复变函数与实变函数的联系与区别

复变函数与实变函数的联系与区别 华中师范大学物理学院  2008213421 路丽珍 摘要：    数的扩展：正数→负数→实数→…在实数范围内：方程当    时，没有实根。→扩大数域，引进复数，由实变函数学习到复变函数，它们有着紧密的联系，也有着巨大的区别。 关键词：  复变函数  实变函数  联系与区别 正文： 在中学我们主要了解学习了实变函数，与大学期间，我们又更加深入的学习研究了实变函数，与此同时，也开始复变函数的学习。由此我们看到了：“数的扩展：正数→负数→实数→…在实数范围内：方程当    时，没有实根。→扩大数域，引进复数”。这样容易给人一种由浅入深、由简入繁、由特殊到一般的感觉，他们有很深的联系，然而事实上，他们有很大的不同，有很大的区别。下面我们从几个方面来说明实变函数与复变函数的联系与区别。 1. 自变量的不同 以实数作为自变量的函数就做实变函数；即实数→实变量→实变函数。 以复数作为自变量的函数就叫做复变函数；即复数→复变量→复变函数。 2. 实变函数与复变函数的联系区别 （1）因为z=x+yi,所以复变函数y=f(z)的实部与虚部都是x,y的函数，即w= f(z)=u(x,y)+iv(x,y),由此可以看成：一个复变函数是两个实变函数的有序组合。这样，实变函数的许多定义、公式，定理可直接移植到复变函数中。然而同时，由于复变函数的虚部，实变函数的许多定义、公式，定理也不再是用于复变函数。 （2）对于复变函数与实变函数，我们分别学习了两者的点集、序列、极限、连续性、可微性、积分等性质与应用。然而同时，由于复变函数的虚部，所要求的点集、序列、极限、连续性、可微性、积分等性质与应用的定义也不尽相同。