概率论与数理统计习题一及答案

西南交通大学2017—2018学年第（一）学期《概率论与数理统计B》课程习题答案1概率论与数理统计B习题一答案A1.袋中有10个球，分别编有号码1～10，从中任取1球，设A＝{取得球的号码是偶数}，B＝{取得球的号码是奇数}，C={取得球的号码小于5}，问：下列运算表示什么事件：（1）AB；（2）AB；（3）AC；（4）AC；（5）CA；（6）BC；（7）AC。解：(1)BA是必然事件；(2)AB是不可能事件；(3)AC{取得球的号码是2，4}；(4)AC{取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5)CA{取得球的号码为奇数，且不小于5}{取得球的号码为5，7，9}；(6)CBCB{取得球的号码是不小于5的偶数}{取得球的号码为6，8，10}；(7)CACA{取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}。2.在区间上任取一数，记112Axx，1342Bxx，求下列事件的表达式：（1）AB；（2）AB；（3）AB，（4）AB。解：(1)2341xxBA；(2)BxxxBA21210或2312141xxxx;(3)因为BA，所以BA；(4)223410xxxABA或223121410xxxx或或。3.用事件A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A出现，B，C都不出现；（2）A，B都出现，C不出现；]2,0[西南交通大学2017—2018学年第（一）学期《概率论与数理统计B》课程习题答案2（3）所有三个事件都出现；（4）三个事件中至少有一个出现；（5）三个事件都不出现；（6）不多于一个事件出现；（7）不多于二个事件出现；（8）三个事件中至少有二个出现。解：(1)CBAE1；(2)CABE2；(3)ABCE3；(4)CBAE4；(5)CBAE5；(6)CBACBACBACBAE6；(7)CBAABCE7；(8)BCACABE8。4.一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设表示事件“第次抽到废品”，试用的运算表示下列各个事件：（1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品；（2）只有第一次抽到废品；（3）三次都抽到废品；（4）至少有一次抽到合格品；（5）只有两次抽到废品。解：(1)21AA；(2)321AAA；(3)321AAA；(4)321AAA；(5)321321321AAAAAAAAA。5.接连进行三次射击，设={第i次射击命中}（i＝1，2，3），试用表示下述事件：（1）A={前两次至少有一次击中目标}；（2）B={三次射击恰好命中两次}；（3）C={三次射击至少命中两次}；（4）D={三次射击都未命中}。解：12AAA，321321321AAAAAAAAAB，323121AAAAAAC，123DAAA。6.一个口袋中装有6只球，分别编上号码1～6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：（1）最小号码是3的概率；（2）最大号码是3的概率。解：本题是无放回模式，样本点总数56n：(ⅰ)最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利样本点数为32，所求概率为515632；(ⅱ)最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为22，所求概率为1525622。7.掷两颗骰子，求下列事件的概率：iAiiAiA321,,AAA西南交通大学2017—2018学年第（一）学期《概率论与数理统计B》课程习题答案3（1）点数之和为7；（2）点数之和不超过5；（3）点数之和为偶数。解：分别记题(1)、(2)、(3)的事件为CBA,,,样本点总数26n：(ⅰ)A含样本点)2,5(),5,2(,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)6166)(2AP；(ⅱ)B含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)185610)(2BP；(ⅲ)C含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3),(3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6),一共18个样本点，213618)(CP。8.总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，求下列事件的概率：（1）事件A={其中恰有一位精通英语}；（2）事件B={其中恰有两位精通英语}；（3）事件C={其中有人精通英语}。解：样本点总数为35：(1)53106345!332352312)(AP；(2)103345!33351322)(BP；(3)因BAC，且A与B互斥，因而10910353)()()(BPAPCP。9.已知BA，4.0)(AP，6.0)(BP，求：（1）)(),(BPAP；（2）()PAB；（3）)(ABP；（4）)(),(BAPABP；（5）)(BAP。解：(1)6.04.01)(1)(APAP，4.06.01)(1)(BPBP；(2)6.0)()()()()()()()(BPAPBPAPABPBPAPBAP；(3)4.0)()(APABP；(4)0)()()(PBAPABP,()()1()10.60.4PABPABPAB；西南交通大学2017—2018学年第（一）学期《概率论与数理统计B》课程习题答案4(5)()()0.60.40.2PABPBA。10.设一质点一定落在xOy平面内由x轴，y轴及直线x+y=1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的可能性与这区域的面积成正比，计算这质点落在直线x=的左边的概率。解：记求概率的事件为A，则AS为图中阴影部分，而2/1||，1859521322121||2AS最后由几何概型的概率计算可得952/118/5||||)(ASAP。11.设A，B是两个事件，已知P（A）=0.5，P（B）=0.7，()PAB=0.8，试求：P（A-B）与P（B-A）。解：注意到)()()()(ABPBPAPBAP，因而)()()(BPAPABP)(BAP4.08.07.05.0.于是，)()()()(ABPAPABAPBAP1.04.05.0；3.04.07.0)()()()(ABPBPABBPABP。12.已知随机事件A的概率5.0)(AP，随机事件B的概率6.0)(BP及条件概率8.0)(ABP，试求)(ABP及)(BAP。解：4.08.05.0)|()()(ABPAPABP；)()()(1)(1)()(ABPBPAPBAPBAPBAP3.04.06.05.01。13.某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19。