非欧几何的思想，历史，现状与基本问题的研究 钱鸿 指导老师:张影 ...

非欧几何的思想，历史，现状与基本问题的研究 钱鸿 指导老师:张影 ... 非欧几何的思想，历史，现状与基本问题的研究 钱鸿 指导老师:张影 摘要 本文主要是对非欧几何的历史，发展，思想，影响与基本问题的研究。具体而言:简单介绍欧氏几何，从而由第五公设引出非欧几何的起源，发展与意义;介绍非欧几何的主要意义;模仿欧氏几何的公理法，从公理系统的角度对罗巴切夫斯基几何中的平行公设和三角学基本内容作了研究，某些重要命题给出了证明与自己的想法，并同欧氏几何作了比较;从罗巴切夫斯基几何的庞加莱模型的角度再次研究非欧几何中的平行公设与基本问题，某些重要命题给出了证明与自己的想法，列出了非欧几何在欧氏空间框架下实现的注意点，并同欧氏几何作了比较;最后，简单介绍了黎曼的非欧几何，并从黎曼几何的角度说明了欧氏几何与非欧几何存在差别的本质原因，简单列出了广义相对论对现实宇宙世界是哪种几何的观点。 关键词:欧氏几何，非欧几何的历史与影响，罗巴切夫斯基几何，平行公设，三 角学，庞加莱模型，分式线性变换(莫比乌斯变换)，微分几何，黎曼 几何 1 [1]一( 欧式几何 在说非欧几何之前，不妨先回顾下已被熟知的欧式几何。我们先说欧几里德的巨著《几何原本》，它是数学史上第一个公理系统，它为数学的发展提供了一个典范。在《几何原本》的400多个命题中，绝大部分是前人已知的事实，并非欧几里德的原创，他最大的贡献在于巧妙地把这数百个定理排成一个有序的链，使得其中的每个定理都根据明白无误的假定和事先给定的公理和假设，以及前面证明过的定理，用形式逻辑推演出来。 具体分析一下欧氏几何的公理系统(注:在古希腊时代，人们把对各个学科都适用的基本假设称作公理，把只适用于某一学科的基本假定称作公设): 5条公理:A.等于同一个量的两个量相等;B.等量相加，其和相等; C(等量相减，其差相等; D.可以重合的图形，对应量相等; E(全体大于部分。 5条公设:A(两点之间可以作一条直线段;B(直线段可以无限延长; C(以任意一点为中心,以任意给定的线段为半径可以作一个圆; D(所有直角都相等; E.若一条直线段与另外两条直线段相交,且使一侧的内角之和小 于两个直角,则该两条直线段无限延长后必相交。(如图1) ab，,, 图1:欧式几何的第5公设 但是,看似很自然的公理与公设,却有不少的不完善之处,比如:欧几里德竭力避免使用无穷,但他不可避免地要与无穷打交道;另外,似乎欧几里德本人在回避第五公设。19世纪末著名数学家Hilbert对欧几里德的公理系统而全面地进行了研究，克服了欧几里德公理系统的不足。 [2][7] 二(非欧几何的起源，发展与意义----第5公设引起的争议与研究不少数学家们认为，第5公设的叙述形式复杂，不像其它公设简洁明了，看上去更像一个定理。于是，有许多数学家耗尽了精力去证明它，用其它公理，公设去推出第5公设，但前后两千多年的努力都毫无例外的失败了。但这一过程中，数学家们得到了一系列与欧几里德第5公设等价的命题，如: 2 A(平行公设:过给定直线外一点可以作一条直线并且只能作一条直线，同 已知直线平行; B(三角形内角和等于; 180 (存在矩形; C D(存在相似而不全等的三角形; E(三角形的面积可以任意大。 另外，长期的失败又促使数学家们从不同的角度考虑问题:不再证明第5公设，而是去设法替换它。这就导致了非欧几何的诞生。 然而，如果替换欧几里德第5公设会导致一些新的几何现象，这些现象只是与通常人们的观念相矛盾，而不是逻辑上的矛盾。例如:瑞士数学家Lambert研究了一类四边形，其中三个角为直角，而第四个角有三种可能性:直角，锐角，钝角。显然，在直角假设下即为欧氏几何;在锐角假设下，他导出了三角形的面积取决于其内角和，并且同角欠成正比(注:角欠为减去内角和);在钝角假设下，, 他导出了几何命题恰好在球面上成立。所有这一切都说明了存在一种新的几何——非欧几何。 通常认为，非欧几何的创始人是德国数学家高斯，匈牙利数学家波约尔，俄国数 [3] 学家罗巴切夫斯基，他们相互独立的正式提出一种新几何并建立系统的理论。 高斯是最早提出欧几里德第5公设是独立于其它公设的人，他早就知道试图证明这一公设的努力是白费力气。高斯认识到欧氏几何并不是唯一的几何学，遗憾的是他在生前没有发任何关于非欧几何的论著，人们是在他逝世后，从他与朋友的来往函件中得知了他关于非欧几何的研究结果和看法。高斯担心发表这些结果可能会遭受攻击。 波约尔1825年在研究欧几里德第5公设的基础上建立了一种新几何，并称之为“绝对空间中的几何”。他得到的许多结果与高斯的一致，他成功建立了适用于欧氏几何及非欧几何中的正弦定律的统一公式: sinsinsinABC ,,abc 其中a，b，c是的三个角的对边，的含义如下:(其中k为常数) r,ABC , ,2,,r 欧氏几何 ,r,rk,2sin， 球面几何 ,,k, r,2sinh,k非欧几何,,k, 3 他的父亲是高斯的朋友，把他的论文转交给高斯，高斯认为他的思路与所得到的结果跟30多年前自己的想法完全一致。后来，波约尔的论文“绝对空间中的几何”在1832年作为他父亲的一本书的附录发表。 几乎和波约尔同时，俄国数学家罗巴切夫斯基独立创立了非欧几何。他于1826年在喀山大学数学物理系公开了他的研究成果，这个报告的主要内容在1829年正式发表，这是第一篇正式发表的有关非欧几何的学术论文。之后，罗巴切夫斯基不断完善着他的有关非欧几何的理论，直至他逝世前，他一直从事着关于这种新几何的研究。高斯得知后对罗巴切夫斯基的工作给予了很高的评价。当然，罗巴切夫斯基斯基公布他的新几何后，立即遭到了攻击，觉得它荒唐可笑。非欧几何的最终被普遍承认在非欧几何的实际模型建立之后。 综上所述，在非欧几何的三位创始人中，高斯最早有了非欧几何的思想和研究成果，但他没有公开发表;罗巴切夫斯基关于非欧几何的研究最为系统，内容也更为丰富。 三(非欧几何的名称 通常，有两种意义的非欧几何:一种是罗巴切夫斯基几何，在这种几何中，第五公设的等价命题为“过给定直线外一点至少可以作两条直线与已知直线不交”，“三角形内角和小于平角”;另一种黎曼意义下的非欧几何，其模型为球面几何，在这种几何中，第五公设的等价命题为“过给定直线外一点不能作任何直线使其与给定直线相交”， “三角形内角和大于平角”。罗巴切夫斯基几何又称为双曲几何，黎曼的非欧几何又成为椭圆几何，而欧氏几何被称为抛物几何，这样命名，源于微分几何中的高斯曲率。 在文章的后面，我们会提到黎曼几何，这三种几何都是黎曼几何的特例:它们所对应的黎曼度量的曲率都是常数，其中，欧氏几何对应的曲率为零，球面几何对应的曲率为正常数，双曲几何对应的曲率为负常数。 [4] 四(非欧几何的主要意义 两千多年以来，人们一直认为欧氏几何是描述宇宙和我们生存空间的唯一几何，它的一切结论都是物质世界的必然。欧氏几何的出现对人们的这些早已习以为常的看法提出了尖锐的挑战。客观物质世界到底是怎样的几何,应该如何看待和解释非欧几何，它是纯逻辑的结果，还是具有某种现实意义,非欧几何的发展，催生了一些重要的新的几何分支，比如射影几何，仿射几何，曲面上的内蕴几何等等，并且最终导致了更为广泛的黎曼几何的诞生。黎曼几何后来成为爱因斯坦广义相对论的数学基础，而广义相对论又为人们提供了新的时空观。如果说爱因斯坦的广义相对论是人类关于时空观的一场重大革命，那么非欧几何的出现便是这场革命的前奏曲，是这场革命的数学发端。非欧几何是宇宙的几何，成立于很大的空间中，即在一个很小的局部范围内，欧氏几何是非欧几何的一个近似。 