R型因子分析模型描述

R型因子模型描述 型因子分析模型描述 ! !李利梅 柳向东 一、引言， 为 不 可 测 向的推广，即从研究相关矩阵内部的依赖’"2$%2&2&$&2)*&345 3!’关系出发，把一些具有错综复杂关系的 因子分析，一个历史上频繁地引起 量 ，，即 的 各 分 量 是 相 +%2)$&0 %2)$62 -./激烈争论的问题。因子分析的概念起源 变量归结为少数几个综合因子的一种多 互独立的; 于 世 纪 早 期 和 变量统计分析方法。它还可用于分类处 + 0123 %41256 7812345 (.7"&$%&&&&$&&)* 与 2 相互独 立 ，+%&) !’(理(对变量或样品)。根据因子得分值，在 及其他一些学者，为定义和测 9$41246 : $-&./0%&)是对角阵，即’ 定智力所作的统计分析。因为与智力这 因子轴所构成的空间中把变量或样品点 & # -’!! 类概念早有联系，主要由对心理测量学描出来，达到形象直观的分类目的。 $’ ’’’有兴趣的科学家，培育并发展了因子分 研究样品间的相互关系的因子分析 $ ’’ 0%&)$%$./&’$ 析。当时由于缺乏强有力的计算工具，使 型因子分析，而研究变量间相互 成为 ; / $’’ 型因子分析，下面讨论的关系的称为 这种统计方法的发展受到了阻碍。近年 -’< %55 (便是 型因子分析。来，随着高速计算机的面世，人们将因子 < 由此可见 的各分量间也是相互独 & 二、型因子分析模型" 分析的理论成功地应用于经济学、医学、 立的。 (一)设有 个 样 品 ，每 个 样 品 观 测! 地理学等领域，早期的争论也消退了，使 综合以上三个条件，因子模型如下: 因 子 分 析 的 理 论 和 方 法 更 加 丰 富 和 完" 个变量。, $82 982 9$982 9& !’ ’!3 3! )!!! ! 善。 将 样 本 观 测 数 据 进 行 标 准 化 处 理 +9$982 9&2 982 , $8 3 3 ’ ’! !’’ ’’’* 因子分析的基本思想是:依据相关 (对变量进行比较，并消除观测量纲的差 $$ +性的大小将变量分组，使得同组内的变 异及数量造成的影响)，使得处理后的变 ,$829829$9829&5 5! ! 5’ ’ 53 3 5, 量之间相关性较高，但不同组的变量相 量均值为 ，方差为 。设原始观测变量 () 其矩阵形式为:$ 29&,:关性较低。每组变量代一个基本结构， 和变换后变量均用 表示，原公共因子= 是因子载荷矩阵: : 这个基本结构称为公共因子。对于所研 变量为 >?>?$?>，经标准化后的公共因 )+:88$ 8究的问题就可试图用最小个数的不可测 -!! !’ !3 & 子变量记为 @?@?$?@AB$C。条件: :)+:.’ 的所谓公共因子的线性数与特殊因子 8 8 $ 8 ’! ’’ ’3为 可 观 测 随 机 向 : $!"# $%#&#&$&#)* .’!’(之和来描述原来观测的每一分量。 ; ; $ ; .’量，均值向量 ()，协方差矩阵 +,$-./0 %,) 可以把因子分析看成是主成分分析 88$ 8% 3 (!(’(( $%，且与相关矩阵 1 相等; ? $"$! +*运用模糊综合评判方法对无形资!"(然后进行打分，求出一个系数 ?#$ !"产的多因素进行多级的合理评估，应注 其 中 ，为 通 过 评 估 方 法 确 定 的 该 $这种方法综合考虑了各个因素的影 ( 意以下几点: 无 形 资 产 的 公 允 评 估 值 ;为 所 评 估 无响，更能全面反映评估对象的价值，因此 $ ()评价人员的客观公正评价;因为 )在无形资产评估中得到了广泛的应用。 形资产的价值。模糊综合评判中涉及到一些主观性的问 求无形资产的分割系数 例如: #! 题，因此评价人员的客观公正是准确评 ?$"$! 求商标评估中倍比系数 !! (估的先决条件。 由模糊综合评估模型得到的商标的 其 中 ，为 一 组 无 形 资 产 共 同 的 评 $ (()评 价 因 素 的 合 理 选 择 与 合 理 分 +倍比系数 ，则商标价值为: !估价值;为所评估无形资产的价值。$ 级。 %"&’! 二、结论()各级权重的合理。 ,其中，为商标历 史 加 权 收 益 ;为 & $ 无形资产评估是一个影响因素众 )*()各 级 模 糊 综 合 评 价 中 合 成 算 子 -所评估商标的价值。 多、各因素之间关系复杂、整个评估过程 “”的合理选取。 .求无形资产价值调整系数 !"存在广泛模糊 性 的 非 常 复 杂 的 系 统 ，通 ()清晰化方法的合理选择。 /由模糊综合评估模型得到的无形资 (作者单位河北农业大学) !过模糊综合评判的方法，可以减少由于 产价值评估系数 ，无形资产评估价值 !(责任编辑 ! 刘智伟) 信息的模糊性带来的不确定性，提高无 为: 形资产评估的准确性和可信度。 越 大 ，与 相 依 程 度 越 大(的方法。实行后者时，我们可以从少到多 !"! %&& # $ $为 的特殊值，为对应的 #$ 8 % 9+9,9,,9-7 ."045逐步增加模型中公共因子个数 使所 ,/ 对于 的载荷越大)。 ’# 标准正交化特征向量，则 选 取 的 主 因 子 对 将 来 方 差 的 贡 献 达 到 (二 )由 以 上 模 型 可 知 与 #的 协 !" $ %&9971&99711&997 ."000444555 / 以上。