1设a为有理数★

1设a为有理数★ P.4 习题 1(设a为有理数，x为无理数，: (1)a + x是无理数; (2)当时，ax 是无理数. a,0 证明 (1)(反证)假设a + x是有理数～则由有理数对减法的封闭性～知 x = a +x – a 是有理数. 这与题设“x为无理数”矛盾～故a + x是无理数. ax(2)假设ax 是有理数～于是是有理数～这与题设“x为无理数”矛盾～故axx,a 是无理数. 3(设，证明:若对任何正数ε有，则 a = b . a,b,R|a,b|,, 证明 由题设～对任何正数ε有，再由教材P.3 例2～可得，|a,b|,,，0|a,b|,0 ，从而 a = b . 于是|a,b|,0 另证 (反证)假设，由实数的稠密性～存在 r 使得. 这与|a,b|,0|a,b|,r,0 题设“对任何正数ε有”矛盾～于是，从而 a = b . |a,b|,,|a,b|,0 5(证明:对任何有 x,R (1); (2) |x,1|，|x,2|,1|x,1|，|x,2|，|x,3|,2证明 (1)1,|(x,1),(x,2)|,|x,1|，|x,2| (2)因为2,|x,3|,|2，(x,3)|,|x,1|,|x,1|，|x,2|， 所以|x,1|，|x,2|，|x,3|,2 y，a,b,c,R6(设证明 A(a,b)b 2222 |a，b,a，c|,|b,c| 证明 建立坐标系如图～在三角形OAC中，OA cC(a,c) 2222的长度是，OC的长度是， a，ba，cx aOAC的长度为. 因为三角形两边的差 |b,c| 小于第三边～所以有 2222|a，b,a，c|,|b,c| a，xa7(设 ，证明介于1与之间. x,0,b,0,a,bb，xb a，xa,b|a,b|a,1,,,,1证明 因为， b，xb，xbb 1 a，xa(b,a)x|a,b|a ,,,,,1b，xbb(b，x)bb a，xa所以介于1与之间. b，xb 8(设 p 为正整数，证明:若 p 不是完全平方数，则是无理数. p n证明 (反证)假设为有理数～则存在正整数 m、n使得，其中m、n互p,pm 22mp,n素. 于是，因为 p 不是完全平方数，所以 p 能整除 n ，即存在整数 k ，使得 22222mp,kpm,kp. 于是，，从而 p 是 m 的约数，故m、n有公约数 p. 这n,kp 与“m、n互素”矛盾. 所以是无理数. p P.9 习题 2(设S为非空数集，试对下列概念给出定义: (1)S无上界; ,M，x,Sx,M若，，使得，则称S无上界. 00 ，M(请与S有上界的定义相比较:若，使得，有，则称S有上界) ,x,Sx,M(2)S无界. ，x,S|x|,M若，，使得，则称S无界. ,M,000 (请与S有界的定义相比较:若，使得，有|x|,M，则称S有界) ，M,0,x,S 2S,{y|y,2,x,x,R}3(试证明数集有上界而无下界. 2y,2,x,2证明 ，有，故2是S的一个上界. ,y,S 2y,,M而对，取，，但. 故数集x,3，My,2,x,,1,M,S,M,00000 S无下界. 4(求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证: 2S,{x|x,2,x,R}(1) infS,,2infS,,2解 ，. 下面依定义加以验证(可supS,2supS,2 类似进行). ,2,x,22,2，有，即是S的一个上界，是S的一个下界. ,x,S ,x,Sx,,,,,2,,,2,2,,,2，若，则，都有;若，则由实数00 2 的稠密性～必有实数 r ，使得，即，不是上界～所以. ,2,,,r,2,supS,2r,S(2) S,{x|x,n!,n,N}， 解 S无上界～故无上确界～非正常上确界为. supS,，,下面证明:. infS,1 1 是S的一个下界有即x,n!,1,x,S? ，，; ? ，因为 ，即不是S的下界. 所以 . ,,,1,1,1!,SinfS,1S,{x|x为(0,1)内的无理数}(3) . 解 仿照教材P.6例2的～可以验证:supS,1infS,0 1? S,{x|x,1,,n,N} ，n2 1解 ， supS,1infS,2 首先验证. supS,1 1? x,1,,1，即 1 是S的一个上界 ,x,S，有;n2 11x,Sn1? ，取正整数，使得，于是取. 