4 由于非欧几何在19世纪下半叶没有发现任何实际的物理应用人们逐渐对它失去了关注与热情。1905年爱因斯坦发表了狭义相对论，十年以后，又发表了广义相对论。此时，作为广义相对论的数学基础的黎曼几何，不仅在数学界，而且在物理学界，得到了空前的关注和更为广泛的研究。人们再一次看到了数学与物理的深刻联系。 总的而言，由广义相对论的看法，宇宙的时间与空间形成了一个具有特定黎曼度量的四维流形，由于物质存在及其分布的不均匀，使得这个四维流形是弯曲的(复杂的弯曲)，而不是平直的(不是一个四维的欧氏空间)，而其弯曲程度取决于空间物质的质量分布，但是在一个很小的局部范围中，忽略一些因素后，其高斯曲率可视为常数(甚至为零)，这时它可以用非欧几何甚至欧氏几何来近似刻画。引力的作用恰好是沿着该黎曼度量下的测地线方向的。 五(罗巴切夫斯基几何 非欧几何之所以让人难以接受，是因为欧氏几何先入为主和我们生存的空间可以认为是欧氏空间的近似造成的(即某种经验)，因此我们不妨先忘记欧氏几何，再来审视下面的罗巴切夫斯基几何。 [5][6][7]1. 理论基础:对第五公设的替换 在这里，我们保留欧氏几何中的前4条公设，显然欧氏几何中不依赖于第5公设的命题与定理在罗巴切夫斯基几何中仍然成立。我们把欧氏几何中的第五公设替换为: 在同一平面上，过已知直线外一点至少可以作两条直线，它们与给定直线 均不相交(平行)。 如下图2，L为一条给定直线，P为直线外一点，两条不同的直线L+与L-和L均平行，此时夹在L+与L-之间的任意一条直线都与L平行(不交)，因此可以立即推出过点P有无数条直线与L平行(不交)。为此过点P作直线L的垂线，并且记P到直线L的距离为d。 图2:罗氏几何的第五公设 5 所有过点P的直线可以分为两类:一类是和直线L相交的，另一类是和直线L不相交的。于是，不相交的和相交的之间存在临界位置，即平行的极限位置，如图2，两个极限位置的平行线不妨分别称作右平行线和左平行线，它们在垂线pq左右两侧形成相等大小的锐角，称这个锐角为P点的平行角，记作。从直,(d) ,，观上看，当时，;当时，。罗巴切夫斯基给,()0d,()d,d,0d,，,,2 出了的表达式: ,()d ,1 (*) ,()arcsin(cosh)dd, 11xx,xx,其中，为双曲余弦;另外，定义，xee,，xee,,sinh()cosh()22 sinhxcoshx，。 tanhx,cothx,coshxsinhx 在第六部分罗巴切夫斯基几何的庞加莱模型中，我们将对(*)式给出一个证明。 高斯和波约尔也推出了上述公式，并且平行角更为一般的公式是: d,1 ,()arcsin(cosh)d,k 其中，k相当于空间的曲率半径(空间常数)，它是一个常数。显然，平直的欧 ,氏空间的曲率半径，而d相对于k很小时，平行角很接近，这和,()dk,，,2 ,人们平时的直观经验是一致的，只有当d充分大时，平行角才会明显地小于。2这进一步说明，非欧几何是宇宙的几何，成立于很大的空间中，即在一个很小的局部范围内，欧氏几何是罗氏几何的一个近似。 [5][6][8]2. 关于三角形的一些基本命题与定理 (1) :在罗氏几何中，三角形的内角和严格小于。 , 证明:首先我们介绍萨开里四边形，如下图3: 图3:萨开里四边形 ,AB四边形ABCD，其中边AD=BC，,称为萨开里四边形。不依赖欧氏几，,，,2 何第五公设，可以证明在该四边形中，这时只需取AB中点H，连接DH,CH,，,，CD 如下图4: 6 图4 ,由于AH=BH, ,AD=BC,并且三角形全等定理SAS和第五公设无关，因AB，,，,2 此有,从而,且DH=CH;同理，取CD中点I,连接HI，,,,AHDBHC，,，ADHBCH 由于角形全等定理SSS和第五公设无关,由有HI=HI,DH=CH,DI=CI, ,故.