正数就是比零小的数--一个完整毛病的正数定义 作者：华亭、任洁。[摘录]

正数就是比零小的数--一个完整毛病的正数定义 作者：华亭、任洁。[摘录] 负数就是比零小的数—— 一个 完全错误的负数定义 内容提要:本文对初中一年级数学课本中的正数和负数概念进行了深入分析与考察，判定“意义相反的量”包含性质相反的量和界位相反的量两个有本质差别的内容，证明数轴上的正数和负数是假正数和假负数，肯定了我国数学家刘徽提出的正、负数定义，否定了“负数是比零小的数”这一从西方引进的负数定义，从而为最终扫除“虚数”迷雾奠定了理论基础。 主题词:负数 定义 批判 负数概念，在数学史上曾经出现过两个定义。第一个定义是我国魏晋时期的大数学家刘徽(225年—295年)于公元263年在《九章算术注》中提出的。《九章算术》是我国西汉初期的历算学家张苍和耿寿昌先后收集并增补先秦《九数》遗文而编定的数学经典。在《九章算术》第八章中有一段话专门记述了正数、负数和零混合加减的处理办法。原文是:“正负术曰:同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”在这八句正负术口诀中，“同名”、“异名”分别指同号、异号;“相益”、“相除”分别指两数的绝对值相加、相减;“无入”是指本应先在的合并对象不存在，也就是被加数或被减数为零;前四句口诀讲的是正数、负数和零的减法法则，意思是同号两数相减，将绝对值相减，异号两数相减，将绝对值相加，零减去正数得负数，零减去负数得正数;后四句口诀讲的是正数、负数和零的加法法则，意思是异号两数相加，将绝对值相减，同号两数相加，将绝对值相加，零加正数得正数，零 加负数得负数。这些法则与今天的正、负数加减运算法则是一致的。可惜的是，《九章算术》没有论及正数和负数的定义，此缺陷一直延续四百多年，直到刘徽给《九章算术》作注时才得以弥补。刘徽在注释“正负术”时，一开始就给正数和负数下了定义，他明确指出:“今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑。否则以邪正为异。”这几句话的意思就是:当两数在加法运算中会引起增加和减少两种相反结果时，要用“正数”和“负数”对这两种数分别命名;正数用红色算筹表示，负数用黑色算筹表示，否则就用斜着摆放与正着摆放的算筹分别代表负数和正数，以显示对负数和正数的区别。从刘徽这几句话里，我们可以看到两个思想要点:其一是，进行正负数命名的前提条件是“两算得失相反”，即“两算”的性质相反，是相互抵消关系，“两算”是在相反的数量关系中同时存在的，它们互为对立面;其二是，当“两算得失相反”时，必须对相反的“两算”进行区分，不仅是“要令正负以名之”，即用“正”“负”相反的名称把“两算得失相反”的本质体现出来，而且在有了“正”“负”相反的名称之后还要在运算过程中选用一定的方式把“两算”相反的性质予以标明、显示，不管采用什么方式都可以，但不能不标示，不能不区分。根据刘徽的这几句话我们得知:正数和负数就是用以区分和表示在运算中相互抵消的“两算”——两种量——的数，正数和负数互为对立面。 公元七世纪期间，印度数学家也深入探讨了正数和负数。在这些数学家中有著名的婆罗摩及多，他把正数叫做“财产”，把负数叫做“负债”，还采用在数字上面标上方向相反的箭头这种简便明确的 方式区别正数和负数。印度数学家很早就发现正数的平方根有两个值?，但是他们没有提出正数和负数的定义。 在数学史上，提出负数第二个定义的是德国数学家米哈依尔.史提非(约1486年—1567年)，他在发表于1544年的数学论文《整数 ? 算术》中，把负数定义为“比零小的数”。 对于史提非的这个定义，许多人感到难以接受，因为人们认为，零的本义是表示什么也没有，已经是最小的数了，不可能再小了。但是，要说人们完全不承认史提非的定义，也不确切，事实上也确有人认为负数只能比零小，因为负数只有在被减数小于减数时才出现，它所表示的是减数把被减数减完之后又继续往下减的结果，这就和一个人把属于自己的财产用尽之后又借了贷、负了债一样。两种观点似乎都有道理，于是人们陷入了困惑之中。美国著名数学评论家M.克莱因在他的著作《数学:确定性的丧失》中对这种困惑进行了反映，他写道:“在16、17世纪，并没有许多数学家心安理得地使用或者承认 ?