2011年重庆市高考数学文科试卷2011年重庆市高考数学文科卷解析版
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.
1.在等差数列
中,
,
=( ).
A.12 B.14 C.16 D.18
【答案】D 【解析】
,
,则
.
2.设
,则
=( ).
A.[0,2] B.
C.
D.
【答案】A 【解析】由题意
,所以
.
3.曲线
在点(1,2)处的切线方程为( ).
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】求导
,得
,由点斜...
2011年重庆市
数学文科卷解析版
一、选择
:本大题共10小题,每小题5分,共50分.
1.在等差数列
中,
,
=( ).
A.12 B.14 C.16 D.18
【答案】D 【解析】
,
,则
.
2.设
,则
=( ).
A.[0,2] B.
C.
D.
【答案】A 【解析】由题意
,所以
.
3.曲线
在点(1,2)处的切线方程为( ).
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】求导
,得
,由点斜式得切线方程:
,
整理得
.
4.从一堆苹果中任取10只,称得它们的质量如下(单位:克)
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134
则样本数据落在
内的频率为( ).
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
【答案】C 【解析】在
内的有4个,故概率为
.
5.已知向量
共线,那么
的值为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D 【解析】
,其与
共线,则
,解得
,
则
.
6.设
的大小关系是
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】化简
,
,
(不变),
因为
是单调递增函数,且
,所以
.
7.若函数
在
处取最小值,则
( ).
A.
B.
C.3 D.4 【答案】C
【解析】∵
,∴
,由基本不等式:
,
当且仅当
时取等号,此时
或1,∵
,∴取
.
8.若△
的内角,
满足
,则
( ).
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
,
由正弦定理知
,
由余弦定理得
.
9.设双曲线的左准线与两条渐近线交于
两点,左焦点在以
为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为( ).
A.
B.
C.
D.
,
【答案】B
【解析】设双曲线为
,则左焦点
,渐近线:
,左准线:
,
以AB为直径的圆:
.
在园内,则满足:
,即
,
即
,所以
.
10.高为
的四棱锥
的底面是边长为1的正方形,点
、
、
、
、
均在半径为1的同一球面上,则底面
的中心与顶点
之间的距离为( ).
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】图略.设球心为O,底面
的中心为
,过S作垂直于
垂面,得圆的截面,设圆心为
,则
共线,连接OC,OS,SD,由题意知:OC=OS=1,
,
,
所以
,所以
,
从而
,
所以在△
中,
.
二、填空题,本大题共5小题,每小题5分,共25分
11.
的展开式中
的系数是 【答案】240
【解析】由二项式定里,展开式单项为
,
代入
,得
的系数
.
12.若
, 且
,则
【答案】
【解析】因为
且
,所以
,
所以
.
13.过原点的直线与圆
相交所得弦的长为2,则该直线的方程为
【答案】
或
【解析】由题意圆心坐标为(1,2),半径为1,又直线被圆截得的弦长为2,所以直线过圆心,
设直线方程为
或
,代入(1,2)得
,所以直线是
或
14.从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动,则所选3位中有甲但没有乙的概率为
【答案】
【解析】10选3共有
种可能,有甲无乙的情况有
种,所以概率为
.
15.若实数
的最大值是 答案:
【解析】由
,得
,所以
.
由题设得
,
所以
.
三、解答题,本大题共6小题,共25分.
16.(13分)
设
是公比为正数的等比数列,
,
.
(Ⅰ)求
的通项公式;
(Ⅱ)设
是首项为1,公差为2的等差数列,求数列
的前
项和
.
解:(I)设q为等比数列
的公比,则由
,
即
,解得
(舍去),因此
所以
的通项为
(II)
17.(13分)
某市公租房的房源位于A、B、C三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任4位申请人中:
(I)没有人申请A片区房源的概率;
(II)每个片区的房源都有人申请的概率.
解:这是等可能性事件的概率计算问题.
(I)所有可能的申请方式有34种,而“没有人申请A片区房源”的申请方式有24种.
记“没有人申请A片区房源”为事件A,则
(II)所有可能的申请方式有34种,而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有
种.
记“每个片区的房源都有人申请”为事件B,从而有
18.(本小题满分13分,(I)小问7分,(II)小问6分)
设函数
(1)求
的最小正周期;
(II)若函数
的图象按
平移后得到函数
的图象,
求
在
上的最大值.
解:(I)
故
的最小正周期为
(II)依题意
当
为增函数,
所以
上的最大值为
19.(本小题满分12分,(Ⅰ)小题5分,(Ⅱ)小题7分)
设
的导数为
,若函数
的图像关于直线
对称,且
.
(Ⅰ)求实数
的值;
(Ⅱ)求函数
的极值.
解:(I)因
从而
即
关于直线
对称,从而由题设条件知
又由于
(II)由(I)知
令
当
上为增函数;
当
上为减函数;
当
上为增函数;
从而函数
处取得极大值
处取得极小值
20.(本小题满分12分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问6分)
如题(20)图,在四面体
中,平面ABC⊥平面
,
(Ⅰ)求四面体ABCD的体积;
(Ⅱ)求二面角C-AB-D的平面角的正切值.
解:(I)如答(20)图1,过D作DF⊥AC垂足为F,
故由平面ABC⊥平面ACD,知DF⊥平面ABC,即DF
是四面体ABCD的面ABC上的高,设G为边CD的中点,
则由AC=AD,知AG⊥CD,从而
由
故四面体ABCD的体积
(II)如答(20)图1,过F作FE⊥AB,垂足为E,连接DE.
由(I)知DF⊥平面ABC.
由三垂线定理知DE⊥AB,故∠DEF为二面角C—AB—D的平面角.
在
在
中,EF//BC,从而EF:BC=AF:AC,所以
在Rt△DEF中,
21.(本小题满分12分.(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)
如题(21)图,椭圆的中心为原点
,离心率e=
,一条准线的方程是
(Ⅰ)求该椭圆的
方程;
(Ⅱ)设动点P满足:
,其中M、N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为
,问:是否存在定点F,使得
与点P到直线l:
的距离之比为定值;若存在,求F的坐标,若不存在,说明理由.
解:(I)由
解得
,故椭圆的标准方程为
(II)设
,则由
得
因为点M,N在椭圆
上,所以
,
故
设
分别为直线OM,ON的斜率,由题设条件知
因此
所以
所以P点是椭圆
上的点,该椭圆的右焦点为
,离心率
是该椭圆的右准线,故根据椭圆的第二定义,存在定点
,使得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值.
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