因此，并且和第五公设无关。 ,,,IHDIHC，,，HDIHCI，,，CD 有三种可能性:直角，钝角，锐角。其中，直角假设和欧氏几何这时，,，CD 的第五公设等价，锐角假设和罗巴切夫斯基几何(双曲几何)的第五公设等价。因此，只需从锐角假设下推出三角形内角和小于。 , 设为一任意的三角形，D和E分别是AB,AC的中点，连接D，E并将该直线,ABC 记为L,过点A向L作垂线，垂足为F。在L上取点G和H，使得。 GD=DF,EH=EF具体作法如下图5: 图5 由于三角形全等的SAS定理和第五公设无关，因此有,并且同时有,,,AFECHE 。故,,GB=HC=AF,即四边形GHCB为一个萨开里四,,,AFDBGDCHL,BGL, 边形。由锐角假设，两个顶角的和小于。由于，，BCHCBG,, 7 ,从而三角形ABC内角和即为的，,，，,，GBDFADHCEFAE,，，BCHCBG,和，因此三角形内角和小于。证毕 , 进一步地，在罗氏几何中有结论:，三角形，其内角和(弧度制)，，,,,,,0 并且随着的减小，三角形的三条边变长。 , (2):作为(1)的自然推论，有:在罗氏几何中，边形内角和小于。 (2)n,n,证法完全类似于“欧氏几何中边形内角和等于”的证明。 (2)n,n, 注:由(2)可知:在罗氏空间中，不存在矩形，因此熟知的面积公式不再成立。 (3): 作为(1)的自然推论，有:在罗氏几何中，三角形的任意一个外角大于其两个内对角的和。 证明:设为一任意非欧三角形，，D为，A的补角，即为的外角，,ABC,ABC由和立得。证毕 ，，，，，,ABC,，，，,AD, ,,,):在罗氏几何中，若(4和的三个内角内应相等(即AAA)，则两,ABC,ABC ,,,个三角形全等;若和的一条对应边及两个对应角相等(即SAA)，,ABC,ABC 则两个三角形全等。 证明:只对(AAA)证。反证法: 图6 ,,,设和的三个内角内应相等，但不全等，通过刚体移动，不妨假设,ABC,ABC ,,,,,,,AAAB顶点和重合，且AB与,AC与分别落在同一直线上，但BC和不ACBC ,,重合，如上图6。由于BC和不相交，因为否则会同(3)矛盾。从而四边形BC ,,,,,,,的内角和==,这和(2)矛盾。因此，若和,CBBC，，，ABBACC,ABC,ABC的三个内角内应相等(即AAA)，则两个三角形全等。证毕 注:有上述证明可见，在罗氏几何中，不存在相似而不全等的三角形，即相似和全等是等价的。 8 (5):由(4)可知，在罗氏几何中，三角形的形的形状由三个内角唯一确定，从而三个内角唯一确定了三角形的面积，进一步地，三角形的面积由三角形的内 ,因此任一三角形面积有界:角和决定，即:AREAMABC,,，，，，，,(),, ,其中为依赖于空间弯曲程度(黎曼度量的曲率)的常数。 MAREAM,, (6):罗氏几何中的正弦定律，余弦定律，毕达哥拉斯定理: 设为一非欧三角形，顶点A,B,C的对边长度分别为a，b，c。 ,ABC sinhsinhsinhabc正弦定律: ,,sinsinsin，，，ABC 余弦定律: coshcoshcoshsinhsinhcoscababC,,,,,， 当为直角时，就有罗巴切夫斯基几何中的毕达哥拉斯定理: ，C coshcoshcoshcab,, 事实上，上述公式是在空间常数k=1时对应的公式，对于一般的k，有相应的正弦定律，余弦定律，毕达哥拉斯定理: abcsinhsinhsinhkkk (?) ,,sinsinsin，，，ABC cabab (?) coshcoshcoshsinhsinhcos,,,,,，Ckkkkk cab (?) coshcoshcosh,,kkk ,e,1下面令时，由知: k,，,lim1,,0,, xxxxx2,,,kkkkkxeeeeex,,,(1)2 limsinhlimlim2limkkxx,,,,,2x,,,,,,,,kkkkk22,2 k 从而(?)