【材料力学课件】小挠度曲线微分方程（可编辑）

【材料力学课件】小挠度曲线微分方程（可编辑） 小挠度曲线微分方程 忽略 剪力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式为: (a) 式(a)明梁轴线上任一点的曲率与该点处横截面上的弯矩成正比，而与该截 面的抗弯刚度成反比。如图7-2所示。 而梁轴线上任一点的曲率与挠曲线方程之间存在下列关系: (b) 将上式代入式(a)，得到 (c) 小挠度条件下，，式(c)可简化为: (d) 在图7-3所示的坐标系中，正弯矩对应着的正值(图7-3a)，负弯矩对应着 的负值(图7-3b)， 故式(d)左边的符号取正值 (7-1) 式(7-1)称为小挠度曲线微分方程，简称小挠度微分方程。显然，小挠度微分 方程仅适 用于线弹性范围内的平面弯曲问题。 用积分法求梁的位移 将式(7-1)分别对x 积分一次和二次，便得到梁的转角方程和挠 度方程: (a) (b) 其中C、D为积分常数，由边界条件和连续条件确定。 对于载荷无突变的情形，梁上的弯矩可以用一个函数来描述，则式(a)和(b)中将仅有两个积分常数，由梁的边界条件(即支座对梁的挠度和转角提供的限制)确定。两种典型的边界条件如图7-4所示。 对于载荷有突变(集中力、集中力偶、分布载荷间断等)的情况，弯矩方程需要分段描述。对式(a)和(b)必须分段积分，每增加一段就多出两个积分常数。由于梁的挠度曲线为一连续光滑曲线，在分段点处，相邻两段的挠度和转角值必须对应相等。于是每增加一段就多提供两个确定积分常数的条件，这就是 连续条件。 【例7-1】 悬臂梁受力如图7-5所示.求梁的转角方程和挠度方程,并确定 最大转角和最大挠度。 【解】首先建立如图所示之坐标系.因为在范围内无载荷突变,故梁全长上的 弯矩方程为 (a) 挠度曲线微分方程为 (b) 将上式积分一次,得 (c) 图7-5 再积分一次,得 (d) 利用约束条件,可确定上述方程中的积分常数C、D。对于固定端截面，其转角和 挠度均为零，即 将其代入方程(c)和(d)，解得 C=0, D=0 于是该梁的转角方程和挠度方程分别为 (e) (f) 挠曲线的形状如图7-5中虚线所示。与均发生在自由端处,由式(e)、(f)求得 即 即 所得的为负值,说明截面B作顺时针方向转动;为负值,说明截面B的挠度向下。 【例7-2】简支梁在左端支座处承受集中力偶 作用,如图7-6所示.求梁的转角方程和挠度方程,并确定和 。 【解】建立坐标系,并写出梁的弯矩方程 可以发现,它与上例中梁的弯矩方程完全相同,因 此在的范围内,梁的挠度曲线微分方程及其积分也必然相同.于是有 (a) 图7-6 (b) 所不同的是,二者的约束条件不同。因而,积分常数与上例也有所区别。 本例中，A、B两处分别为铰支座和辊轴支座，两处的挠度均为零，但截面 的转角不为零。于是有 将其代入(a)、(b)二式，解得 ,, ,,, 于是，得到梁的转角方程和挠度方程分别为 (c) (d) 挠曲线的大致形状如图7-6中的虚线所示. 将和分别代入式(c),便得到A、B两支座处截面的转角分别为 故=,发生在A支座处。 为求最大挠度，可令,由此解得,此即最大挠度截面的位置.将其代入式(d), 求得 而梁跨度中点的挠度为 比较最大挠度和跨中挠度,可以看出,两者的位置相差,而两者挠度值仅相差3%。 故工程中为简化计算，常以跨中挠度代替最大挠度。 比较上面两例中的梁，不难发现，因二者的受力(弯矩)和抗弯刚度都完全相同，故它们的挠曲线形状也相同，但由于约束条件不同，二者挠曲线的最终位 置便不完全相同。这是因为弯矩和抗弯刚度只决定了挠度曲线的形状，而梁的位移还要取决于梁的约束条件。约束条件对挠曲线的影响是通过积分常数体现的。 【例7-3】简支梁AB受力如图7-7所示(图中a b)。求梁的转角方程和挠度方程，并确定挠度的最大值。 【解】梁的支座反力及所选坐标系均示于图中。由于集中力加在两支座之间，弯矩方程在AC、CB两段中互不相同，所以应分段 建立挠度曲线微分方程。 AC段 图7-7 (a) CB段 (b) 将上述(a)、(b)式积分后得 (c) (d) (e) (f) 确定四个积分常数(、、、)需要四个边界条件。在支座A和B处可提供的约束条 件为 (g) 在弹性范围内加载时，梁的挠曲线是一条连续光滑的曲线。因此，在AC和CB 段的分段处，两段的挠度与转角必须对应相等，即 (h) 此即连续条件。将(g)和(h)式代入(c)、(d)、(e)、(f)各式，求得 于是梁AC和CB段的转角和挠度曲线方程分别为 (i) (j) (k) (l) 为求,令(由于假设a b,可以判断出将发生在AC段内),解得 (m) 将值代入式(k)得 由式(m)可以看出,当载荷P无限靠近支座B时,即b时,则 这说明,即使在这种极限情况下,梁最大挠度的所在位置仍与梁的中点非常接近.因此可以近似地用梁中点处的挠度来代替梁的实际最大挠度。以代入式(k),求得 梁中点处的挠度为 以代替所引起的误差不超过3%。 若载荷P作用在跨度中点，即,则有 顺便指出,对式(b)积分时,没将的括号打开,而直接对积分。这样，在利用连续条件时，可以得到， ，使计算过程得以简化。