，?B=?B， 111 ?AE=CF，?A=?A=?C，?B=?B=?D， 111 又??1=?2， ??3=?4， ??5=?3，?4=?6， ??5=?6， ?在?AIE与?CGF中， 1 ， ??AIE??CGF(AAS)， 1 ?EI=FG( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 点评: 此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质(此题难度适中，注意掌握折叠 前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用( 27((2012•泰州)如图，四边形ABCD中，AD?BC，AE?AD交BD于点E，CF?BC交BD于点F，且AE=CF(求证:四边形ABCD是平行四边形( 考点: 平行四边形的判定;全等三角形的判定与性质( 专题: 证明题( 分析: 由垂直得到?EAD=?FCB=90?，根据AAS可证明Rt?AED?Rt?CFB，得到AD=BC，根据平行四边形的 判定判断即可( 解答: 证明:?AE?AD，CF?BC， ??EAD=?FCB=90?， ?AD?BC， ??ADE=?CBF， 在Rt?AED和Rt?CFB中， ?， ?Rt?AED?Rt?CFB(AAS)， ?AD=BC， ?AD?BC， ?四边形ABCD是平行四边形( 点评: 本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出 AD=BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力( 28((2012•苏州)如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD(已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x(s)，线段GP的长为y(cm)，其中0?x?2.5( (1)试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值; (2)记?DGP的面积为S，?CDG的面积为S(试说明S,S是常数; 1212 (3)当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 考点: 正方形的性质;一元二次方程的应用;等腰直角三角形;矩形的性质;解直角三角形( 专题: 代数几何综合题( 分析: (1)根据题意表示出AG、GD的长度，再由?GCD??APG，利用对应边成比例可解出x的值( (2)利用(1)得出的y与x的关系式表示出S、S，然后作差即可( 12 (3)延长PD交AC于点Q，然后判断?DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt?DGP 中，解直角三角形可得出PD的长度( 解答: 解:(1)?CG?AP， ??CGD=?GAP， 又??CDG=?AGP， ??GCD??APG， ?=， ?GF=4，CD=DA=1，AF=x， ?GD=3,x，AG=4,x， ?=，即y=， ?y关于x的函数关系式为y=， 当y=3时，=3，解得x=2.5， 经检验的x=2.5是分式方程的根( 故x的值为2.5; 2(2)?S=GP•GD=••(3,x)=(cm)， 1 2S=GD•CD=(3,x)×1=(cm)， 2 2?S,S=,=(cm)，即为常数; 12 (3)延长PD交AC于点Q( ?正方形ABCD中，AC为对角线， ??CAD=45?， ?PQ?AC， ??ADQ=45?， ??GDP=?ADQ=45?( ??DGP是等腰直角三角形，则GD=GP， ?3,x=， 2化简得:x,5x+5=0( 解得:x=， ?0?x?2.5， ?x=， 在Rt?DGP中，PD==(3,x)=(cm)( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 点评: 此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形的知识，解答本题的关键是用移动的时间表 示出有关线段的长度，然后运用所学知识进行求解( 29((2012•沈阳)已知，如图，在?ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交 AB，CD于点M，N，连接DM，BN( (1)求证:?AEM??CFN; (2)求证:四边形BMDN是平行四边形( 考点: 平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质( 专题: 证明题( 分析: (1)先根据平行四边形的性质可得出AD?BC，?DAB=?BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出 ?E=?F，?EAM=?FCN，从而利用ASA可作出证明; (2)根据平行四边形的性质及(1)的结论可得BMDN，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形即可证明( 解答: 证明:(1)四边形ABCD是平行四边形， ??DAB=?BCD， ??EAM=?FCN， 又?AD?BC， ??E=?F( ?在?AEM与?CFN中， ， ??AEM??CFN(ASA); (2)?四边形ABCD是平行四边形， ?ABCD， ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 又由(1)得AM=CN， ?BMDN， ?四边形BMDN是平行四边形( 点评: 本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定，属于基础题，比较简单( 30((2012•锦州)已知:在?ABC中，?BAC=90?，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合)(以AD为边作正方形ADEF，连接CF( (1)如图1，当点D在线段BC上时，求证:?BD?CF(?CF=BC,CD( (2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系; (3)如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变:?请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系(?若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究?AOC的形状，并说明理由( 考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定( 专题: 证明题( 分析: (1)?根据等腰直角三角形的性质可得?ABC=?ACB=45?，再根据正方形的性质可得AD=AF， ?DAF=90?，然后利用同角的余角相等求出?BAD=?CAF，然后利用“边角边”证明?BAD和?CAF全等， 根据全等三角形对应角相等可得?ACF=?ABD，再求出?ACF+?ACB=90?，从而得证;?根据全等三角 形对应边相等可得BD=CF，从而求出CF=BC,CD; (2)与(1)同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=BC+CD; (3)?与(1)同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=CD,BC;?根据等腰直角三角形的性质求出 ?ABC=?ACB=45?，再根据邻补角的定义求出?ABD=135?，再根据同角的余角相等求出?BAD=?CAF， 然后利用“边角边”证明?BAD和?CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得?ACF=?ABD，再求出 ?FCD=90?，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=DF，再根据正方形的对角线相 等求出OC=OA，从而得到?AOC是等腰三角形( 解答: (1)证明:???BAC=90?，AB=AC， ??ABC=?ACB=45?， ?四边形ADEF是正方形， ?AD=AF，?DAF=90?， ??BAC=?BAD+?DAC=90?， ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com ?DAF=?CAF+?DAC=90?， ??BAD=?CAF， 在?BAD和?CAF中，， ??BAD??CAF(SAS)， ??ACF=?ABD=45?， ??ACF+?ACB=90?， ?BD?CF; ?由??BAD??CAF可得BD=CF， ?BD=BC,CD， ?CF=BC,CD; (2)与(1)同理可得BD=CF， 所以，CF=BC+CD; (3)?与(1)同理可得，BD=CF， 所以，CF=CD,BC; ???BAC=90?，AB=AC， ??ABC=?ACB=45?， 则?ABD=180?,45?=135?， ?四边形ADEF是正方形， ?AD=AF，?DAF=90?， ??BAC=?BAF+?CAF=90?， ?DAF=?BAD+?BAF=90?， ??BAD=?CAF， 在?BAD和?CAF中，， ??BAD??CAF(SAS)， ??ACF=?ABD=180?,45?=135?， ??FCD=?ACF,?ACB=90?， 则?FCD为直角三角形， ?正方形ADEF中，O为DF中点， ?OC=DF， ?在正方形ADEF中，OA=AE，AE=DF， ?OC=OA， ??AOC是等腰三角形( 点评: 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，以及 同角的余角相等的性质，此类题目通常都是用同一种思路求解，在(1)中找出证明三角形全等的思路是解 题的关键( ?2010-2013 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com ?2010-2013 菁优网