球的
面积和体积导学案
?1.3.2 球的体积和表面积
班级:_______姓名:_______ 教学目标
1、知识与技能:推导球的体积和面积公式,了解推导过程中所用的基本数学思想方法;运
用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
2、 过程与方法:通过球的体积和面积公式的推导,掌握“分割求近似值,再由近似和转化
为球的体积和面积”的方法,体现了极限思想。
3、 情感与价值观:提高了空间思维能力和空间想象能力,增强了我们探索问题和解决问题
的信心。
教学重点、难点
重点:引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
难点:推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
教学设计
一、复习引入:
1、问题情境
3a4已知ABB1A1是圆柱的轴截面,AA1,a,AB=,P是BB1的中点;一小虫沿圆柱的侧面从A1爬到P,求小虫爬过的最短路程(
AB
PP
B1A1
ABC
(1)(2)(3)
2、、学生活动
观察下图,试配对:A B C (
3、听写柱体、锥体、台体的体积公式;圆柱、圆锥、圆台的表面积公式。
4、问题:球是一个旋转体,它也有表面积和体积,怎样求球的表面积和体积呢,
二、知识探究
(一):球的体积
思考1:从球的结构特征分析,球的大小由哪个量所确定,
思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥的体积分别是什么, 思考3:如图,对一个半径为R的半球,其体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小关系,
思考4:根据上述圆柱、圆锥的体积,你猜想半球的体积是什么,
23,,VR思考5:由上述猜想可知,半径为R的球的体积 ,这是一个正确的结论,你能提球3出一些证明思路吗,
(二):球的表面积
思考1:半径为r的圆面积公式是什么,它是怎样得出来的,
思考2:把球面任意分割成n个“小球面片”,它们的面积之和等于什么,
思考3:以这些“小球面片”为底,球心为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥,那么这些小棱锥的底面积和高近似地等于什么,它们的体积之和近似地等于什么,
0
思考4:你能由此推导出半径为R的球的表面积公式是什么,
思考5:经过球心的截面圆面积是什么,它与球的表面积有什么关系,
三、典例分析
例1 圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:
(1)球的体积等于圆柱体积的2/3;
(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.
例2 有一种空心钢球,质量为142g(钢的密度为7.9g/cm3),测得其外径为5cm,求它的内径(精确到0.1cm)
例3 已知A、B、C为球面上三点,AC=BC=6,AB=4,球心O与?ABC的外心M的距离等于球半径的一半,求这个球的表面积和体积.
2例4 已知正方体的八个顶点都在球O的球面上,且正方体的表面积为a,求球O的表面积和体积.
拓展1:若正方体的边长为a,求正方体的内切球的半径
拓展2:若正四面体的边长为a,求正四面体的内切球的半径
拓展3:若正四面体的边长为a,求正四面体的外接球的半径
四、巩固深化、反馈矫正
1、正方形的内切球和外接球的体积的比为 ,表面积比为 。
222、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面,它们的面积分别为49πcm和400πcm,求球的表面积。
五、课堂学习小结
六、练习:课本练习28页 1,2,3.
作业:
1、填空题
4(1)若球的大圆面积扩大为原来的倍,则球的体积比原来增加 倍;
(2)把半径分别为3,4,5的三个铁球,熔成一个大球,则大球半径是 ;
24(3)正方体全面积是,它的外接球的体积是 ,内切球的体积是 (
2、长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5,是它的八个顶点都在同一球面上,求这个球的表面积。
63、半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方体棱长为,求球的表面积和体积。
CD
ABO
144(表面积为的球,其内接正四棱柱的高是,求这个正四棱柱的表面积。 324,
A
O ,
C
5、已知圆锥有一个内接圆柱,此圆柱的底面在圆锥的底面上,圆柱的高等于圆锥的底面半
径,且圆柱的全面积?圆锥的底面积=3?2. 求圆锥的侧面积与圆柱的侧面积的比(
ABa,BCb,abc,,,06、如图,长方体ABCD-ABCD中,,,,并且; BBc,11111
求沿着长方体的表面自A到C的最短路线的长( 1
D1C1
B1A1DCc
b
aBA
7、课本29页 习题1.3 B组 1
七、自我评价: