深圳大学的概率论与数理统计试题(含答案)

期末考试试卷参考解答及评分标准 开/闭卷 闭卷 A/B卷 A 课程编号 22190011 课程名称 概率论与数理统计 学分 3             命题人(签字)                审题人(签字)                 年   月   日 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 基本题总分 附加题 得分                         评卷人                                                   第一部分  基本题 一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分，选错0分） 1. 事件表达式AB的意思是 (    ) (A) 事件A与事件B同时发生    (B) 事件A发生但事件B不发生 (C) 事件B发生但事件A不发生    (D) 事件A与事件B至少有一件发生 答：选D，根据AB的定义可知。 2. 假设事件A与事件B互为对立，则事件AB(    ) (A) 是不可能事件    (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1    (D) 是必然事件 答：选A，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。 3. 已知随机变量X,Y相互独立，且都服从标准正态分布，则X2＋Y2服从 (    ) (A) 自由度为1的χ2分布    (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F分布    (D) 自由度为2的F分布 答：选B，因为n个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n的χ2分布。 4. 已知随机变量X,Y相互独立，X~N(2,4),Y~N(-2,1), 则(    ) (A) X+Y~P(4)    (B) X+Y~U(2,4)    (C) X+Y~N(0,5)    (D) X+Y~N(0,3) 答：选C，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2-2=0, D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5, 所以有X+Y~N(0,5)。 5. 样本(X1,X2,X3)取自总体X，E(X)=μ, D(X)=σ2, 则有(    ) (A) X1+X2+X3是μ的无偏估计    (B) 是μ的无偏估计 (C) 是σ2的无偏估计    (D) 是σ2的无偏估计 答：选B，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。 6. 随机变量X服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X的数学期望E(X)的值为(    ) (A) 2    (B) 3    (C) 3.5    (D) 4 答：选C，因为在(a,b)区间上的均匀分布的数学期望为(a+b)/2。 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分。把答案填在题中横线上） 1. 已知P(A)=0.6, P(B|A)=0.3, 则P(AB)= __________ 答：填0.18, 由乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=0.60.3=0.18。 2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为__________ 答：填0.784，是因为三人都不中的概率为0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是1-0.216=0.784。 3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____ 答：填0.25或 ，由古典概型计算得所求概率为 。 4. 已知连续型随机变量 则P{X1.5}=_______ 答：填0.875，因P{X1.5} 。 5. 假设X~B(5, 0.5)(二项分布), Y~N(2, 36), 则E(X+Y)=__________ 答：填4.5，因E(X)=50.5=2.5, E(Y)=2, E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2.5+2=4.5 6. 一种动物的体重X是一随机变量，设E(X)=33, D(X)=4，10个这种动物的平均体重记作Y，则D(Y)＝________ 答：填0.4，因为总体X的方差为4，10个样本的样本均值的方差是总体方差的1/10。 三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。（10分） 解：设从甲袋取到白球的事件为A，从乙袋取到白球的事件为B，则根据全概率公式有 四、已知随机变量X服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y＝2X +1，求Y的概率密度函数。（10分） 解：已知X的概率密度函数为 Y的分布函数FY(y)为 因此Y的概率密度函数为 五、已知二元离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布如下表所示： Y X -1 1 2 -1 0.1 0.2 0.3 2 0.2 0.1 0.1         (1) 试求X和Y的边缘分布率 (2) 试求E(X),E(Y),D(X),D(Y),及X与Y的相关系数ρXY(满分10分) 解：(1)将联合分布表每行相加得X的边缘分布率如下表： X -1 2 p 0.6 0.4       将联合分布表每列相加得Y的边缘分布率如下表： Y -1 1 2 p 0.3 0.3 0.4         (2) E(X)=-10.6+20.4=0.2, E(X2)=10.6+40.4=2.2, D(X)=E(X2)-[E(X)]2=2.2-0.04=2.16 E(Y)=-10.3+10.3+20.4=0.8, E(Y2)=10.3+10.3+40.4=2.2 D(Y)= E(Y2)-[E(Y)]2=2.2-0.64=1.56 E(XY)=(-1)(-1)0.1+(-1)10.2+(-1)20.3+2(-1)0.2+210.1+220.1= =0.1-0.2-0.6-0.4+0.2+0.4=-0.5 cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-0.5-0.16=-0.66 六、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取15个进行检验，算出平均使用寿命为1950小时，样本标准差s为300小时，以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。 (满分10分) 解：已知样本均值 , 样本标准差s=300, 自由度为15-1=14, 查t分布表得t0.025(14)=2.1448, 算出 , 因此平均使用寿命的置信区间为 ，即(1784, 2116)。 附：标准正态分布函数表 Φ(x) 0.9 0.95 0.975 0.99 x 1.281551 1.644853 1.959961 2.326342           t分布表P{t(n)>tα(n)}=α α N 0.1 0.05 0.025 14 1.3450 1.7613 2.1448 15 1.3406 1.7531 2.1315 16 1.3368 1.7459 2.1199         第二部分  附加题 附加题1　设总体X的概率密度为 其中θ>-1为未知参数，又设x1,x2,,xn是X的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值。（满分15分） 解：似然函数 令 ，解出θ的最大似然估计值为 附加题2　设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。（满分15分） Y X y1 y2 y3 P{X=xi}= x1       x2       P{Y=yj}=     1           解：已知X与Y独立，则 pij=P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj), 经简单四则运算，可得 Y X y1 y2 y3 P{X=xi}= x1 x2 P{Y=yj}= 1