初二数学重难点专题突破-等腰三角形

初二数学重难点专题突破-等腰三角形 ----“等边对等角”与“等角对等边” 理解“等边对等角”与“等角对等边”的意义，会利用这两个定理解题 在同一三角形中：“欲证边相等，先证角相等”，“欲证角相等，先证边相等” 例1．如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD=BE，AE=DE，求∠A的度数。 例2．如图，AB=AD=AC，∠CAD=36°，求∠DBC的度数。 例3．如图，DE∥BC，BG=CG，∠1=∠2。求证：ΔDGE是等腰三角形。 例4．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连结EF。求证：AD垂直平分EF。 （即是该课程的课后测试）   1．如图，已知AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE。 2．已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE =CD。求证：BD =DE。 3．如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O。试判断△OEF的形状，并理由。 4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD=CE，∠DBC=∠ECB。求证：AB=AC。 5．如图，△ACB和ΔECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点。求证：△ACE≌△BCD。 1．答案： ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵AD=AE ∴∠ADE=∠AEC ∴180O -∠ADE=180O -∠AEC 即∠ADB=∠AEC 在△ABD和△ACE中 ∠ADB=∠AEC ∠B=∠C AB=AC ∴△ABD≌△ACE ∴BD=CE 2．答案： ∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC=∠ACB=60° ∵D为AC中点 ∴∠DBC=30° ∵CE ＝ CD ∴∠E=30° ∴∠DBC=∠E ∴BD ＝ DE 3．答案：△OEF为等腰三角形，理由如下： ∵BE＝CF ∴BE＋EF＝CF＋EF 即BF＝CE 在△ABF和△DCE中 ∠A=∠D ∠B=∠C BF=CE ∴△ABF≌△DCE ∴∠AFB=∠DEC ∴OE=OF ∴△OEF为等腰三角形 4．答案： 在ΔCBD和ΔBCE中 BD=CE ∠DBC=∠ECB BC=CB ∴ΔCBD≌ΔBCE ∴∠ACB=∠ABC ∴AB=AC 5．答案： ∵ΔACB和ΔECD都是等腰直角三角形 ∴AC=BC，EC=DC    ∵∠ACE=∠DCE-∠DCA，∠BCD=∠ACB-∠DCA，∠ACB=∠ECD=90o ∴∠ACE=∠BCD 在ΔACE和ΔBCD中 AC=BC ∠ACE=∠BCD EC=DC ∴ΔACE≌ΔBCD 初二数学重难点专题突破-等腰三角形 ----等腰三角形中常用解题方法 熟练掌握等腰三角形问题的常用解题方法 求角的方法，求边的方法，利用角平分线与平行线的关系，构造倍半关系角 例1．如图，在ΔABC中，AB=AC，D在BC上，且AD=BD，AC=CD，求∠B。 例2．等腰三角形的周长为30cm，一边长是12cm，求另两边的长。 例3．如图，在ΔABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，DE∥BC，求证：DE=BD+CE。 例4．如图，已知∠B=2∠C，∠CAD=∠BAD。求证：AC=AB+BD。 （即是该课程的课后测试）   1．如图，已知BC⊥AC，DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A=30o，DE=1.8，求AB的长。 2．求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 3．如图，在△ABC中BD⊥AC于D，∠BAC=2∠DBC。求证：∠ABC=∠ACB。 4．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过M作ME//AD交BA 的延长线于E，交AC于F。求证：BE= (AB+AC)。 5．在△ABC中，BC=2AB，∠B=2∠C，AD是BC边的中线。求证：△ADB等边三角形。 1．答案：7.2 ∵∠A=30o，DE⊥AC，BC⊥AC ∴DE= AD，BC= AB ∵AD= AB ∴DE= AD= AB 即AB=4DE=4×1.8=7.2 2．答案： 如图，在△ABC中，AB=AC，P是BC边上任一点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，BE是AC边上的高。求证：PM+PN=BE。 证明：如图，作PQ ⊥BE于Q ∵BE⊥ AC，PN⊥AC ∴BE ∥PN ∵PQ⊥ BE，AC⊥BE ∴PQ ∥ NE ∴QE=PN ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C ∵PQ∥AC ∴∠QPB=∠C ∴∠ABC=∠QPB ∵∠PMB=∠BQP=900  ，BP=PB ∴△PMB≌△BQP（AAS） ∴PM=BQ ∴PM+PN=BQ+QE=BE 3．答案： 作∠BAC的平分线AE交BC于E，交BD于O 则∠BAE=∠CAE=∠DBC ∵BD⊥AC ∴∠ODA=90° ∵∠AOD=∠BOE ∴∠OEB=180°-∠BOE-∠DBC=180°-∠AOD-∠CAE=∠ODA 即∠OEB=90° ∴∠ABC+∠BAE=90°，∠ACB+∠CAE=90° ∴∠ABC=∠ACB 4．答案： 延长EM到E’，使得E’M=EM，连结CE’ ∵M是BC的中点 ∴BM=CM 在△BEM和△CE’M中 BM=CM ∠BME=∠CM E’ EM=E’M ∴△BEM≌△CE’M ∴BE= CE’ ，∠E＝∠E’ ∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠BAD＝∠CAD ∵ME//AD ∴∠E＝∠BAD，∠EFA=∠CAD ∴∠E＝∠EFA ∴AE=AF ∵∠EFA=∠CFE’ ∴∠E’=∠CFE’ ∴CE’=CF ∴BE+ AE=CF+AF=AC ∴AB + AC=AB+BE+ AE=2BE ∴BE= （AB+AC） 5．答案：作BE平分∠B交AC于E，连结DE ∴∠ABC=2∠EBC ∵∠ABC =2∠C ∴∠C=∠EBC ∴BE=CE ∵AD是BC边的中线，D为中点 ∴ED⊥BC，BC=2BD ∵BC=2AB  ∴AB=BD 在△ABE和△DBE中 AB=DB ∠ABE=∠DBE BE=BE ∴△ABE≌△DBE  ∴∠BAE=∠BDE=90° ∴△ABC为直角三角形 ∵AD是Rt△ABC斜边上的中线  ∴ BC=AD=BD= AB ∴△ADB等边三角形 初二数学重难点专题突破-等腰三角形 ----构造等腰三角形 熟练掌握构造等腰三角形的几种方法 利用“三线合一”构造，利用平行线构造，利用倍角关系构造 例1．如图，在ΔABC中，AC=BC，∠ACB=90o，BD平分∠ABC，且AE垂直于BD的延长线于点E。求证：BD=2AE。 例2．如图，AB=AF，BC=FE，∠B=∠F，D是CE中点。⑴证明：AD⊥CE；⑵连结BF后，还能得出什么结论？请你写出两个（不要求证明）。 例3．如图，在ΔABC中，AB=AC，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D。求证：DE=DF。 例4．如图，在ΔABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线。求证：AC=AB+BD。 （即是该课程的课后测试）     1．如图，△ABC中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作EF⊥BC，交BA的延长线于点E，垂足为点F。求证：AE＝AP。 2．如图，在△ABC中，点D为AB边上的一点，点E为BC边上的一点，DE∥AC，O为DE上一点，AO平分∠BAC，若AD+CE=DE，求证：CO平分∠ACB。 3．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE=CD，EF=AC。求证：EF∥AB。 4．如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，BC=2AC。求证：∠A=90°。 5．已知△ABC中，过BC中点D作直线交AB于E，交CA延长线于F，且AE=AF。求证：BE=CF。 1．答案： 作AD平分∠BAC交BC于点D ∵AB=AC ∴AD⊥BC ∵EF⊥BC ∴AD∥EF ∴∠BAD=∠E，∠DAC=∠APE ∵∠BAD=∠DAC ∴∠E=∠APE ∴AE=AP 2．答案：AD+CE=DE，理由如下： ∵AO平分∠BAC ∴∠CAO=∠DAO ∵DE∥AC ∴∠CAO=∠AOD，∠EOC=∠ACO ∴∠DAO=∠AOD ∴AD=DO ∵AD+CE=DE ∴DO+CE=DE ∵DO+OE=DE ∴OE=CE ∴∠EOC=∠ECO ∵∠EOC=∠ACO ∴∠ECO=∠ACO ∴CO平分∠ACB 3．答案： 延长AD至M，使DM＝AD，连结EM 在△MDE和△ADC中 DE=DC ∠MDE=∠ADC MD=AD ∴△MDE≌△ADC ∴ME=AC ∵EF=AC，∠M=∠CAD ∴∠M=∠EFM ∴∠CAD=∠EFM ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD=∠EFM ∴EF∥AB 4．答案： 作CD平分∠ACB交AB于D，过D作DE⊥BC于E ∵∠ACB=2∠B ∴∠B=∠BCD ∴△DBC是等腰三角形 ∵DE⊥BC ∴BC=2CE ∵BC=2AC ∴AC=EC 在△ACD和△ECD中 AC=EC ∠ACD=∠ECD CD=CD ∴△ACD≌△ECD ∴∠A＝∠DEC＝90° 5．答案： 过点C作CG//AB，交FD延长线于G ∵∠G=∠BED，∠GCD=∠B，DB=CD ∴△CGD≌△BED（AAS） ∴CG=BE ∵AE=AF ∴∠AEF=∠F ∴∠G=∠AEF =∠F ∴CG=CF ∴BE=CF 初二数学重难点专题突破-等腰三角形 ----等腰三角形中的多解问题 掌握有关等腰三角形问题的分类讨论思想 与边有关的多解，与角有关的多解，与腰上的中线及腰上的高有关的多解 例1．已知等腰三角形的一边长是6，另一边长是7，则这个三角形的周长是多少？ 例2．已知等腰三角形的一个内角是30o，则其余两个内角的度数分别是多少？ 例3．已知等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形的周长分成15和12两部分，则此等腰三角形的底边长是多少？ 例4．已知等腰三角形ABC中，BC边上的高AD= BC，求∠BAC的度数。 （即是该课程的课后测试）   1．已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（    ）