式变为欧氏空间中的正弦定律; 22xxxx由在0附近作Taylor展开，可得，从而我们有 cosh1(1),，，oe22kkk2 2xx2，因此(?)，(?)式变为欧氏空间中的余弦定律，毕达lim[cosh()1],,kk,,2k 哥拉斯定理。 综上所述:欧氏几何实际上是罗氏几何在空间常数k趋于无穷时的情形，即欧氏几何是罗氏几何的极限情形。或者说当a，b，c相对于k很小时，欧氏几何近似成立。这从另一个侧面说明，非欧几何是宇宙的几何，成立于很大的空间中。 9 六(罗氏(双曲)几何的庞加莱模型 由上面的讨论可见，罗氏几何是构筑在更换平行公设的基础上的纯逻辑演绎出来的结果。其中有些命题定理和我们的经验直觉大相径庭。那么，罗氏几何有现实意义吗，否则它仅是一种逻辑推演而已。罗巴切夫斯基更换了平行公设之后，新的几何系统是否具有相容性。 这些，我们可以通过非欧几何的模型和黎曼几何来回答。一般而言，非欧(罗氏)几何有三种模型:贝尔特拉米模型，克莱因模型，庞加莱模型。而非欧模型是指在欧氏几何的框架下实现非欧几何。此时，非欧几何中的每个命题都可以对应一个欧氏几何中的命题。因此，罗氏几何公理系统的相容性可以归结为欧氏几何公理系统的相容性问题。对于这个问题，著名数学家希尔伯特在非欧几何出现以后【9】对欧氏几何公理系统作了完善，并证明了它是相容的(无矛盾的)。 1. 预备知识 【10】在讨论庞加莱模型之前，先简要罗列该模型要用到的预备知识: 1. 交比的定义:设为四个互异的复数，定义它们的交比为: zzzz,,,1234 ()()zzzz,,1324 [,;,]zzzz,1234()()zzzz,,2314 azb，2.分式线性变换(莫比乌斯变换)的定义:,其中。 wfz,,()adbc,,0czd， 3.夹角的定义:复平面两个相交弧的夹角定义为交点处相应切线的夹角。 4.引理:设为复平面四个互异的点，则四点共圆或共线交比zzzz,,,,1234 ,。 [,;,]zzzz1234 5.引理:同一分式线性变换保持交比不变。 6.引理:分式线性变换将复平面上的圆或直线变成圆或直线。(注:可能将直线变为圆，将圆变为直线) 7.分式线性变换的重要性质:保角性(对圆或直线)。 2. 罗氏几何的庞加莱模型 1.定义 庞加莱将欧式空间中的圆盘DzzR,,{|}视为一张罗氏非欧平面，并把中DRR的正交于圆周的圆弧或者直线视为非欧直线。 CzzR,,{|}R 定义D中任意两点的非欧距离(庞加莱距离)为: R ,,设a，b为D中的两点，L是过a，b的一条非欧直线，和C交于点，如下ab,RR 图7所示: 10 图7 2RabRba,，,,,点a，b之间的庞加莱距离定义为:，dababba(,)ln[,;,]ln,,2RabRba,,,显然它满足度量的三个性质:非负性，对称性，三角不等式性质。 由上述定义可见，固定a，让b充分靠近的边界()，则有，bR,dab(,),，,DR 即任意一条非欧直线的长度为无穷。 注:A.由于非欧模型难以同时做到保角又等距，这里的庞加莱模型是保角的(相 对于实际非欧几何而言)，但是不等距，即欧氏距离和非欧距离不一致， 因此会有上述距离的定义。 B.模型的圆盘内每一个点都是一样的，虽然非欧模型看似是个有限的圆盘， 但实际上它是无限，从上面“任意一条非欧直线的长度为无穷”的证明也 可体会到这一点:圆盘在欧氏平面是一个有界区域，但是按非欧距离DR 计算，它是一张无穷大的平面。 庞加莱模型的非欧几何中的刚体运动:在中，设a为圆盘内一点，DzzR,,{|}R 2Rza(),i,，分式线性变换具有性质:,,,wfze,,()a,,2Raz, ,将庞加莱模型中的非欧直线变为非欧直线(由保角性)，fDDfCC(),(),,RRRR 将固定点a变为原点，再旋转一个角度。