PP检验法和ADF检验法

PP检验法和ADF检验法 第4节 PP单位根检验法与ADF单位根检验法 DF检验要求模型的随机扰动项独立同分布。但在实际应用中这,t 一条件往往不能满足(如上一节中的有关例子)。一般来说，如果估计模型的DW值偏离2较大，明随机扰动项是序列相关的，在这种情况下使用DF检验可能会导致偏误，需要寻找新的检验。本节我们将介绍在随机扰动项服从一般平稳过程的情况下，检验单位根的PP检验法和ADF检验法。 一、 PP(Phillips&Perron)检验 首先考虑上一节情形二中扰动项为一平稳过程的单位根检验。假设数据由(真实过程) ? (1) y=ρy+u,u=(B)ε=ε,,,tt-1tttjt-jj=0 ,j2产生，其中独立同分布，。，其中B为εE(,),0,D(,),,,,,(B),,B,,,ttjtj0, , 滞后算子，其系数满足条件。在回归模型中检验假设: y,,，,y，uj,,,,tt,1tjj,0 H:,,1;,,00 与DF检验(情形二)一样，模型参数的OLS估计为: ,1,ˆ,,,,Nyy,,,,t,1t,,,,,, ,2,,,,,,ˆyyyy,,,,t,1t,1t,1t,,,,,, 在成立时，上式可改写为: H:,,0,,,10 ,1ˆ,,,,Tyu,,,,,tt,1 ,,,,,,,2,,,,ˆ1yyyu,,,,,,,tttt,,,111,,,, 12以矩阵左乘上式两端，得 AdiagT,T,，， ,112,,,,,,,,,,ˆTyuT,,,,,,,tt,1,,,111,AAA,,,,,,,,,,2,,,,,,ˆyyyu1T,，，,,,,tttt,,,111,,,,,,,,,,,,,, ,131,,22 ,,,,1TyTu,,1t,t,,,,,3,1,,22,,2,,TyuTyTy,tt,1,,tt,,11,,,, 利用有关单位根过程的极限分布(参见第2节)，可得 ,11,,1,W()1,,1W(r)dr,2,,ˆ,T,,,0L,, ,,,,,122,,11,,,,ˆ22T,1，，[W()]1,,,,,,0,,,,W(r)drW(r)dr,,,,,,2,,00 ,22ˆ其中，。经过化简，可将统计量的极限分离出,,,,,,,,(1)T(),,1,0ss0, 来如下: 121221，，WWWrdr111,,，，，，，，,,,,/,,2,，，，，200ˆT,,，1, ，，11112222，，，，Wrdr[Wrdr]Wrdr[Wrdr],,，，，，，，，，,,,,，，，，0000 (2) ˆˆ此式表明，的极限为两项之和，其中第一项是为独立同分布时uT(),,1T(),,1t的极限分布;第二项是由的自相关性产生的，当独立时，它等于零。说明上uutt式是DF分布的推广。 22ˆ可以证明，统计量T,有以下极限分布: ˆ, ,1220ˆ (3) T,,,ˆ,11222,，，Wrdr[Wrdr],，，，，,,，，00 ,220ˆ与DF的分布式相比，此式多了一个因子，它反映了扰动项自相关程度对T,ˆ,2, ,0的极限分布的影响。当扰动项相互独立时，，从而有=1，,,1,,,0,j,1,2,？0j2,上式就退化为DF的t分布。 22ˆˆ现利用统计量对进行修正，修正式如下: T,T(),,1ˆ, 12222ˆˆ (4) ,,,,,,,T()()(Ts)1,02 22其中为的一致估计，结合(2)和(3)，有 E(u),,st0 121，，WWWrdr111,,，，，，，，,,2,，，102222ˆˆ (5) ,,,,,,,T()()(Ts)1,,011222，，Wrdr[Wrdr],，，，，,,，，00 ˆ可以看出，修正后的统计量与DF检验情形二中的统计量的极限分T(),,1布一致，从而可用相同的临界值表。 