从而,,x,,,,,0000，且nn0022 1. x,1,,1,,0n02 所以supS,1 5(设S为非空有下界数集，证明:infS,,,S,,,minS ,证明:)设infS,,,S，则对一切，有x,,，而,,S，故是数集S,x,S ,,minS中的最小的数，即. ,)设,,minS，则,,S;下面验证,,infS; x,,? 对一切，有，即,是数集S的下界; x,S x,,x,,,,,,,infS? 对任何，只须取，则. 所以. 00 ,S,{x|,x,S}6(设S为非空数集，定义. 证明: 3 ,,infS,,supSsupS,,infS? ? ,,,infS证 ? 设，下面证明:. ,,,supS ,,,,infS? 对一切，有. 因为，所以有，于是，即,x,,x,,,,,,x,Sx,S 是数集S的上界; ,,,,infSx,,,? 对任何，有. 因为，所以存在，使得. ,,,,,,,,x,S00,x,S,x,,于是有，使得. 00 由?，?可知. ,,,supS 7(设A、B皆为非空有界数集，定义数集 A，B,{z|z,x，y,x,A,y,B}证明:(1); (2) sup(A，B),supA，supBinf(A，B),infA，infB证明 (1)因为A、B皆为非空有界数集～所以和都存在. supAsupB,z,A，B，由定义分别存在，使得. 由于，x,A,y,Bx,supAz,x，y A，B，故，即是数集的一个上界. y,supBz,x，y,supA，supBsupA，supB A，B，(要证,不是数集的上界)，，由上确,,,supA，supB,,pusB,pusA x,,,supB,,x,supBx,A界的定义～知存在，使得. 于是，再由上确界supA000 y,By,,,xz,x，y,,z,A，B的定义～知存在，使得. 从而，且. supB0000000 A，B因此是数集的上确界～即 supA，supBsup(A，B),supA，supB ,z,A，B另证 ，由定义分别存在，使得. 由于，x,A,y,Bx,supAz,x，y ，故，于是 y,supBz,x，y,supA，supB . ? sup(A，B),supA，supB ,sup由上确界的定义，，，使得，，使得x,A,,,,0，x,A，y,B0002 ,sup(A，B),x，y,supA，supB,,sup，从而，由教材P.3 例2～可得 y,B,0002 sup(A，B),supA，supB ? 由?、?～可得 sup(A，B),supA，supB 4 类似地可证明: inf(A，B),infA，infB yP.15 习题 ,9(试作数的图象 y,arcsin(sinx)2,,x2 ,解 是以2π为周期， y,arcsin(sinx), ,2,,,2定义域为，值域为 (,,,，,)[,,]22 的分段线性函数～其图象如图. 11(试问是初等函数吗, y,|x| 22y,u解 因为，可看成是两个初等函数与的复合～所以y,|x|,xu,x是初等函数. y,|x| ,,y,x12(证明关于函数的如下不等式: 11，，，，1,x,x,11,x,1,x(1)当时， (2)当时， x,0x,0,,,,xx，，，， 11111，，，，，，，，,,，1x,1,x，x证明 (1)因为 ，所以当时，有，x,0,,,,,,,,xxxxx，，，，，，，， 1，，1,x,x,1从而有. ,,x，， 111，，，，,,，1(2)当时～在不等式中同时乘以x，可得x,0,,,,xxx，，，，111，，，，，，x，x,1,x1,x,1,x，从而得到所需要的不等式. ,,,,,,xxx，，，，，， P.20 习题 xf(x),1(证明是R上的有界函数. 2x，1 1xx2,,(？x，1,2|x|)证明 因为对R 中的任何实数x 有 222x1x， 所以 f 在R上有界. 2((1)叙述无界函数的定义; 1(2)证明为(0，1)上的无界函数; f(x),2x 5 (3)举出函数 f 的例子，使 f 为闭区间 [0，1] 上的无界函数. x,D|f(x)|,M解 (1)设函数，若对任何，都存在，使得，f(x)x,DM,000则称 f 是D 上的无界函数. 