§5.5 二次曲线的主直径与主方向

§5.5  二次曲线的主直径与主方向 一、概念 1.定义1： 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向. 2.定义2：主直径是二次曲线的对称轴，因而主直径也叫做二次曲线的轴，轴与曲线的交点叫做曲线的顶点. 二、主方向与主直径的求法 二次曲线的与非渐近方向X:Y共轭的方向为 : =-(a12X + a22Y):(a11X + a12Y), 由主方向的定义，X:Y 成为主方向的条件是与共轭方向 : 垂直，即 X +Y =0或  : = -Y : X 所以有                       X : Y=(a11X + a12Y) ：(a12X + a22Y)， 因此X:Y 成为主方向的条件是 （λ≠0）， 或                    这是一个关于X，Y的齐次线性方程组，而X，Y不能全为零，所以 =0， 即                            λ2-I1λ+I2=0. 由此可得求主方向与主直径的方法： (1) 从 λ2-I1λ+I2=0求出λi(i=1, 2)； (2) 将λi分别代入 得到相应的主方向Xi :Yi(i＝1, 2)； (3) 如果主方向为非渐近主方向，则由XF1(x, y) + YF2(x, y)=0,即得共轭于非渐近主方向的主直径. 三、二次曲线的特征根 1.定义3： 方程 λ2-I1λ+I2=0叫做二次曲线的特征方程，特征方程的根λ叫做二次曲线的特征根. 2.定理1：二次曲线的特征根都是实数. ：因为特征方程的判别式 △=I12-4I2=(a11-a22)2+4a122≥0. 所以二次曲线的特征根都是实数. 3.定理2：二次曲线的特征根不能全为零. 证明：如果二次曲线的特征根全为零，那么 I1=I2=0， 即                          a11+a22=0 且 a11a22 -a122=0， 从而得                            a11=a12 =a22=0， 这与二次曲线的定义矛盾，所以二次曲线的特征根不能全为零. 4.定理3： 二次曲线的特征根λ确定的主方向X:Y，当λ≠0时，为二次曲线的非渐近主方向；当λ=0时，为二次曲线的渐近主方向. 证明：因为 Φ(X, Y )≡ a11X 2+2a12XY+ a22Y 2=( a11X + a12Y )X+( a12X + a22Y)Y. = λ X 2+λY 2=λ( X 2+Y 2). 又因为X:Y不全为零，所以当λ≠0时，Φ(X, Y ) ≠0，X:Y为二次曲线的非渐近主方向；当λ=0时，Φ(X, Y ) =0，X:Y为二次曲线的渐近主方向. 5.定理4： 中心二次曲线至少有两条主直径，非中心曲线只有一条主直径. 事实上二次曲线或者有一条主直径，或者有两条主直径，或者有无穷多条主直径. 证明：由二次曲线的特征方程λ2-I1λ+I2=0解得两特征根为 λ1,2= ，判别式△= =( a11－a22)2+4 a122. （1） 当二次曲线为中心曲线时，I2≠0.  如果△=0，那么a11= a22，a12 =0，这时的二次曲线为圆，它的特征根为 λ1,2= a11 =a22(≠0)(二重根). 代入 可得任何方向都是圆的非渐近主方向，从而通过圆心的任何直线不仅都是直径，而且都是圆的主直径. 继续阅读