2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试卷 理（含解析)(II)

2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试卷 理（含解析)(II) 一.选择题（共60分） 1．若x2+ky2=2表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( ) A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1） 2．某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为( ) A．28 B．32 C．40 D．64 3．已知k＜4，则曲线和有( ) A．相同的准线 B．相同的焦点 C．相同的离心率 D．相同的长轴 4．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是( ) A．1 B． C． D． 5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是( ) A．4 B．5 C．6 D．7 6．设定点F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+（a＞0），则点P的轨迹是( ) A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 7．如果命题“非P为真”，命题“P且q”为假，那么则有( ) A．q为真 B．q为假 C．p或q为真 D．p或q不一定为真 8．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为( ) A．7 B．9 C．10 D．15 9．一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( ) A．a＜0 B．a＞0 C．a＜﹣1 D．a＞1 10．设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值是( ) A．﹣1 B．11 C．2 D．1 11．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为( ) A．3x+2y﹣12=0 B．2x+3y﹣12=0 C．4x+9y﹣144=0 D．9x+4y﹣144=0 12．若点P在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是( ) A．2 B．1 C． D． 二.填空题（共20分） 13．已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8，则该椭圆的方程是__________． 14．直线y=0.5x+1被椭圆x2+4y2=4截得的弦长为__________． 15．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为__________． 16．给出下列四个结论： ①函数y=sin（2x+）的最小正周期是π； ②“（x﹣3）（x﹣4）=0”是“x﹣3=0”的充分不必要条件； ③命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为“若方程x2+x﹣m=0没有实数根，则m≤0” ④若a＞0，b＞0，a+b=4，则+的最小值为1． 其中正确结论的个数为__________． 三.解答题 17．求经过（﹣2，0），（1，）的椭圆的标准方程． 18．已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围． 19．如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率． 20．某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示： （1）依据频率分布直方图，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分； （2）已知在段的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率． 21．（14分）设椭圆E：+=1，一组平行直线的斜率是 （1）这组直线何时与椭圆相交？ （2）当它们与椭圆相交时，求它们中点的轨迹方程． 22．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）上的点到两焦点的距离和为，短轴长为，直线l与椭圆C交于M，N两点． （Ⅰ）求椭圆C方程； （Ⅱ）若直线MN与圆O：x2+y2=相切，证明：∠MON为定值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求|OM||ON|的取值范围． 2015-2016学年湖南省邵阳市邵阳县石齐中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科） 一.选择题（共60分） 1．若x2+ky2=2表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( ) A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1） 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【】根据题意将x2+ky2=2化为标准形式，然后根据焦点在x轴上建立关系式，可求出k的取值范围． 【解答】解：根据题意，x2+ky2=2化为标准形式为； 根据题意，其表示焦点在x轴上的椭圆，则有2＞＞0 解得k＞1； 故选C． 【点评】本题主要考查了椭圆的定义，解题时注意看焦点在x轴还是在y轴，属于基础题． 2．某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为( ) A．28 B．32 C．40 D．64 【考点】分层抽样方法． 【专题】概率与统计． 【分析】根据分层抽样的定义，即可得到结论． 【解答】解：∵高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人， ∴取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为， 故选：D． 【点评】本题主要考查分层抽样的定义和应用，比较基础． 3．已知k＜4，则曲线和有( ) A．相同的准线 B．相同的焦点 C．相同的离心率 D．相同的长轴 【考点】圆锥曲线的共同特征． 【专题】阅读型． 【分析】已知k＜4，则曲线和对应的曲线都是椭圆，再观察两个方程中的分母可以看到两个方程中分母上的数的差是相等的，由此关系可以得出两个椭圆有相同的焦点，考查四个选项找出正确选项即可 【解答】解：∵k＜4， ∴曲线和都是椭圆 又9﹣4=9﹣k﹣（4﹣k） ∴两曲线的半焦距相等，故两个椭圆有相同的焦点 故选B 【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题关键是掌握圆锥曲线的几何特征及方程的特征，由这些特征作出正确判断，求解相关问题． 