负数，更谈不上承认它们可以作为方程的真实的根。”但是，历史并不因为困惑而停顿。让人难以置信而又必须承认的是，人们(其中包括史提非)正是在困惑中打破了长期存在的减数不能大于被减数的认识局限，终于写出了3,5,,2之类的运算式子。更让人难以相信的是，法国伟大哲学家、数学家笛卡尔也对“负数是比零小的数”之说法长期困惑，但也就是他，一边因为负数是比零小的数而把方程的负根称作假根，一边又在《几何学》中为具有划时代意义的平面直角坐 ?标系新理论奠定了基础，促使数学得到了空前的发展。这种不合逻 辑的现象应该怎样解释呢,这是值得每个关心科学发展和人类进步的人认真深思的问题。 令人遗憾的是，时至今日没有人对负数的第二个定义所引起的困惑作出令人满意的解答，时至今日也没有人对负数的两个明显不统一的定义给予深入的剖析和评断，甚至没有人提到过负数有两个互不协调的定义;而最能体现和反映当今数学界主流思想的数学教科书竟然对正数和负数的概念作出含糊的处理，竟然在不知不觉的情况下完成了两次偷换概念，最终舍弃正、负数的正确定义，肯定了正、负数的错误定义。读者如果不相信这是事实，请看经全国中小学教材审定委员会2001年初审通过的初中一年级数学课本。 为了避免考察对象缺乏代表性，笔者曾对我国改革开放以来的几种初中一年级数学课本进行反复对照，认为最新课本中涉及正、负数概念的内容与前几种课本中的相应内容大同小异，可以肯定不是一家之言，不是无源之言，也可以肯定不是偶然失误。笔者之所以要选定最新数学课本为考察对象，一是因为它是课本，是专门用来教育人的，只要有错误就必然引起大范围的不良影响;二是因为它比较集中比较系统比较明白地体现和反映了数学界对正数和负数概念的错误认识，而且这种错误已经给整个数学体系带来了连带性恶果，引出了逻辑性谬误，如果不彻底纠正这种错误，就提不出新的数概念，就不会有在新的数概念名义下的运算法则，因而也就不能对负数开平方作出合理的令人心服口服的科学解释。那么，数学教科书究竟错在什么地方呢, 在经全国中小学教材审定委员会2001年初审通过的初中一年级数学课本中，第二章前五节依次讲述了正数和负数概念、数轴概念、相反数概念、绝对值概念、有理数的大小比较;后十节依次讲述了有理数加减乘除和乘方运算法则等。这一章课文(下文考察内容主要是这一章，不再指明)从表面上看是一环紧扣一环，井井有条，结构十分严谨，明白无误，但仔细考究起来，却不能不让人得出相反的结论:基本概念含糊、扭曲，被以假充真;内容前后矛盾。笔者经反复探讨，把其中存在的原则性失误归纳为三大项:正数和负数概念含糊扭曲，数轴表示的对象含糊扭曲，绝对值概念含糊扭曲。下面，我们就对这三大项依次论证: ?正数和负数概念含糊、扭曲 新课本第二章第一节是专讲正数和负数概念的。为了说明什么是正数和负数，课文一开始就列举出五个例子: 例1、汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米 ; 例2、温度是零上10?c和零下5?c; 例3、收入500元和支出237元; 例4、水位升高1.2米和下降0.7米; 例5、买进100辆自行车和卖出20辆自行车。 课文举例之后归纳道: 这里出现的每一对量，虽然有着不同的具 体内容，但有着一个共同特点:它们都是具有相 反意义的量。向东和向西、零上和零下、收入和 支出、升高和下降、买进和卖出都是具有相反的 意义。 课文指出五个例子的“共同特点”之后又指出，若“只用原来学过的数很难区分具有相反意义的量”。接下来就提出区分的办法: 一般地，对于具有相反意义的量，我们可 把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的 数表示;把与它意义相反的量规定为负的，用过 去学过的数(零除外)前面放一个“,”号来表 示。 课文讲完区分“具有相反意义的量”的办法，马上就用所列举的例子进行演示，把例1中汽车向东行驶3千米记为3千米，向西行2千米记为,2千米;把例2中零上10?c用10?c表示，零下5?c用,5?c表示;把例3中收入500元记为500元，支出237元记为,237元。在具体演示的基础上，课文进一步说明: 为了表示具有相反意义的量，上面我们引 进了―5、―2、―237等数，像这样的数是一种 新数，叫做负数。