类似地，可以考虑统计量的极限分布和修正方法，根据(2)和(3)，有 t ˆˆ,,,,11T，，，， ,,,t2212ˆˆ(T),,ˆˆ,, 12121W1,1,W1Wrdr,,,,，，，，，，,,,,/，，,2,0020,， 1212111122,220，，,,,,，，，，，，,,Wrdr,[Wrdr],,,Wrdr,[Wrdr],,,,0000 (6) 对t统计量修正如下: 2ˆT,,(),,,,00t (7) ,,,2s,, 结合(3)和(6)，有如下极限分布: 121，，2WWWrdr111,,，，，，，，ˆ,,2T,,，，,(),,,0,00 (8) t,,,,121122s,,2，，Wrdr[Wrdr],，，，，,,,,，，00 修正后的统计量与DF检验情形二中的t统计量有相同的极限分布，从而可用相同的临界值表。 但是，修正统计量(4)与(7)不能直接用于检验，因为其中含有未知参数，,、,0必需再对未知参数进行估计。令 12222ˆˆˆˆ (9) ,,,,,,,,ZT()()(Ts)1,,02 2ˆˆ,Tˆ,(),,,0ˆˆ (10) ,,,,Z()t,,t0ˆs2, qT，，j2,1ˆˆˆˆˆˆ其中、，q是残差序列自相关的最大阶数。 ,,Tuu,,,，21,,,,,0jjttj,,,q，1,1jtj,，1，， 可以证明，修正后的统计量的极限分布与(5) 、(8)相同，从而可由(9)Z、Z,t 或 (10)计算统计量的值，然后与DF检验临界值表中情形二的临界值进行比较，以判断序列是否存在单位根。 此外，对于其它情形(情形一、四)，Phillips&Perron证明了，修正统计量 和的极限分布与DF检验中对应情形的极限分布相同，从而可使用DF检Z,Zt 验的临界值表。 综上所述，PP单位根检验法是针对扰动项存在序列相关性而提出的，该方法是对DF单位根检验法的进一步推广，其关键点是，在DF检验统计量的基础上进行修正，由于修正后的统计量与DF检验中的统计量有相同的极限分布，因此可借用DF检验临界值表进行检验。 下面给出PP检验的步骤: (1) 以最小二乘法估计回归模型，得到参数估计和残差序列; (2) 计算残差序列的样本自协方差: T,1ˆˆˆ， j=0,1,2,…. ,,Tuu,jttj,tj,，1 及的估计值: ,,,,(1) q，，j2ˆˆˆ ,,,，21,,,,0j,,q，1,1j，， ˆ其中，q的大小根据实际情况确定。若从某一阶之后(比如从第h阶之后)，对,j2ˆ的贡献可忽略不记，则q取为h。构造该估计量的Newey和West建议q取3, 或4。 122ˆˆˆ(3) 计算参数估计量的差和残差的估计方差。 ,u,su,ˆ,,ttT,2(4) 将上述计算结果代入或统计量的表达式，得到统计量的值，查临ZZ,t 界值并进行比较，然后作出推断。 例 对上节例中的国内生产总值(GDP)序列进行PP检验。 在上一节例中对GDP序列进行DF检验，得到如下回归模型: , ,GDP,190.3837，1.47764t,0.060317GDPtt,1 t,(1.838999)(1.610958)(,1.625296) DW,1.314680 ˆ =0.037111 ,ˆ, DW值偏离2较远，说明残差序列存在相关性。下面用PP检验法进行检验。 ˆ残差序列的前三阶样本自协方差为: ut 11222ˆˆˆˆˆ,,uu; ,,u,34.9775,0.336，34.9775,,11tt,t0TT 1122ˆˆˆˆˆˆ; ,,uu,0.206，34.9775,,uu,0.072，34.9775,,2tt,23tt,3NN 3j，，2ˆˆˆ ,,,，,,,21,j0,,3，1，，,j1 ，，321,,2 1，2，0.336，，0.206，，0.072,34.9775,,,,444,,，， 2 =2136.1009= 46.218 1222ˆ ,su,35.3819,t,N2 代入修正统计量可得: Zt 2ˆˆN,ˆ,(,,),0ˆˆZt ,,,,(),,t0ˆs2, 2246.21834.9775880.037111,，(34.9775/46.218)(1.6253) ,，,,，246.21835.3819， ,,2.1414 给定显著性水平5%，查DF检验临界值表(情形四)，临界值为-3.45。