4．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是( ) A．1 B． C． D． 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【专题】计算题． 【分析】根据已知中五件正品，一件次品，我们易得共有6件产品，由此我们先计算出从中任取出两件产品的事件个数，及满足条件“恰好是一件正品，一件次品”的基本事件个数，然后代入古典概型概率公式，可求出答案． 【解答】解：由于产品中共有5件正品，一件次品，故共有6件产品 从中取出两件产品共有：C62==15种 其中恰好是一件正品，一件次品的情况共有：C51=5种 故出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率P== 故选C 【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，计算出满足条件的基本事件总数及其满足条件的基本事件个数是解答此类题型的关键． 5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是( ) A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】程序框图． 【专题】算法和程序框图． 【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是计算满足S=≥100的最小项数 【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表： 是否继续循环 S K 循环前/0 0 第一圈 是 1 1 第二圈 是 3 2 第三圈 是 11 3 第四圈 是 2059 4 第五圈 否 ∴最终输出结果k=4 故答案为A 【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 6．设定点F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+（a＞0），则点P的轨迹是( ) A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 【考点】轨迹方程． 【专题】计算题． 【分析】由基本不等式可得 a+≥6，当a+=6 时，点P满足|PF1|+|PF2|=|F1F2|，P的轨迹是线段F1F2；a+＞6时，点P满足|PF1|+|PF2|为常数，且大于线段|F1F2|的长，P的轨迹是椭圆． 【解答】解：∵a＞0，∴a+≥2=6． 当 a+=6=|F1F2|时，由点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+=|F1F2|得，点P的轨迹是线段F1F2． 当 a+＞6=|F1F2|时，由点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+＞|F1F2|得，点P的轨迹是以F1、F2 为焦点的椭圆． 综上，点P的轨迹是线段F1F2 或椭圆， 故选 D． 【点评】本题考查椭圆的定义，基本不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，确定 a+的范围是解题的关键． 7．如果命题“非P为真”，命题“P且q”为假，那么则有( ) A．q为真 B．q为假 C．p或q为真 D．p或q不一定为真 【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假． 【专题】简易逻辑． 【分析】根据非P为真”，得到p一定为假，根据命题“P且q”为假，得到两个命题中至少有一个为假，这样不能判断两个命题组成的或命题的真假． 【解答】解：∵非P为真”， ∴p一定为假， ∵命题“P且q”为假， ∴两个命题中至少有一个为假， ∴p或q不一定为真， 故选D． 【点评】本题考查命题真假的判断和带有逻辑连接词的命题的真假的判断，本题解题的关键是理解真值表，正确使用真值表． 8．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为( ) A．7 B．9 C．10 D．15 【考点】系统抽样方法． 【专题】概率与统计． 【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数． 【解答】解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为an=9+（n﹣1）30=30n﹣21． 由 451≤30n﹣21≤750 解得 15.7≤n≤25.7． 再由n为正整数可得 16≤n≤25，且 n∈z，故做问卷B的人数为10， 故选：C． 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题． 9．一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( ) A．a＜0 B．a＞0 C．a＜﹣1 D．a＞1 【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】计算题． 【分析】求解其充要条件，再从选项中找充要条件的真子集．求解充要条件时根据题设条件特点可以借助一元二次根与系数的关系的知识求解． 【解答】解：一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充要条件是x1×x2=＜0，即a＜0， 而a＜0的一个充分不必要条件是a＜﹣1 故应选 C 【点评】本考点是一元二次方程分布以及充分不必要条件的定义．本题解决的特点是先找出其充要条件，再寻求充分不必要条件． 10．设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值是( ) A．﹣1 B．11 C．2 D．1 【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=x+2y得y=﹣x+z 平移直线y=﹣x+z， 由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A（3，﹣2）时， 直线y=﹣2x+z的截距最小， 此时z最小． 将A（3，﹣2）的坐标代入目标函数z=x+2y， 得z=﹣1．即z=x+2y的最小值为﹣1； 故选A． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 11．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为( ) A．3x+2y﹣12=0 B．2x+3y﹣12=0 C．4x+9y﹣144=0 D．9x+4y﹣144=0 【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用平方差法：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程． 