过去学过的那些数(零除外)， 如10、3、500、1.2等，叫做正数。正数前面有 时也可以放上一个“，”号，如5可以写成，5。 在这一段性说明的旁边有一句旁白告诉我们:“，5和5是一样的。”在这一段说明的后边有一句加有“注意”的重要提示:“零既不是正数，也不是负数。” 这就是第一节课文所讲授的正数和负数～笔者为了让读者详细了解新课本是如何讲解正数和负数概念的，几乎是把第一节课文全部搬上了“公案”。也许会有读者发议论:“什么‘含糊’‘扭曲’～我们认为第一节课文已经把正数和负数的概念讲得清清楚楚了，根本不存在什么问题。”笔者要说:你们认为不存在什么问题，那是因为你们考察时习惯于走熟路。如果你稍微仔细一点，就会吃惊地发现在第一节课文中存在两个原则性失误:其一是，把完全不同的两类“具有相反意义的量”混为一谈，其二是，毫无根据地宣称“过去学过的那些数(零除外)”“叫做正数”;正是这两个原则性失误最终导致假正数和假负数概念久占数学“庭堂”～ 下面让我们进行一些具体分析。首先，让我们来关注“具有相反意义的量”。可以毫不夸张地说，“具有相反意义的量”在第一节课文中是一个关键性的概念，如果没有这个概念，就不会有“正数”“负数”概念出现。这是因为，第一节课文把所有成对的具有相反意义的量视作正数和负数在现实中的原型，视作正数和负数代表的对象。必须肯定，这是一个十分正确的观念和思路。可惜的是，课文对“具有相反意义的量”未加甄别，竟然含含糊糊把所列举的五个例子当成一个类型，把每一对具有相反意义的量都用正数和负数进行了表示，不知不觉地在数学大厦的基础部位埋下了祸根。事实上，第一节课文所 列举的五对具有相反意义的量属于两大类型:例1、例3、例4、例5属于一类，依据其特征可称其为性质相反的量，简称甲类;例2属于另一类，依据其特征可称其为界位相反的量，简称乙类。甲类同乙类相比较，具有以下几点本质差别: 差别之一是，甲类具有相反意义的量的双方都以提示变化的短语为标志，双方都是表示变化的量;乙类具有相反意义的量的双方都不以提示变化的短语为标志，而以表示当时“位置”和状态的短语为标志，双方都是静态量，都是不变量。由于标志不同，我们可以毫不费力地分辨出甲类和乙类。例如，当我们遇上“气温由零下10?上升到零上10?”和“气温由零上10?下降到零下10?”这样的陈述时，马上就可以判断出这种数量关系属于甲类，两个陈述都表示气温变化20度，只是变化的方向相反;当我们遇上“气温是零下10?和零上10?”这样的陈述时，马上就可以看出这种数量关系属于乙类，它所表示的是两个不同地方的气温或者是两个不同时间的气温，这两个数量都表示既成的事实，都不表示相互间会产生什么影响。 差别之二是，甲类双方都是既有大小规定又有“趋向”规定的数量(权且称为“有性量”)，乙类双方都是只有大小规定而无“趋向”规定的数量(权且称为“无性量”)。也许读者会对乙类双方都是无性量这一说法心存疑虑。为了释疑，让我们设想把零上10?和零下5?分别换算成开氏温度计上的温标。这个换算并不改变这两个数量的本质，但是，当我们把摄氏温标变成开氏温标时，立刻就可以看出，原来的零下温度并不是所谓的负温度，原来的零上温度并不是所谓的正 温度，二者之间并不存在正热与负热的不同，只存在热的程度的不同。 差别之三是，甲类双方相互作用，相互影响，互为逆过程，是相互抵消关系;乙类双方之间互不干扰，既不是相互抵消关系，也不是相加关系。我们来举例说明。众所周知，如果仓库搬进10筐梨，仓库必然要增加10筐梨，如果再搬进10筐梨，仓库就要再增加10筐梨，变成总共增加20筐梨;如果搬出10筐梨，仓库必然就要减少10筐梨，如果再搬出10筐梨，仓库内就要再减少10筐梨，变成共减少20筐梨，仓库内所增加的20筐梨就一筐也不剩了。这一具体例子告诉人们:正数和负数是由搬进和搬出之类的变化过程规定的，正数和负数是以相反的变化关系为存在条件的。这一具体例子还告诉人们:这里的运算法则——变化“方向”相同的数量相加，变化“方向”相反的数量相减——不是通过什么理论推导出来的，而是从客观实际中悟出来的。这也就是说，此处所用的运算法则的根是扎在搬进和搬出的运动过程之中，是由客观规律决定的。明白了这个道理，我们就会对那种把零上10?和零下5?分别当成正数和负数从而使其能够相互抵消的主张感到可笑。因为，在“温度是零上10?和零下5?”这一陈述中没有任何关于变化的提示，我们除了知道这两个温度标数相差15个温度单位(注意:是15个温度单位，不是10?减5?所得的温度;这15个温度单位不是表示两个温度的合并，而是表示两个热的程度的“区间”，既不能冠以“零上”，也不能冠以“零下”)之外，不知道它们将会发生什么关联，因此我们也就没有把他们放在同一个统计系统中作消涨处理的理由。 差别之四是，有理数的加法法则——?同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;?绝对值不同的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;?互为相反数的两个数相加得零;?一个数和零相加，仍得这个数——对甲类具有相反意义的量是有效的，对乙类具有相反意义的量是无效的。 了解了两类具有相反意义的量之间的本质差别，我们就可以清楚的看到，新课本第二章第一节课文实际上是通过两类“具有相反意义的量”暗暗传授我们两种“正数”和“负数”——其中一种是相互之间等量抵消的正数和负数，其中另一种是不能抵消的根本不分正负的“正数”和“负数”。同时，我们也可以清楚地看到，只有代表甲类双方的正数和负数才有资格被称为正数和负数，才是真正的正数和负数;而用来代表乙类双方的“正数”和“负数”，不过是第一节课文在众人不知晓的情况下塞给大家的冒牌货～讲到此处，必须进一步作一些说明:冒牌的“正数”和“负数”在第一节课文中既没有公开“身份”，也没有公开“作祸”，一直与真正的正数和负数“和睦”并存;但是，在第二节课文中就不安分了，竟然在“数轴”的名义下把真正的正数和负数挤出了正数和负数的“领地”，从而使数学领域也发生了鹊巢鸠占的怪事～ 其次，让我们来关注“过去学过的数”。在第一节课文中，这一概念被反复提到三次:一次是说“只用原来学过的数很难区分“具有相反意义的量”;第二次是说把具有相反意义的量中一种意义的量规定为“正的”，“用过去学过的数”表示;第三次是说“为了表示具有 相反意义的量，上面我们引进了―5、―2、―237等数，像这样的数是一种新数，叫做负数，过去学过的那些数(零除外)，如10、3、500、1.2等，叫做正数”。这三处提法表达的总体意思就是:小学学生所学的数(零除外)都是正数;单用小学学过的数很难区分具有相反意义的量;要区分具有相反意义的量，必须再引进一种叫做“负数”的“新数”。可以毫不含糊地说，第一节课文中这种起主导作用的思想已经成了当今数学界的共识。很可惜，这种共识并不是人们自己考察的结果。当人们用自己的眼睛观察并且用自己的头脑思考时，就会发现，具有相反意义的量早就出现在小学算术中，小学学生学过的数，把零除外，并不全都是正数～ 也许，会有人不相信这一否定数学界共识的结论。为了释疑，请大家回过头来，再看一看第一节课文为引进正数和负数概念所列举的例子。就拿例1来说，第一节课文已经毫不含糊地把汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米分别表示为，3千米和,2千米。现在，我们把例1稍加变化，写成应用题的形式: 一辆汽车从A地出发，向东行驶3千米，又回头 向西行驶2千米，问汽车停驶后处于什么位置, 这样，我们就使例1所讲的两个量成了相关量，具备了严格意义上的正、负关系。要解这道题，关键是要弄清汽车向东行驶和向西行驶对汽车的位置所产生的影响是相反的。根据这一理解，我们的正确处理办法是像课文中演示的，把汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米分别表示为，3千米和,2千米，并且在此基础上列出下面的算式: 3千米，(,2千米),3千米,2千米,1千米 于是，我们知道汽车停在A地东方1千米的地方。这里，要提请读者特别注意，这道涉及正数和负数的应用题同时也是一道小学数学应用题。按照小学应用题来解，解题的关键也是要弄清汽车向东行驶和向西行驶对汽车位置的影响是相反的，但是，汽车向东行驶的路程不再叫做正数，而是叫做被减数，汽车向西行驶的路程不再叫做负数，而是叫做减数，运算式中不再有 3千米，(,2)千米， 而是要直接写成 3千米,2千米,1千米。 现在，如果把这道应用题的问话改为“问汽车一共行驶多少路程”，那么这道应用题就不再是涉及正数和负数的应用题了，也不再是小学的减法应用题了，而是成了小学的加法应用题。这是因为，在应用题的问话改变以后，应用题已经不再涉及性质相反的量了。从这里我们可以清楚地看到，正数和负数概念同被减数和减数概念具有共同的渊源，那就是性质相反的量。一般地讲:小学学生只要遇到用减法处理性质相反的量这类问题，就注定要接触到与正数和负数有关的问题。事实上，“具有相反意义的量”(更准确的说，应该是“性质相反的量”)既可用正数和负数来表示并区分，也可用被减数和减数来表示并区分，被减数和减数在这里就是以另一种面目出现的正数和负数，是只有其实而无其名的正数和负数。读者只要进一步深入细致地考察，就 会发现，小学学生解数学应用题，在思考阶段一般有两个过程:先是根据题义分析应用题中各个量的性质，确定他们之间的相互关系;然后根据各个量的性质及其相互关系，选用适当的运算方式。这两个过程的前一个过程起关键作用，如果没有这个过程，就没有确定运算方式的根据，如果这个过程出现差错，就必然选错运算方式(有些小学生在解应用题时不知道该用加法还是减法，往往是因为分辨不清应用题中各个量的性质及其相互关系)。这前一个过程的实质，就是在没有正数和负数的名义的情况下确认应用题中各个量之间的关系，其中包括正负关系。这正负关系就是我国数学家刘徽强调“要令正负以名之”的“两算得失相反”关系。令人遗憾的是，这前一个起关键作用的区分数量性质及其相互关系的隐过程被人们忽视了，“两算得失相反”这种数量关系的涵盖范围与理论价值也没有受到应有的考究，以致人们只看到解应用题时所使用的加法和减法、减数和被减数，却看不到选用加法或减法是以区分数量的性质及其相互关系为前提条件的，不知道确定加法或减法与确定数量的性质及其相互关系在本质上是一回事，也不知道小学学生在解应用题时常用的加法运算式大多是性质相同的数量的合并表达式，减法运算式大多是性质相反的数量的合并表达式(顺便说明:加法和减法不是仅仅处理有性数合并问题，而是也处理无性数合并问题，例如在处理整体与局部的关系时，也用加法或减法)。 讲到此处，也许会有人说:“应用题涉及的数量关系与纯数加减关系不同，谁也不能否认，在纯数减法运算式中，减号前后的数都是正 数。”要澄清这种说法之错误，我们还必须对纯数加法运算式和减法运算式作深入剖析。质言之，在纯数加法运算式(如10+10=20)中有一部分是从各种带单位名称的性质相同的数量的合并式(如10筐+10筐=20筐)抽象来的，在纯数减法运算式(如20,20=0)中有一部分是从各种带单位名称的性质相反的数量的合并式(如前文涉及的20筐,20筐=0筐)抽象来的，抽象式舍弃了单位名称，以相加的形式体现和保留了相同的数量关系，以相减的形式体现和保留了相反的数量关系;尽管这种抽象具有掩盖数量性质的弊端，但我们还是能够看到，在纯数加法运算式和减法运算式中如果没有加号和减号，那么式子中就没有加数和被加数，就没有减数和被减数，式子中的数就成了相互之间没有关系的数，既不是正数，也不是负数。倒回来说，当一个数只有与减号合在一起才能被称为减数时，它就成了形式和内容相统一的标准的负数了～这样一来，我们不能不说，第一节课文宣称“过去学过的那些数(零除外)”“叫做正数”，只不过是传了一条假经，假经中的所谓“正数” 事实上已经把正数和负数都包括在内了;新课本在这种观念支配下，要继续讲“正数”和“负数”，那就只能是进一步走邪道，传假经。 〈二〉数轴表示的对象含糊、扭曲 为了帮助人们进一步理解并且接受正数和负数概念，第二节课文引进了规定有原点、正方向和长度单位的数轴概念。可是，事与愿违，引进数轴概念不仅没有起到帮助人们进一步理解正数和负数的作用，反而扭转了第一节课文的基本思路，使正数和负数由容易理解变得难 以理解了。什么原因呢,原因就是，课文在具体介绍了数轴的画法及怎样用数轴上的点表示零与正、负数之后，又概括出一条比较数的大小的法则:“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，“正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数”。有了这个法则，实质上意味着正数和负数有了与第一节课文所讲定义不同的第二个定义，即:正数是大于零的数，负数是小于零的数。