由于分式线性变换保交比，因此变换, 是庞加莱模型的非欧几何中的刚体运动(平移，旋转)。 w [6][11] 2.庞加莱模型下的罗氏几何基本命题 (a)第五公设:如下图8我们可以自然地看到罗氏几何的第五公设“在同一平面上，过已知直线外一点至少可以作两条直线(事实上有无数条直线)，它们与 11 给定直线均不相交(平行)”在模型中的体现。由此可见，罗氏几何第五公设并不是那么的难以接受。 图8 (b)在罗氏几何中，三角形的内角和严格小于:在图9，可以从庞加莱模型, 明显地看到这一点。 图9 证明:利用图9，证明这一点。由庞加莱模型的保角性知:在非欧空间中的,ABC内角和;另一方面，，，再一,，，，，，abc，,，aCAB，,，bCBA，,，cACB次由保角性，我们有。因此内角和严格小于。证毕 ,，，，，，,BACABCACB, (c)基本性质:?.对于中任给的互异两点，过这两点总可以作一条非欧直DR 线(过这两点总可以作一条圆弧或者直线垂直于); CR ?.庞加莱模型中的非欧圆也是欧氏圆。 Car, ?. 对于D中任给的互异两点a，b，总能以a为圆心作一个R 非欧圆通过b。 12 对?证明:由定义非欧圆，其中距离为非欧距离。若aCzDdazr,,,{|(,)}arR, Rz，Rz，为原点，则，即，因此有如下形式: dza(,)ln,{|ln}CzDr,,,orR,Rz,Rz, r，可见这恰好也是一个欧氏圆，它们有相同的圆心，{|sinh}CzDzR,,,orR,2 但半径不同。若a不为原点，则可通过庞加莱模型的非欧几何中的刚体运动，即 2Rza(),i,，将圆心a移到原点，可得证，但此时未被移动前的非wfze,,()a,,2Raz, 欧圆虽是欧氏圆，可非欧圆的圆心a和该欧氏圆的圆心不同。证毕。 CCar,ar, ,1(d)证明第五部分的平行角公式(*)，即。 ,()arcsin(cosh)dd, 图10 如上图10，由于可以进行非欧意义下的刚体运动，因此不妨设L为一非欧直线(半径)，p为直线外一点，设其到L的非欧距离为(为原点)，L+，||||dpq,qL-分别为右，左平行线。连接p，R,由于pm为右平行线L+(圆弧)于点p的切线，因此即为平行角。 ，qpm,(||)da 为原点，在虚轴上，可设，则为间的欧式距离，有非欧pdid,,(0)qppq,d dRd，ed,1||距离的定义可得:。记p到m的欧式距离||lnd,,dRR,,tanhdRd,e，12 为，q到m的欧式距离为，m到R的欧式距离为,则:，pmda,tanpmqmmR d,qm,，又由于pm，mR为切线，故，即有pmqmR，,，于是可得 pmmRcosa 13 d，两边平方化简有: daRa(1sin)cos，,daRtan，,,cosa 222222 ()sin2sin()0dRadadR，，，,, 22Rd,这是关于的一元二次方程，舍去负根得:，将前面的等式sina,sina22Rd， ||d,1,1代入可得:，即，sin(cosh||)ad,,(||)arcsin(cosh||)dad,,dR,tanh2 ,1改记为，就有。证毕。 ||d,()arcsin(cosh)dd,d ,，上面也间接证明了当时，;当时，(为,()0d,,()d()d,d,0d,，,,2 的递减函数)。 d 七(黎曼的非欧几何与黎曼几何 1.黎曼的非欧几何 我们把欧氏几何中的第五公设替换为:在同一平面上，过已知直线外一点不存在任何一条直线与给定直线不相交(平行)。便可得到黎曼的非欧几何。 此时，在同一平面上，任两条直线必相交;三角形内角和大于。 , 黎曼的非欧几何的一个自然的模型为球面几何。 事实上，罗氏几何导出的命题可以在半径为虚数的球面上实现。 2.黎曼几何 和罗巴切夫斯基不同，黎曼提出的自己非欧几何并不完全从公理出发，而是深受高斯的微分几何思想的影响，从而导致了黎曼几何的出现与发展。黎曼认为，从空间的度量出发可以得到更为一般的几何。他认为空间可以使弯曲而并非平直 222的，因而在每一点长度的计算公式不一样。例如对于欧氏度量，dsdxdy,，此时可以用变分法证明两点之间直线段最短。但是对于一般的黎曼度量: 222 dsExydxFxydxdyGxydy,，，(,)2(,)(,) EF,,其中为了保证度量为正(dxdy,不同时为0)，需要矩阵正定，即且E,0,,FG,, 2。 EGF,,0 14 22此时曲线的长度为，其中。 LdsExydxFxydxdyGxydy,，，(,)2(,)(,),dsL 从而，连接两点的最短线(测地线)未必为直线，很有可能是曲线。当平面装备了某个黎曼度量后便会失去其平坦性，变为一个弯曲的空间。 黎曼深受高斯的影响，在微分几何中，黎曼度量局部的看就是某个曲面的第?基本型，由高斯绝妙定理，曲面的总曲率(高斯曲率)仅由第?基本型决定，即曲面的总曲率完全由其内蕴量决定。如果认为每张曲面本身就是一个空间，把测地线当作直线的话，曲面上的内蕴几何就是一种非欧几何。黎曼理解并发展了高斯的研究，他认为既然曲面的总曲率完全被内蕴度量(第?基本型，黎曼度量)决定，那么便可忘掉曲面，也就是空间的弯曲程度完全决定于黎曼度量。 222对于欧氏度量，欧氏空间中每一点的高斯曲率为0，是一个平直的dsdxdy,， 空间。 下面我们考虑罗氏空间中的度量: 在庞加莱模型中，于中任选一点，考虑(其中为微小增量，它是,zD,,，,zzR z到的欧式距离)按照距离定义，它们之间的非欧距离, Rz||,1，2|()|Rzzz,，,，由函数的Taylor展式，可以得到ln(1),0，,xx,,sln()Rz||,1,2|()|Rzzz,，, ,sR21，x立得:,写成黎曼度量的形式:lim,ln2(||),0,，,xoxx22,,z0||||,,zRZ1,x 22R24RR222(其中是庞(||)zR,dsdzdsdxdy,,,，||()22222222Rz,||RzRxy,,，||[()] [12]z加莱模型中在点处非欧距离与欧氏距离的换算比率)，用微分几何中的方法，我们可以算得其高斯曲率为-1。此时，如果考虑改变非欧距离的单位，令 22222RabRba,，,4()kRdxdy，2，仿照上面的推导可得，该dabk(,)ln,ds,22222[()]Rxy,，RabRba,,, 11罗氏几何中的度量的曲率为，显然，因此用黎曼几何的观点:欧,,,lim022k,,kk 氏几何是罗氏当空间常数趋于无穷时的极限情形，或者只需相对于充分abc,,k 大时，就足以保证两种几何相差甚微，即在一个很小的局部范围内，欧氏几何是非欧几何的一个近似。这和前面第5,6部分的推导结果是一致的。 15 22dxdy，2同样，可以考虑黎曼的非欧几何对应的度量，得到的结论ds,2,222[1()]xy，，4 类似上面的讨论结果。 综上所述: 欧氏几何，罗巴切夫斯基几何，黎曼的非欧几何都是黎曼几何的特例，三种几何 12在黎曼几何中得到了统一，它们对应的黎曼度量的分别曲率为0，，，,,2k 22dxdy，2这三种度量可写成统一的形式:，是赋予在空间上不同的ds,c222[1()]，，xy4 黎曼度量决定它们不同的几何形式，导致了不同的几何空间，产生了互异的几何现象，这也是欧氏几何是平直的几何，非欧几何是弯曲的几何的本质原因所在。欧氏几何对应曲率为0的度量，罗氏几何对应负的常曲率度量，黎曼的非欧几何对应正的常曲率度量，这也正是罗氏几何也可在伪球面上局部实现的原因。 