【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2=6，y1+y2=4， 把A、B坐标代入椭圆方程得，，， 两式相减得，4（﹣）+9（﹣y22）=0，即4（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0， 所以=﹣=﹣=﹣，即kAB=﹣， 所以这弦所在直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣3），即2x+3y﹣12=0． 故选B． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握． 12．若点P在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是( ) A．2 B．1 C． D． 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题． 【分析】由椭圆的定义可得 m+n=2a=2①，Rt△F1PF2中，由勾股定理可得m2+n2=4②，由①②可得m•n的值，利用△F1PF2的面积是m•n求得结果． 【解答】解：由椭圆的方程可得 a=，b=1，c=1，令|F1P|=m、|PF2|=n， 由椭圆的定义可得 m+n=2a=2 ①，Rt△F1PF2 中， 由勾股定理可得（2c）2=m2+n2，m2+n2=4②，由①②可得m•n=2， ∴△F1PF2的面积是m•n=1， 故选B． 【点评】本题考查椭圆的简单性质和定义，以及勾股定理的应用． 二.填空题（共20分） 13．已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8，则该椭圆的方程是+=1． 【考点】椭圆的标准方程． 【专题】计算题． 【分析】依题意可知c，进而根据离心率求得a，进而根据b2=a2﹣c2求得b20，则椭圆方程可得． 【解答】解：由题意知，2c=8，c=4， ∴e===， ∴a=8， 从而b2=a2﹣c2=48， ∴方程是+=1． 故答案为+=1 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程．解题的关键是熟练掌握椭圆标准方程中a，b和c之间的关系． 14．直线y=0.5x+1被椭圆x2+4y2=4截得的弦长为． 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】将直线y=0.5x+1代入椭圆x2+4y2=4的方程，得出关于x的二次方程，求出交点坐标，从而可求弦长． 【解答】解：将直线y=0.5x+1代入椭圆x2+4y2=4的方程，整理得x2+2x=0 ∴直线与椭圆的交点为A（0，1），B（﹣2，0）． ∴椭圆被直线截得的弦长为AB= 故答案为：． 【点评】本题以直线与椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，考查方程思想． 15．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为． 【考点】等可能事件的概率；直线与圆的位置关系． 【专题】计算题． 【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，对应的面积是2×1，满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，整理出结果，得到概率． 【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件是在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b， 对应的面积是2×1=2， 满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径， 即， ∴4a≥3b， 在所有事件组成的集合中，满足3b≥4a有x轴左边，b＜1的部分， ∴要求的概率是=， 故答案为： 【点评】本题考查等可能事件的概率，要求得概率等于符合条件的面积之比，注意满足条件的事件所满足的条．件在整理时，应用点到直线的距离公式，注意变形整理． 16．给出下列四个结论： ①函数y=sin（2x+）的最小正周期是π； ②“（x﹣3）（x﹣4）=0”是“x﹣3=0”的充分不必要条件； ③命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为“若方程x2+x﹣m=0没有实数根，则m≤0” ④若a＞0，b＞0，a+b=4，则+的最小值为1． 其中正确结论的个数为①③④． 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】综合题；函数思想；数学模型法；简易逻辑． 【分析】求出三角函数的周期判断①；由充分必要条件的判定方法判断②；写出原命题的逆否命题判断③；利用基本不等式求出函数最值判断④． 【解答】解：①函数y=sin（2x+）的最小正周期是T==π，①正确； ②由（x﹣3）（x﹣4）=0，得x﹣3=0或x﹣4=0，反之，由x﹣3=0，一定有（x﹣3）（x﹣4）=0， ∴“（x﹣3）（x﹣4）=0”是“x﹣3=0”的必要不充分条件，②错误； ③命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为“若方程x2+x﹣m=0没有实数根，则m≤0”，③正确； ④若a＞0， b＞0，a+b=4，则+=（+）（）=，当且仅当a=b=2时等号成立，④正确． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查了三角函数周期的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 三.解答题 17．求经过（﹣2，0），（1，）的椭圆的标准方程． 【考点】椭圆的标准方程． 【专题】计算题；方程思想；直线与圆． 【分析】设椭圆方程mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），代点可得m和n的方程组，解方程组可得． 【解答】解：设椭圆方程mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）， 则有，∴， 所求椭圆的标准方程为：=1． 【点评】本题考查椭圆的标准方程的求解，设方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），可避免分类讨论，是解决问题的关键，属中档题． 18．已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围． 【考点】绝对值不等式；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】计算题． 【分析】利用二次不等式与绝对值不等式，分别求解p，q，推出￢p，￢q．利用￢p是￢q的充分而不必要条件，列出关系式，求实数m的取值范围． 