九年级三角函数竞赛题(含答案)锐角三角函数
古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要,他们发现并经常利用下列几何结论:在两个大小不同的直角三角形中,只要有一个锐角相等,那么这两个三角形的对应边的比值一定相等.正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究,1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用,才逐渐形成现在的sin、cos、tg、ctg的通用形式.
三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系,是数形结合的桥梁之一,有以下丰富的性质:
1.单调性;
2.互余三角函数间的关系;
3.同角三角函数间的关系.
平方关系:sin2α+cos2...
锐角三角函数
古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要,他们发现并经常利用下列几何结论:在两个大小不同的直角三角形中,只要有一个锐角相等,那么这两个三角形的对应边的比值一定相等.正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究,1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用,才逐渐形成现在的sin、cos、tg、ctg的通用形式.
三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系,是数形结合的桥梁之一,有以下丰富的性质:
1.单调性;
2.互余三角函数间的关系;
3.同角三角函数间的关系.
平方关系:sin2α+cos2α=1;
商数关系:tgα=
,ctgα=
;
倒数关系:tgαctgα=1.
【例
求解】
【例1】 已知在△ABC中,∠A、∠B是锐角,且sinA=
,tanB=2,AB=29cm,
则S△ABC = .
思路点拨 过C作CD⊥AB于D,这样由三角函数定义得到线段的比,sinA=
,tanB=
,设CD=5m,AC=13m,CD=2n,BD=n,解题的关键是求出m、n的值.
注:设△ABC中,a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边,R为△ABC外接圆的半径,不难证明:与锐角三角函数相关的几个重要结论:
(1) S△ABC=
;
(2)
.
【例2】 如图,在△ABC中.∠ACB=90°,∠ABC=15°,BC=1,则AC=( )
A.
B.
C.0.3 D.
思路点拨 由15°构造特殊角,用特殊角的三角函数促使边角转化.
注:(1)求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形.
(2)求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比,有时需通过等的比来转换.
【例3】 如图,已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,过BC的中点D作DE⊥AB于E,连结CE,求sin∠ACE的值.
思路点拨 作垂线把∠ACE变成直角三角形的一个锐角,将问题转化成求线段的比.
【例4】 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tanB=cos∠DAC,
(1)求证:AC=BD;
(2)若sinC=
,BC=12,求AD的长.
思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比,利用比例线段证明;
(2) sinC=
,引入参数可设AD=12
,AC=13
.
【例5】 已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA、sinB是方程
的两个根.
(1)求实数
、
应满足的条件;
(2)若
、
满足(1)的条件,方程
的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B的正弦?
思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立
、
等式,注意判别式、三角函数值的有界性,建立严密约束条件的不等式,才能准确求出实数
、
应满足的条件.
学历训练
A组
1.已知α为锐角,下列结论①sinα+cosα=l;②如果α>45°,那么sinα>cosα;③如果cosα>
,那么α<60°; ④
.正确的有 .
2.如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,BC=1,cosB
,则这个菱形的面积为 .
3.如图,∠C=90°,∠DBC=30°,AB=BD,利用此图可求得tan75°= .
4.化简:
(1)
= .
(2)sin2l°+sin22°+…+sin288°+sin289°= .
5.身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛.三人放出风筝线长、线与地面夹角如下
(假设风筝线是拉直的),则三人所放的风筝中( )
A.甲的最高 B.丙的最高 C.乙的最低 D.丙的最低
6.已知 sinαcosα=
,且0°<α<45°则coα-sinα的值为( )
A.
B.
C.
D.
7.在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,D是AC的中点,则ctg∠DBC的值是( )
A.
B.
C.
D.
8.在等腰Rt△ABC中.∠C=90°,AC=6,D是AC上一点,若tan∠DBA=
,则AD的长为( )
A.
B.2 C. 1 D.
9.已知关于
的方程
的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦,求m的值.
10.D是△ABC的边AC上的一点,CD=2AD,AE⊥BC于E,若BD=8,sin∠CBD=
,求AE的长.
B组
11.若0°<α<45°,且sinαconα=
,则sinα= .
12.已知关于
的方程
有两个不相等的实数根,α为锐角,那么α的取值范围是 .
13.已知是△ABC的三边,a、b、c满足等式
,且有
,则sinA+sinB+sinC的值为 .
14.设α为锐角,且满足sinα=3cosα,则sinαcosα等于( )
A.
B.
C.
D.
15.如图,若两条宽度为1的带子相交成30°的角,则重叠部分(图中阴影部分)的面积是( )
A.2 B.
C.1 D.
16.如图,在△ABC中,∠A=30°,tanB=
,AC=
,则AB的长是( )
A.
B.
C.5 D.
17.己在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且c=
,若关于
的方程
有两个相等的实根,又方程
的两实根的平方和为6,求△ABC的面积.
18.如图,已知AB=CD=1,∠ABC=90°,∠CBD°=30°,求AC的长.
19.设 a、b、c是直角三角形的三边,c为斜边,n为正整数,试判断
与
的关系,并证明你的结论.
20.如图,已知边长为2的正三角形ABC沿直线
滚动.
(1)当△ABC滚动一周到△A lB1C1的位置,此时A点所运动的路程为 ,约为 (精确到0.1,π=3.14)
(2)设△ABC滚动240°,C点的位置为Cˊ,△ABC滚动480°时,A点的位置在Aˊ,请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)÷(1-tanα·tanβ),求出∠CACˊ+∠CAAˊ的度数.
参考答案
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