这样一来，我们就不仅面临难以确定数轴所表示的数究竟是两类“具有相反意义的量”中哪一类的问题，而且面临对正数和负数的两个定义如何评断和如何取舍的问题。而要评断正数和负数的两个定义，就要重新面临16世纪欧洲数学界先哲们刚刚接触“比零小的数”时所表现出来的那种困惑。 那么，数轴所表示的对象究竟是指的什么呢,对“比零小的数”究竟应该怎样理解呢,“比零小的数”到底存在不存在呢,笔者经过反复探讨和反复考察，确认要解答并说明上述问题，必须回头重新审视“具有相反意义的量”这个让人耳朵出茧的概念。 前文已经明确提到过，具有相反意义的量分两大类:一类是性质相反的量，简称甲类，另一类是界位相反的量，简称乙类;甲类与乙类之间存在四项本质差别。现在，我们接着前面的工作，继续对两类具有相反意义的量进行考察和比较，不难看出，两者之间除了前述的四项差别之外，还存在以下四项本质差别: 差别之五是，二者的计量起点不同，产生途径不同。性质相反的量之双方都是以真零为计量起点，双方都是由从无到有和从小到大排 序这种计量方式产生的，作为计量起点的真零代表什么也没有，是一个空位，这个空位表示一切计量对象在一点上都不存在，它是一切计量对象由大到小收敛的极限。例如，收入与支出都是按从无到有和从小到大的方式计量，收入为零就是没有收入，支出为零就是没有支出。而界位相反的量之双方都不是以真零为计量起点，而是以假零为计量起点。从表面上看，界位相反的量的双方也是由从无到有和从小到大的计量方式产生的，事实上是由从有到有和从中间到两极的计量方式产生的。具体说，这种计量方式的顺序是:先在计量对象的模型的“中间部位”选取一“点”，然后假定这一“点”为零，随后从这个假定的零点开始向相反的两个“方向”计量，有穷则止，无穷不止。在这里出现的零不表示什么也没有，不是空位，而是代表界位相反的量的那个模型的一个实实在在的“环节”。这个“环节”以其在模型中的特殊“位置”成为特殊的数量标记，而处于这个“环节”两“侧”的不同的“点”也因其“位置”不同而成为所谓的“相反”的数量——笔者正是在这个意义上称其为“界位相反的量”，并且把人们习惯上认定的比假零小的数量称为界前量，把人们在习惯上认定的比假零大的数量称为界后量。这里请读者仔细看一看摄氏温度计。不难理解，摄氏温度计上的零度就是假零度，这个零度不表示没有温度，这个零度以上和以下的温度只有高低的差别，没有正性和负性的差别。与摄氏温度类似的界位相反的量还有很多，例如海平面以下高度和海平面以上高度，某时间以前和某时间以后，等等。就拿时间来说，作为公元纪年起点的耶酥降生时间就是一个具体的实在的时间，人们之所以 选定这个时间作为公元计时起点，不是因为这个时间及其以前没有时间，也不是因为这个时间以前的时间是负时间，而是因为这个时间比较有纪念意义，还因为人们确实找不到最终的时间起点。 差别之六是，性质相反的量之双方不是同属于一种计量对象(更准确一些说，应该把这里的“计量对象”换成“计量模型”)，而是属于两种计量对象。例如，对收入量和支出量，在统计时要分设“收入”和“支出”两个栏目，不能把收入量和支出量放在同一个栏目中;在用直线模型表示时，要把收入量和支出量分别用方向相反的两条直线表示，不能只用一条直线表示。而界位相反的量之双方同属于一种计量对象，不是属于两种计量对象。例如，对零上温度和零下温度，在统计时只须设一个“温度”栏目，不须设“零上温度”和“零下温度”两个栏目;在用直线模型表示时，只能用一条直线表示，不能用两条直线表示。 差别之七是，性质相反的量之双方的界点是一个断点，这个界点不能移动，如果移动，就会把两种计量对象混杂在一起;而界位相反的量之双方的界点不是断点，这个界点可以移动，如果移动，不会出现不同计量对象的混杂，不会混淆数量性质。例如，测量温度可以根据需要选用不同的温度计，而改换温度计实际上就起到了移动温度界点的作用。当我们选用摄氏温度计时，标准大气压条件下水的凝固温度就成了我们选定的测量温度的计量起点。当我们选用开氏温度计时，绝对零度就成了我们选定的测量温度的计量起点，在这种情况下，虽然测量的对象没有变化，但是温度的标数却发生了重大变化:同是 标准大气压下水的凝固点，却由零度变成273.15度;原来所谓的负温度没有立脚之地了，原来所谓的正温度也不存在了。 差别之八是，性质相反的量中双方都以纯数——绝对值——代表自身的大小，并且用比较绝对值大小的方式比较双方的大小;界位相反的量中双方比较大小不以绝对值大小为判据，而以比较代表数量的“位点”处于假零那一“侧”为判据;界前量都小于零，界后量都大于零，界前量总是小于界后量，界前量中绝对值大的量反而更小。 通过对具有相反意义的量进行分析，再把两类具有相反意义的量各自具有的八个特征同数轴的特征进行对照，我们就可以清楚地看到:?在这里，“比零小的数”就是界位相反的量中比假零小的数(请读者注意，所谓“比零小的数”其实有两种，后文还要剖析另一种，此处不详述)，这种比假零小的数同比假零大的数合起来构成同一个计量模型除假零以外的两部分，但是构不成正数和负数必须具备的的相互抵消关系，所以“比零小的数”根本就不是负数，而处于这种计量模型中的比零大的数也根本就不是正数。?数轴实际上是界位相反的量的图象，不是性质相反的量的图象。?数轴上的零不是真零，数轴上的“正数”和“负数”不是真正的正数和负数，数学教材引进数轴的客观效果是偷换了正数和负数概念的实质性内容，让假零顶替了真零，让假正数顶替了真正数，让假负数顶替了真负数。?有理数加法法则不适用数轴上的数。?在数轴上比较数量大小的法则只宜在界位相反的量中使用，不宜在性质相反的量中使用，如果在性质相反的 量中使用，就势必否定行之有效的以比较绝对值大小判定数量大小的法则，导致大小观念的扭曲，认大为小，让小为大，歪曲事理。?数轴上的箭头只能表示右边的数大于左边的数，不能表示数量的性质(尽管教科书是让它表示数量的性质，但终究不行)。?如果硬要让数轴能够表示真正的正数和负数，那就必须给数轴的左端再加上一个与数轴右端的箭头指向相反的箭头，并且作出四点声明:第一.废除原来那个只适用于界位相反量的在数轴上比较大小的法则;第二.指明原点是一个断点，断点两边的轴不属于一“体”;第三.原点代表的零是最小的数，正数比它大，负数也比它大;第四.在这个图象中代表正数和负数的是线段(因为，不是线段不可能有方向)，只有零才用点表示。 〈三〉绝对值概念含糊、扭曲 当我们读到新课本中专讲绝对值概念的第四节课文时，立刻会被其中几句特别醒目的话吸引: 由绝对值的意义，我们可以知道: 1、一个正数的绝对值是它本身; 2、零的绝对值是零; 3、一个负数的绝对值是它的相反数。 可以毫不夸张地说，这几句话不仅扭曲了绝对值概念，而且扭曲了正数概念，扭曲了正数和负数的关系，是教材中最为明显的错乱表述。什么是绝对值的意义呢,在新课本中，绝对值是相对于标着性质符号的数(如+3、―2、+500、―237这种由性质符号和纯数两部分组成的 数)而言的，指的是标着性质符号的数中的纯数部分，是只有大小规定而无性质规定的数。第四节课文开头部分曾对绝对值概念作了具体介绍:“在一些量的计算中，有时并不注意其方向。例如，为了计算汽车行驶中所耗的汽油，起主导作用的是汽车行驶的路程而不是行驶的方向。在讨论数轴上的点与原点的距离时，只需要观察它与原点之间相隔多少个单位长度，与位于原点何方无关。我们把在数轴上表示a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作,a,。”为了更直观一些，请读者来看,6这个具体的负数:它的绝对值是指不带“,”号的纯数“6”，这个“6”只有大小规定，没有性质规定;而,6的相反数却是指既有大小规定又有性质规定的带有“+”号的“6”，即+6。如果把,6放到数轴(注意:这个数轴已经不再是表示界位相反的量的图象了，而是左端标有反向箭头的表示性质相反的量的图象了)上来说，它的相反数是指原点右侧的与它对称的+6，这个+6是既有大小规定又有方向规定的数;而,6的绝对值却是指只有大小规定而无方向规定的纯数6，这个纯数6表示,6的终点与原点之间相隔6个单位长度——这6个单位长度在原点左侧存在一个，在原点右侧也存在一个，是数轴上的,6和+6共有的绝对值。所以我们可以肯定地说，第四节课文宣称“一个负数的绝对值是它的相反数”这一句话是一句自我否定的陈述，这一句话的语义效果就和一个幽默大师宣称他会画“正方形的圆”一句俏语所产生的效果一样。 让我们再来看“一个正数的绝对值是它本身”这句断语。前文已经说明，正数和负数是指用来区分和表示性质相反的量的数，正数和 负数之间是相互抵消关系。换句话说，正数和负数都是有性数，不是无性数。