【解答】解：由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）得 1﹣m≤x≤1+m 故￢q：A={x|x＜1﹣m或x＞1+m，m＞0} 由 ，得﹣2≤x≤10 故￢p：B={x|x＜﹣2或x＞10} ∵￢p是￢q的充分而不必要条件 ∴解得 0＜m≤3 ∴实数m的取值范围 0＜m≤3 【点评】本题考查绝对值不等式，命题的否定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查计算能力． 19．如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率． 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c，可得M（c，b），利用勾股定理与椭圆的定义建立关于a、b、c的等式，化简整理得b=，从而得出c==a，即可算出该椭圆的离心率． 【解答】解：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c， 可得焦点为F1（﹣c，0）、F2（c，0），点M的坐标为（c，b）， ∵Rt△MF1F2中，F1F2⊥MF2， ∴|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2，即4c2+b2=|MF1|2， 根据椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=2a， 可得|MF1|2=（2a﹣|MF2|）2=（2a﹣b）2， ∴（2a﹣b）2=4c2+b2，整理得4c2=4a2﹣ab， 可得3（a2﹣c2）=2ab，所以3b2=2ab，解得b=， ∴c==a， 因此可得e==， 即该椭圆的离心率等于． 【点评】本题已知椭圆满足的条件，求椭圆的离心率的大小．着重考查了椭圆的定义、标准方程与简单几何性质等知识，考查了勾股定理的应用，属于中档题． 20．某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示： （1）依据频率分布直方图，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分； （2）已知在段的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率． 【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式． 【专题】计算题；概率与统计． 【分析】（1）求出频率，用频率估计概率；（2）列出所有的基本事件，求概率． 【解答】解：（1）由图知，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为（0.02+0.03+0.025+0.005）×10=0.80， 所以，估计这次考试的及格率为80%； =45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+8×0.25+95×0.05=72， 则估计这次考试的平均分是72分． （2）从95，96，97，98，99，100这6个数中任取2个数共有=15个基本事件， 而的人数有3人，则共有基本事件C=3． 则这2个数恰好是两个学生的成绩的概率P==． 【点评】本题考查了学生在频率分布直方图中读取数据的能力，同时考查了古典概型的概率求法，属于基础题． 21．（14分）设椭圆E：+=1，一组平行直线的斜率是 （1）这组直线何时与椭圆相交？ （2）当它们与椭圆相交时，求它们中点的轨迹方程． 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）设这组直线为y=x+m，与椭圆方程联立化为：9x2+6mx+2m2﹣18=0，令△＞0，解得m范围即可得出． （2）设弦AB的中点为M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）．则=1，，相减利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出． 【解答】解：（1）设这组直线为y=x+m，联立，化为：9x2+6mx+2m2﹣18=0， 令△=36m2﹣36（2m2﹣18）＞0，解得． ∴这组直线的截距在范围时与椭圆相交． （2）设弦AB的中点为M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）． 则=1，， 相减可得：+=0， 把=x，=y，=，代入可得： =0， 化为3x+2y=0． ∴它们中点的轨迹方程是直线3x+2y=0在椭圆内部的部分． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、“中点弦”问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）上的点到两焦点的距离和为，短轴长为，直线l与椭圆C交于M，N两点． （Ⅰ）求椭圆C方程； （Ⅱ）若直线MN与圆O：x2+y2=相切，证明：∠MON为定值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求|OM||ON|的取值范围． 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）利用椭圆的定义进行求解； （2）利用圆心到直线的距离，求出直线的斜率与截距的关系，再利用平面向量的数量积求证角为定值； （3）利用三角换元进行求解． 【解答】解：（Ⅰ）由椭圆C：=1（a＞b＞0）上的点到两焦点的距离和为，得2a=，即a=； 由短轴长为，得2b=，即b= 所以椭圆C方程：9x2+16y2=1 （Ⅱ）当直线MN⊥x轴时，因为直线MN与圆O：x2+y2=相切， 所以直线MN方程：x=或x=﹣， 当直线方程为x=，得两点分别为（，）和（，﹣），故•=0， 所以∠MON=；同理可证当x=﹣，∠MON=； 当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN：y=kx+b，直线MN与圆O：x2+y2=的交点M（x1，y1），N（x2，y2）， 由直线MN与圆O相切得d==，即25b2=k2+1，① 联立y=kx+b与椭圆方程，得（9+16k2）x2+32kbx+16b2﹣1=0， ∴△＞0，x1+x2=﹣，x1x2=， •=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=，② 由①②，得•=0，即∠MON=， 综上，∠MON=为定值． （Ⅲ）不妨设∠XOM=θ，则∠XON=θ±， 由三角函数定义可知：M（|OM|cosθ，|OM|sinθ），N（±|ON|sinθ，±|ON|cosθ） 因为点M、N都在9x2+16y2=1上， 所以=9cos2θ+16sin2θ，=9sin2θ+16cos2θ •=（9cos2θ+16sin2θ）（9sin2θ+16cos2θ） =9×16+（9﹣16）2sin2θcos2θ =9×16+（9﹣16）2sin22θ， 又sin22θ∈，故•∈， ∴|OM||ON|的取值范围是． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查角为定值的证明，考查线段的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．