11x,(0,1),x(2)分析:，要找，使得. 为此只需. ,M,M,0002xM0 11x,x,(0,1)证明 ，取，则，且，所以f 为,M，1,M,M,0002xM，10区间(0，1)上的无界函数. 1,,0,x,13)函数 是闭区间 [0，1] 上的无界函数. (f(x),,x ,0x,0, Dg7(设、为定义在上的有界函数，满足， ff(x),g(x)x,D证明:? ;? supf(x),supg(x)inff(x),infg(x)x,Dx,Dx,Dx,D D证 ? ，有，即是在上的一个上界，f(x),g(x),supg(x)supg(x)f,x,Dx,Dx,D 所以. supf(x),supg(x)x,Dx,D Dg? ，有，即是在上的一个下界，所以inff(x),f(x),g(x)inff(x),x,Dx,Dx,D . inff(x),infg(x)x,Dx,D D8(设f为定义在上的有界函数，证明: ? sup{,f(x)},,inff(x); ? inf{,f(x)},,supf(x) x,Dx,Dx,Dx,D 证 ? ，有，于是，即,f(x),sup{,f(x)}f(x),,sup{,f(x)},x,Dx,Dx,D D,sup{,f(x)}是f在上的一个下界，从而inff(x),,sup{,f(x)}，所以 x,Dx,Dx,D sup{,f(x)},,inff(x) ? x,Dx,D 反之，，有，于是～即是,ff(x),inff(x),f(x),,inff(x),inff(x),x,Dx,Dx,Dx,DD在上的一个上界，从而 sup{,f(x)},,inff(x) ? x,Dx,D sup{,f(x)},,inff(x)由?，?得，. x,Dx,D 6 ,,,,9(证明:tanx在上无界，而在内任一闭区间上有界. [a,b](,,)(,,)2222 ,,x,arctan(M，1)证 ，取，于是. 则有x,(,,),M,00022 ,,tanx,M，1,Mtanx，所以在上无界. (,,)022 ,,在内任一闭区间上，取，则，[a,b]M,max{|tana|,|tanb|},x,[a,b](,,)22 tanx必有，所以在上有界. |tanx|,M[a,b] 当为有理数1,x,,10(讨论狄利克雷函数，的有界性，单调性与周期性. D(x),,当x为无理数0, 是有界函数:. 不是单调函数. 解 函数D(x)|D(x)|,1 是周期函数～任何一个正有理数都是它的周期～故它没有最小周期. 证明如下:D(x) x,r设 r 是任一正有理数. 若 x 是有理数～则是有理数～于是;若 x D(x,r),1,D(x) x,r是无理数～则是无理数～于是. D(x,r),0,D(x) 任何无理数都不是的周期. D(x) 11(证明:f(x),x，sinx在R上严格增. x,x证 设，于是 12 x，xx,x2121()()sinsin2cossin fx,fx,x，x,x,x,x,x，2122112122 x，xx,xx,x212121因为，有，所以|2cossin|,2|sin|,x,x，从,x,0sinx,x21222 x，xx,x2121x,x,2cossin,x,x而. 所以有 122122 x，xx,x2121f(x),f(x),x,x，2cossin,x,x，x,x,0 2121211222 f(x),x，sinx即在R上严格增. P.21 总练习题 a,b,R1(设，证明: 7 1? max{a,b},(a，b，|a,b|)2 11证 若，则，，这时max{a,b},a(a，b，|a,b|),(a，b，a,b),aa,b22 11有;若，则， max{a,b},bmax{a,b},(a，b，|a,b|)(a，b，|a,b|),a,b22 11，也有，所以 (a，b,a，b),bmax{a,b},(a，b，|a,b|)22 1 max{a,b},(a，b，|a,b|)2 g2(设和都是初等函数，定义 f ，， M(x),max{f(x),g(x)}m(x),min{f(x),g(x)}x,D试问和是否为初等函数, M(x)m(x) 1解 