而“一个正数的绝对值是它本身”这句话却再清楚不过地告诉我们:正数本身就是绝对值，是无性数。这就等于公然对正数实施语言“阉割”～这实际上是在指马为骡～ 请注意，正数概念被暗暗换成无性数概念，并不是从第四节课文开始并且在第四节课文中完成的，而是从第一节课文开始，到第四节课文才完成的;不是一步到位，而是分三步才到位。纵观整个偷换概念过程，第一步是提出用“过去学过的数”表示具有相反意义的量中“正的”一方。直白地说，就是用“过去学过的数”表示正数，给正数规定一个代表，即书写形式。这本无可非议，但是由于“过去学过的数”意义含糊，所以从开始让它当正数的代表，就种下了祸根。第二步是在举例表示具有相反意义的量之后，宣布“过去学过的那些数(零除外)，如10、3、500、1.2等，叫做正数”，“+5和5是一样的”，使代表和被代表成为同一体，使正数的那个正号成为可有可无的多余的东西。不过，在这一步，如果我们不对“过去学过的那些数(零除外)”“叫做正数”这种说法进行深入考察，仍然不能断言正数已经被“阉割”了。第三步就是在第四节课文中直接宣布“一个正数的绝对值是它本身”，明白无误地告诉大家:正数本身就是绝对值。这三步合起来恰恰构成一出“代表篡位”的闹剧。“代表篡位”的结果是把正数的“正的”性质给代表丢了，也把正数和负数之间相互抵消的关系给代表丢了。 新课文通过上述三个“含糊、扭曲”，完成了两次偷换概念(一 次是“数轴作乱”，另一次是“代表篡位”)，实际上给读者展示了三种正数和负数:第一种是与性质相反的量对应的正数和负数，第二种是与界位相反的量对应的所谓“正数”和“负数”，第三种是存在于“一个负数的绝对值是它的相反数”这种自我矛盾观念中的所谓“正数”和“负数”。事实上，这第三种“正数”和“负数”根本没有对应的对象，因为，如果绝对值有相反数，那么它就不是绝对值了。但是这第三种“正数”和“负数”也不是毫无来由。说穿了，这第三种“正数”和“负数”就潜藏于3,5=,2之类的被减数小于减数的减法运算式中——等号前的被减数和减数就是第三种“正数”，等号后的差就是第三种“负数”。公道地说，对于3,5=,2这类运算式本身，我们不仅不能指责，相反地还必须承认能够写出这类运算式是一种历史性进步。但是，我们必须说，到目前为止，写出这类运算式的指导思想是极其错误的:错就错在写出这类运算式时不是把被减数和减数当性质相反的量对待，而是把它们都当成正数看待;错就错在写出这类运算式时没有把等号后的数当成性质相反的数相互抵消的结果，而是把它当成了一个正数不够另一个正数减时出现的“比零小的数”。读者肯定已经看出，这里出现的“比零小的数”不是界位相反的量中的“比零小的数”，而是减数被被减数抵消后剩下的一部分，也就是运算式中减数——事实上的负数——的一部分;当人们仅仅把这一部分当负数时，不仅负数的概念的范围缩小了，更重要的是，负数成了难以理解的数了。在这里，我们可以毫不含糊的说:“比零小的数”是抽象的减法掩盖数量性质所产生的恶果，这恶果又以其非直观的反 常理的面目给抽象者出了个难题。 以上三个“含糊、扭曲”各有各的作用，却又是紧密相关的，其中贯穿一条主线，那就是由淡化正数和负数的性质到彻底抹杀正数和负数的性质，使正数和负数只有抽象的“正”“负”之分，而无正数和负数的本质特征，最终导致假正数和假负数取代真正数和真负数。当我们看到正数和负数所处的尴尬境遇时，不能不为刘徽对正数和负数所下定义被淡化而感到痛惜。 然而，上述问题还不是正数和负数概念所存在问题的全部，而是一部分。如果说已经揭示出来的问题可以概括为正数和负数被假冒的问题，那么还未揭示出来的问题就可以概括为正数和负数概念排斥同类数的问题;如果说已经揭示出来的问题不是逻辑的必然，那么还未揭示出来的问题就是正数和负数概念本身带来的问题，是“先天性”问题，是必然要发生的问题。下面，我们就来关注这个不是存在于新课本中的“先天性”问题。 注释 ? 本文关于印度数学家很早就深入研究正数和负数的史料来自新华 书店上海发行所1984年1月出版前苏联G.B.鲍尔加尔斯基所著 《数学简史》第87页，还来自M.克莱因所著《数学:确定性的丧 失》第106页。 ? 本文关于米哈依尔.史提非把负数定义为“比零小的数”的史料来 自《数学简史》第115页。 ? 此引文见《数学:确定性的丧失》第112页。 ? 参阅《数学:确定性的丧失》第111页。