ABC &97 ("0 0+ 方差为:()*+,&-.()*+"&1!,&’!#$#$ $ # $ ),极大似然法。4D &97"$ 0. 4 4+ &9 , &9 ,, &9 - ." 0 0 4 4" 5 5 ) ," " 假定公共因子 与特殊因子 服从 & ! /: ) , (*+&,&-1(*+,&-.)")!."!正态分布，那就能得到因子载荷和特殊 #$ $ $ # $ #$&97 $ . 0*- "5 5 因子方差的极大似然估计。 与 的相关系数为:%&2,()* .# $ #&$’ 是来自正态总体 设 ’,’,",’F+$, 04E 5上式虽精确，但无实用价值，只因我们是 +%,&- # $ .()*+% ,& -."# $ #$ 的随机样本，，与 有 联%-%; ; 71%&!" !$ $ 为了得到少数几个公共因子解释协方差*2+%- *2+&- ""# $ "" 合正态分布。 项得到结构的因子模型。因此取前 / 可 看 作 是 第 个 变 量 在 第 个 公"# $ #$ I0 共因子上的权。 &97 ."0 0+ 00G +$,%- 9%5 H J2 K .I! E5 E 4 4 4 4 ),4&97 4 4"4 4# 3 1" 11 ." ""%+&9, &,, &9-""+4’-!!! 0 00 04 0/ "0 0"4 94"/ /) ,: % 4 4 4 4 ) ,% 3"1"11" E ." 4 40 44 4/&97 *-"/ /$ ////++’I%-+’I%-71E+%I$-+%I$-)7LM! $ $ "" % .; ; 7 $ . 0 % 4 4 4 4在考虑了特殊因子之后，协方差矩阵为: 3."1"1"1"&5 50 54 5 /上式通过依赖于 和 由于它 ; %,!!%"; ; 71% !叫做变量 的共同度 ， 也 称 共,,, "’’’045 &97 不能唯一确定 ，因此可添加一个唯一 ; 同方差。0 0"+. / ), &97 I0"44性条件:.+ &9, &9,", &9- ; 7为 一 对 角 矩 阵 ， 每个变量 的方差:!; ."," *"2+-*"2+ ’’.! "0 0"4 4"/ /, !)# # :$ 0 . ) , / 通过数值极大化方法可得极大似然估计&97 -*"//4 4 4 4 "&1!- ." 1# .31# !#$# ###$ $ # #$ 4 $ . 0 +.# 8 I0 > > > >> >> >/00 ;和%D; ,%和$.% 将使; 7%; 为对角矩!! ! 由于假设原始变量 和主因子、特 ),’ # 4 阵，且使 G+$,%-最大。#), 44 殊因子都进行标准化处理，所以 *"2+’-. 1# 共同度的极大似然估计为:) , ) 4 431# .0。 ### 4 ) , 4 4 4 44> > > >反 映 了 全 部 公 共 因 子 对 变 量 8 #3’ # #"71"711" 7,#0,4, ,5 .".55 *-3# #0 #4 # /的影响，是全部公共因子对变量 的方 由此可得第 个因子对总样本方差 ’$ 假设 为样本协方差矩阵，经标准 < # 4 的贡献如下: 化处理后变量的协方差矩阵就等于样本 差贡献;叫做特殊方差或剩余方差。# ## 4 4 4 44 4 4。对 和 做类似式子 相关矩阵 = < = % " #6 ." 1" 1"1" 0 00 40 50 > > >+"1"1"1"- N +<1<1"1<-+< 为第 #% #$ 4$5$0044OO 的 表 示 可 得 和 的 一 个 解 ， 71%%;;; 4 4 4 4 ! ! % 6111 .""""个变量的方差- 4 04 44 54因为 是前 个主成分系数的倍数，所 ; / ’(四)因子旋转。 以称主成分解。 "" % % 4 4 4 4一般情况下，当得出的因子的实际 > > > 6."1"1"1"设为 样 本 相 关 矩 阵&&& "!!!& 0 4 5 ////04? 意义不是很明显时，还需进行因子旋转。 4 把 称为公共因子 对 的 方 差6&’$ # $ > > >的 特 征 根 ，，，，为 对 应 的 标 准 = 99 "9 04? 旋转以后，因子的共同度不变，但贡献率 4贡献，越大，对 的影响和作用就越6&’ 却会有所变化。因子旋转的方法有很多， 正交化特征向量。/@5 ，则因子载荷矩阵$ # $ 大。 一般我们用方差极大化正交旋转。 > > > > > > > 为:+&9, &9,, & 9- ;. """"0044// (三 )两 种 常 用 的 载 荷 矩 阵 % 的 估有时，还可以利用因子得分来做评> 4 > 4 > 4 > 4 共同度估计为:3"1"11"."# #0 #4 #/ 计方法。 价，例如进行股票排名。确 定 公 共 因 子 的 个 数 一 般 有 两 / 主成分法。&’ 种方法:首先，是依据具体问题的专业理 设随 机 向 量 的 均 值 .+,,",-7 ’’’’(作者单位深圳大学，暨南大学)045! 论来确定;其次，是利用选取主成分个数 (责任编辑 ! 刘智伟) 为 ，协方差距 阵 为 $%,&!&!"!&! 045 统计与决策 年第 期( 总第 期) !"" # $ %&’ *+