由第1题有，因为M(x),max{f(x),g(x)},(f(x)，g(x)，|f(x),g(x)|)2 g和都是初等函数，于是是初等函数，再由ff(x),g(x) 212|f(x),g(x)|,{[f(x),g(x)]}，知是初等函数，所以是初等函|f(x),g(x)|M(x)数. g8(设f、和为增函数，满足f(x),g(x),h(x)，，证明: hx,R f(f(x)),g(g(x)),h(h(x)) g证 因为f、为增函数，再由f(x),g(x)，得f(f(x)),f(g(x))，f(g(x)),g(g(x))，所以有f(f(x)),g(g(x)). 同理可得g(g(x)),h(h(x)). g9(设f、为区间(a,b)上的增函数，证明,(x),max{f(x),g(x)}，,(x),min{f(x),g(x)}也都是区间(a,b)上的增函数. ,(x),max{f(x),g(x)}(a,b)证 ? 先证是区间上的增函数. x,x设，于是有 12 ,(x),max{f(x),g(x)},f(x),f(x)， 22221 ,(x),max{f(x),g(x)},g(x),g(x)， 22221,(x),max{f(x),g(x)},,(x),(x)从而，所以是增函数. 2111 8 ? 其次证明是区间上的增函数 ,(x),min{f(x),g(x)}(a,b) 设，于是有 x,x12 ,(x),min{f(x),g(x)},f(x),f(x) 11112 ,(x),min{f(x),g(x)},g(x),g(x) 11112从而 ,(x),min{f(x),g(x)},,(x) 1222 Dg12(设、为上的有界函数，证明: f inf{f(x)，g(x)},inff(x)，supg(x)? x,Dx,Dx,D supf(x)，infg(x),sup{f(x)，g(x)}? x,Dx,Dx,D 证 ? 由p.17例2 (i)，有 inf{f(x)，g(x)}，inf{,g(x)},inff(x) ? x,Dx,Dx,D再由p.20习题8，有 inf{,g(x)},,supg(x) ? x,Dx,D inf{f(x)，g(x)},inff(x)，supg(x)结合?、?可得 x,Dx,Dx,D Dg13(设f、为上的非负有界函数，证明: inff(x),infg(x),inf{f(x),g(x)}? x,Dx,Dx,D sup{f(x),g(x)},supf(x),infg(x)? x,Dx,Dx,D 证 ? ，有 ,x,D inff(x),f(x)infg(x),g(x)inff(x),infg(x),f(x),g(x)，，从而. 即x,Dx,Dx,Dx,D Dinff(x),infg(x)是f(x),g(x)在上的一个下界，所以有 x,Dx,D inff(x),infg(x),inf{f(x),g(x)} x,Dx,Dx,D 15(设f为定义在R上以h为周期的函数，a为实数. 证明:若f在 [ a, a+h ] 上有界， 则f在R上有界. ,x,[a,a，h]|f(x)|,M证 设f在 [ a, a+h ] 上有界，即存在，使得，有. M,0 x,[a,a，h]x,mh，x，必存在整数m和实数，使得. 于是 ,x,R00 9 |f(x)|,|f(x，mh)|,|f(x)|,M，所以f在R上有界. 00 IM,supf(x)16(设在区间上有界. 记，，证明 m,inff(x)fx,Ix,I ,,, sup|f(x),f(x)|,M,m,,,x,x,I ,,,证 ，有，. 于是，有 f(x),Mf(x),m,x,x,I,x,I ,,,,,,,,,，即是数集的一个上界. 下|f(x),f(x)|,M,m{|f(x),f(x)|:x,x,I}M,m ,,,,,,面证明:是数集的最小上界. {|f(x),f(x)|:x,x,I}M,m ,,,,,由上确界，下确界的定义知，，，使得，()，x,x,Ifx,M,,,,02 ,,,,,,,,，从而. 所以是数()fx,m，f(x),f(x),M,,(m，),M,m,,M,m222 ,,,,,,集的最小上界. {|f(x),f(x)|:x,x,I} ,,,所以 sup|f(x),f(x)|,M,m,,,x,x,I 10