由于 >-3.45，从而接受原假设(即)，表明GDP序列存ZH:,,0H:,,1,,2.141400t 在单位根。 从该例可以看出，进行PP检验时统计量的值较难计算。在实际应用中，Zt 可使用包含有PP检验的计量经济软件。例如Eviews中的PP检验，就可直接输出的值。 Zt 二、ADF (Augmented Dickey—Fuller)检验 ADF (Augmented Dickey—Fuller)检验法由Dickey和Fuller于1979年提出，该方法是对DF检验的推广，所以常称为增广DF检验。其特点是，假设 ,,时间数据序列y是由一个P阶自回归过程AR(P)生成的，然后建立估计模t 型并进行单位根检验。 在介绍ADF检验法之前，先分析P阶自回归过程的特性。 1、P阶自回归过程的特性 服从AR(P)过程: 假设时间序列,,yt y,,y，,y，？，,y，, (11) t1t,12t,2pt,pt其中，为白噪声。利用滞后算子，可将上式表示为: ,t y,,y,,y,？,,y,(B)y,t1t,12t,2pt,pt p2 (12) ,(1,,B,,B,？,,B)y,,ptt12 令 ,,,，,，？，, 12p ,,,(,，？，,);j,1,2,？,p,1 jj，1p 可将滞后多项式分解成: ,(B) 2p ,(B),(1,,B,,B,？,,B)12p 2p,1 (13) ,(1,,B),(,B，,B，？，,B)(1,B)12p,1则(12)式可转化为: p2,1{(1,,B),(,B，,B，？，,B)(1,B)}y,, ,(B)y,ptt12,1t 整理可得: y,,y，,,y，,,y，？，,,y，, (14) tt,11t,12t,2p,1t,p，1t若服从(11)的序列有且只有一个单位根，则其特征方程: 2p1,,z,,z,？,,z,0 12p 有且只有一个值为1的根，从而有: ,(1),1,,,,,？,,,1,,,012p 。因此，对服从(11)的序列的单位根检验，就是检验模型(14)中上式等价于,,1 是否有。 ,,1 将模型(14)与(6.3.1)对比可以发现，模型(14)中多了的p-1个滞后项。如,yt果将这些滞后项归到随机扰动项中，则扰动项就成为序列相关的平稳过程，这 样，在模型(14)中检验单位根，实际上就是对扰动项为一平稳过程的单位根检验。 因为事实上，由(13)式可得特征多项式的如下表示形式: 2p ,(1,,z,,z,？,,z),(z)12p 2p,1 ,(1,,z),(,z，,z，？，,z)(1,z)12p,1当序列有且只有一个单位根时，，从而有 ,,1 2p2p,1 (1,,z,,z,？,,z),(1,,z),(,z，,z，？，,z)(1,z)12p12p,1 2p,1 ,(1,,z,,z,？,,z)(1,z)12p,1使上式左边为零的根中，除了一个根为1外，其余的根全在单位圆之外。这一 结论对于等式右边也成立，因此 2p,1 (1,,z,,z,？,,z),012p,1 的根全在单位圆之外。这样，滞后多项式 2p,1 C(B),1,,B,,B,？,,B12p,1的逆存在，在 为真的情况下，(14)式可写成: ,,1 p2,1(1,,B,,B,？,,B),y,, (15) ptt12,1 进一步可表示为: ,1 (16) ,y,C(B),,,(B),,utttt ,1为一无穷阶的滞后多项式。(16) 式恰好为模型(1)在时的其中，,(B),C(B),,1形式。说明在模型(14)中检验单位根，与PP单位根检验在本质上是相通的。正因如此，基于模型(14)的单位根检验被称为增广DF检验。 2、ADF检验: 与DF检验一样，ADF检验也分为四种情形建立估计模型，并在其中进行单位根检验。 情形一:数据序列由模型(14)生成，并在其中单位根，即。 H:,,10 情形二:数据序列由模型(14)生成，在如下估计模型中检验。 H:,,10 (17) y,,，,y，,,y，,,y，？，,,y，,tt,11t,12t,2p,1t,p，1t 情形三:数据序列由模型(17)生成，在其中检验。 H:,,10 情形四:数据序列由模型(17)生成，在如下估计模型中检验。 H:,,10 (18) y,,，,t，,y，,,y，,,y，？，,,y，,tt,11t,12t,2p,1t,p，1t 首先考察情形二: (1)可以证明，在成立时，对模型(17)进行最小二乘估计，得到的H:,,10 ˆ是的超一致估计，并且有如下极限: ,, 121，，WWWrdr111,,，，，，，，,,2,，，ˆ,(,1)N0 (19) ,11221,,,,,？,,12p,1，，Wrdr[Wrdr],，，，，,,，，00 ˆ可见，此极限分布与DF检验情形二中统计量的极限分布一致，从而可T(),,1 用相同的临界值表。但是，上述统计量中含有未知参数，因此不能直接用于检 ˆ验。现用(j=1,2,…,p-1)的最小二乘估计代替，得修正统计量: ,,,jjj ˆ,,(1)N, (20) ZADFˆˆˆ,,,,,？,,112p,1 该统计量的极限分布与(19)相同。 (2)对于检验的t统计量，可以证明有如下极限分布: H:,,10 121W1,1,W1Wrdr,,，，，，，，,,ˆ,2,1,，，L0t,,,, (21) 1211ˆ,22ˆ,，，,,,,，，Wrdr,[Wrdr],,00 此极限与DF检验情形二中t统计量的极限分布(9)是完全一致的。说明在ADF检验中，不需要对t统计量进行修正，就可直接利用DF检验中的临界值表进行检验。这与PP检验形成鲜明对照。我们知道，在PP检验中，需要对t统计量进行修正。其原因主要是，PP检验中对回归系数的最小二乘估计没有考虑受, ˆ扰动项序列相关性的影响。当扰动项序列相关时，最小二乘估计是的超一致,,估计，但t统计量的极限分布由于受扰动项序列相关性的影响而发生了变化，为了能借用DF检验临界值表，就必须对t统计量进行修正，修正后的统计量(见Zt(10))的极限分布才与DF检验情形二中t统计量的极限分布相同。ADF检验则 ˆˆ不同，在该检验法中，和,是同时估计的，由于增添了的滞后项，随机扰,y,jt 动项不再序列相关，因此在构造t统计量时不需再作修正。 ˆ,(3)可以证明，滞后项的系数估计量有正态的极限分布，从而对参,yjt 数的假设检验可由一般的t统计量和F统计量进行检验，临界值可在一般的t,j 分布和F分布表中查得。 (4)对于联合假设，可用F统计量进行检验。F统计量为 H:,,1,,,00 ~22ˆ(R,R)/2 (22) F,2ˆR/(N,p,1) ~22ˆ其中，为有约束的参差平方和，为无约束的残差平方和，2为假设中受约RR 束的个数，p+1为模型中待估参数的个数。F检验统计量的极限分布存在，但不再是标准的F分布，相应的临界值已由人们用Monte Carlo模拟方法得到并编制成表供查。 此外，Dickey和Fuller还证明了，对于情形一和情形四，检验的H:,,1Z0ADF统计量: ˆ,,(1)N, ZADFˆˆˆ,,,,,？,,112p,1 和t统计量: ˆ,,1，，t, ˆ,ˆ, 都有非常规的极限分布，它们的极限分布与DF检验中对应情形的极限分布完全一致，从而可直接使用DF检验对应情形的临界值表。而对于情形三，t统计量的极限分布为常规的t分布，因此可用常规的t检验，临界值由t分布表查得。 上面我们对ADF检验的相关理论做了简要介绍。在实际应用中，出于理论上和实践上的考虑，常用如下三种回归模型进行ADF检验: k ,y,,y，,,y，, (23) ,,1,ttitit,1i k ,y,,，,y，,,y，, (24) ,,1,ttitit,1i k ,y,,，,t，,y，,,y，, (25) ,,1,ttitit,1i 在模型中引入足够的滞后项，目的在于使残差白化。因此，检验单位根的假,yt,i 设在上述模型中就变为。 H:,,1H:,,000 例5.4.2 对例5.3.1中的国内生产总值(GDP)序列进行ADF检验。 由前面各例的分析可以看出，对GDP进行DF检验，DW值偏离2较远，说明残差序列存在相关性，可采用ADF检验。再从图形上看，数据序列呈现时间趋势，故采用情形四进行ADF检验。回归结果如下: , ,GDP,234.9729，1.892199t,0.078661GDP，0.355794,GDPtt,1t,1 t,(2.383391)(2.152260)(,2.215287)(3.464708) DW,2.085875 DW值非常接近2，说明通过引入的一期滞后项，已消除了扰动项的序列,GDP 相关性。查DF检验情形四的临界值表，在5%的显著性水平上，临界值为-3.46， ，即GDP序列存在单位根。 由于t=-2.215287>-3.46，因此接受原假设H:,,00 3、 单位根检验小结 到目前为止，我们已讨论了检验单位根的一系列方法。这些方法可分为两类:一类是针对扰动项序列不相关的DF单位根检验;另一类是针对扰动项序列相关的PP单位根检验和ADF单位根检验。按照数据序列的真实生成过程与估计模型的不同，每一类检验方法又分为四种不同情形。现将它们综述如下: 表5-4-1 不同情形下的DF单位根检验(扰动项序列不相关) ,t 基本模型 : 检验假设: y,,，,t，,y，,H:,,1tt,1t0 数据生成过程 估计模型 统计量 极限分查DF临界 布 值表 ,ˆ,1情形不带常数项与趋不带常数项与趋非标准 DF临界值 t,ˆ,ˆ,一 势项、 势项、 表 ,,0,,0,,0,,0 情形一 ,ˆ,1情形不带常数项与趋带常数项不带趋非标DF临界值 t,ˆ,ˆ,二 势项、 势项、 准 表 ,,0,,0,,0,,0 情形二 ,ˆ,1情形带常数项不带趋带常数项不带趋t分t分布表 t,ˆ,ˆ,三 势项、 势项、 布 ,,0,,0,,0,,0 ,ˆ,1情形带常数项不带趋带常数项带趋势非标DF临界值 t,ˆ,ˆ,四 势项、 项、 准 表 ,,0,,0,,0,,0 情形四 表5-4-2 不同情形下的PP单位根检验(扰动项序列为平稳过程) ut 基本模型 : 检验假设: y,,，,t，,y，uH:,,1tt,1t0 数据生成过程 估计模型 统计量 极限分布 查临界值表 Z情形不带常数项与趋非标准 DF临界值不带常数项与趋t 一 势项、 势项、表 ,,0,,0,,0 ,,0情形一 Z情形不带常数项与趋非标准 DF临界值带常数项不带趋t 二 势项、 势项、表 ,,0,,0,,0 ,,0情形二 ,ˆ,1情形带常数项不带趋带常数项不带趋t分布 t分布表 t,ˆ,ˆ,三 势项、 势项、,,0,,0,,0 ,,0 Z情形带常数项不带趋非标准 DF临界值带常数项带趋势t 四 势项、 项、 表 ,,0,,0,,0,,0 情形四 2ˆˆN,ˆ,(,,),0ˆˆZt 注: ,,,,(),,t0ˆs2, 表5-4-3 不同情形下的ADF单位根检验(扰动项序列为平稳过程) ut 基本模型 :() 检验假设:y,,，,t，,y，uH:,,1tt,1t0 y,,，,t，,y，,,y，,,y，？，,,y，,tt,11t,12t,2p,1t,p，1t 数据生成过程 估计模型 统计量 极限分查临界值表 布 ,ˆ,1情形不带常数项与不带常数项与趋非标准 DF临界值 t,ˆ,ˆ,一 趋势项、、 表 势项,,0,,0,,0 ,,0情形一 ,ˆ,1情形不带常数项与带常数项不带趋非标DF临界值 t,ˆ,ˆ,二 趋势项、、 准 表 势项,,0,,0,,0 ,,0情形二 ,ˆ,1情形带常数项不带带常数项不带趋t分t分布表 t,ˆ,ˆ,三 趋势项、、 布 势项,,0,,0,,0 ,,0 ,ˆ,1情形带常数项不带带常数项带趋势非标DF临界值 t,ˆ,ˆ,四 趋势项、、 准 表 项,,0,,0,,0 ,,0情形四 参考文献: 1. 趋势性单位根过程的真实模型问题研究 赵春艳 数量经济技术 经济研究 2007 8 2. ADF检验和PP检验的可靠性比较 靳庭良 统计与决策 2007，7