那么，现实的宇宙世界究竟是哪种几何，这需要来自数学外部的研究。如前面第4部分所说:它既不是欧氏空间，也不是罗氏空间，由广义相对论的看法，宇宙的时间与空间形成了一个具有特定黎曼度量的四维流形，由于物质存在及其分布的不均匀，使得这个四维流形是弯曲的(复杂的弯曲)，而其弯曲程度取决于空间物质的质量分布，但是在一个很小的局部范围中，忽略一些因素后，其高斯曲率可视为常数(甚至为零)，这时它可以用非欧几何甚至欧氏几何来近似刻画。 16 八(参考文献 [1] 欧几里得，欧几里得几何原本，山西科学技术出版社，2003。 [2] [美]列昂纳多姆洛迪诺夫(Leonard Mlodinow)/著，沈以淡，王季华，沈 佳/译,几何学的,海南出版社,2004.4。 [3] [苏]安娜里凡诺娃/著，徐宗义/译，三种命运，青海人民出版社，1980.5。 [4] 费保俊，相对论与非欧几何，科学出版社，2005.5.1。 [5] [苏]B.H.科士青/著，苏步青/译，几何学基础，商务印书馆，1948。 [6] 李忠，并不神秘的非欧几何，高等教育出版社，2010.6。 [7] HAROLD E. WOLFE,《Introduction to Non-Euclidean Geometry》，THE KRYDEN PRESS.NEW YORK,1945。 [8] H.S.CARSLAW,《The Elements of Non-Euclidean Plane Geometry and Trigonometry》， LONGMANS，GREEN AND CO.，1916。 [9] [德]希尔伯特，希尔伯特几何基础，北京大学出版社，2009.11。 [10] 钟玉泉，复变函数论(第三版)，高等教育出版社，2003。 [11] 李忠，周建莹，双曲几何，湖南教育出版社，1991.12。 贵，陈卿，微分几何，高等教育出版社，2003.1.1。 [12] 彭家 17 后记 过去的这一年是有幸的一年，因为有幸成为莙政学者，拥有了一个可以较早接触科研的机会。回顾莙政之年，记得当初之所以这个课题，就是因为想多学点东西，想了解一下一般本科学习接触不多的非欧几何是怎样的，如今如愿以偿，虽然这个期间还有很多地方做的不是很满意。在这一年中，我学会了如何查找资料文献，如何利用学校的图书馆;在指导老师的身上，我感受到了作为一名几何研究者的严谨，踏实，勤奋和思维上的活跃，另外，他也教会我不管是平时学习还是研究问题要多思，多想，多问几个为什么，要基于书本，更要超越书本，学习上要有开阔的眼界，不能做井底之蛙，对于任何学科的基本问题，一定要弄清，要循序渐进，脚踏实地，要有扎实的基本功;在这一年中，自己遇到了很多困难:资料书籍上的内容有些看不太懂，老师提出的问题思考不出来，对一些问题仅仅是一知半解等等。于是，我不断告诫自己要有耐心与毅力，要挑战自我，通过查阅书籍，请教老师，解决了一些问题，但仍有一些问题尚未理解。看看自己走过的这条莙政之路，充满辛酸，但是却格外充实，它教会了我要有勇气克服困难，要有恒心，要有一个“数学人”应有的素养。 在这里，我首先要感谢李政道夫妇无私地提供了这样一个平台，让我有机会如此靠近科研，感谢教务处的陈乳胤、杨真老师给我的关心和帮助;另外，我要感谢我的导师张影教授，在研修的过程中他给了我很多的指导，在日常工作和生活中也给予我非常多的意见和帮助，给予我很多的宽容和理解。 最后，我也要感谢莙政大家庭里的每一员，这一年的互相交流，让我受益匪浅，各位朋友同学给我的鼓励，让我十分感动。 “路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”，虽然这次的研修已经告一段落，但在今后的人生道路上，莙政精神将一直陪伴我，我对科学研究的热爱永无止境，我将在这条道路上不断求索，勇往直前。 18 19