（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？解：记A{基金}，B{股票}，则19.0)(,28.0)(,58.0)(ABPBPAP，(1)()0.19(|)0.327()0.58PABPBAPA；31AS1h11/3Ox图1西南交通大学2017—2018学年第（一）学期《概率论与数理统计B》课程习题答案5(2)678.028.019.0)()()|(BPABPBAP。14.给定5.0)(AP，3.0)(BP，15.0)(ABP，验证下面四个等式：)()(APBAP；)()(APBAP；)()(BPABP；)()(BPABP。解：)(213.015.0)()()|(APBPABPBAP；)(5.07.035.07.015.05.0)(1)()()()()|(APBPABPAPBPBAPBAP；)(3.05.015.0)()()|(BPAPABPABP；)(5.015.05.015.03.0)(1)()()()()|(BPAPABPBPAPBAPABP。15.已知在甲袋中，装有6只红球，4只白球，在乙袋中，装有8只红球，6只白球.求下列事件的概率：（1）随机地取一只袋，再从该袋中随机地取一只球，该球是红球；（2）合并两只口袋，从中随机地取1只球，该球是红球。解：(1)记B{该球是红球}，1A{取自甲袋}，2A{取自乙袋}，已知10/6)|(1ABP，14/8)|(2ABP，所以70411482110621)|()()|()()(2211ABPAPABPAPBP；(2)1272414)(BP。16.发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“*”和“—”.由于通信系统受到干扰，当发出信号“*”时，收报台未必收到信号“*”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“*”和“—”.同样，当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“*”.求：（1）收报台收到信号“*”的概率；（2）当收报台收到信号“*”时，发报台确是发出信号“*”的概率。解：记B{收到信号“*”}，A{发出信号“*”}(1))|()()|()()(ABPAPABPAPBP52.004.048.01.04.08.06.0；(2)131252.08.06.0)()|()()|(BPABPAPBAP。17.设事件A与B相互独立，且pAP)(，qBP)(.求下列事件的概率：(),(),()PABPABPAB。西南交通大学2017—2018学年第（一）学期《概率论与数理统计B》课程习题答案6解：pqqpBPAPBPAPBAP)()()()()(；pqqqpqpBPAPBPAPBAP1)1(1)()()()()(；pqBPAPABPBAP1)()(1)()(。18.设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中.设每个元件不通达的概率为p，求这个装置通达的概率.假定各个元件通达、不通达是相互独立的。解：记A{通达}，iA{元件i通达}，6,5,4,3,2,1i则654321AAAAAAA，所以)()()()(654321AAPAAPAAPAP)()()()(654321652165434321AAAAAAPAAAAPAAAAPAAAAP642)1()1(3)1(3ppp。19.某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：（1）在此时刻所有电梯都在运行的概率；（2）在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率；（3）在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。解：(1)256255)25.0(1)75.01(144；(2)1282741436)25.0()75.0(242222；(3)2568143)75.0(44。20.已知事件A与B相互独立，且91)(BAP，)()(BAPBAP.求：)(),(BPAP。解：因)()(BAPBAP，由独立性有)()()()(BPAPBPAP；从而)()()()()()(BPAPBPBPAPAP导致)()(BPAP；再由9/1)(BAP，有2))(1())(1))((1()()(9/1APBPAPBPAP；56312465123456西南交通大学2017—2018学年第（一）学期《概率论与数理统计B》课程习题答案7所以3/1)(1AP，最后得到()()2/3PBPA。21.三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4，求此密码被译出的概率。解：记A{译出密码}，iA{第i人译出}，1,2,3i，则31231()1()()()10.750.650.610.29250.7075iiPAPAPAPAPA。22.设在三次独立试验中，事件A在每次试验中出现的概率相同.若已知A至少出现一次的概率等于2719，求事件A在每次试验中出现的概率)(AP。解：记iA{A在第i次试验中出现}，1,2,3i，)(APp，依假设332131)1(1)(12719pAAAPAPii，所以278)1(3p，此即3/1p。B1.玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1。一位顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时售货员随意取一箱，顾客开箱随机查看四只，若无次品则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下这箱玻璃杯的概率；（2）顾客买下的这一箱中，确实没有次品的概率。解：设A={顾客买下这箱玻璃杯}，iB={箱子中恰好有i件次品}(0,1,2)i，于是：（1）001122|||PAPBPABPBPABPBPAB44420191844420202041141411210.945101051051019CCCCCC；（2）0000|()0.80|0.85()()0.94PBPABPABPBAPAPA。2.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽取两份。（1）求先抽到的一份是女生表的概率；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。西南交通大学2017—2018学年第（一）学期《概率论与数理统计B》课程习题答案8解：设A={先抽的一份为女生}，B={后抽的一份为男生}，iC={从第i个地区考生报名表中抽取}(1,2,3)i，于是：（1）112233|||PAPCPACPCPACPCPAC3171512910315325390。（2）112233|||PABPCPABCPCPABCPCPABC3717815201201093151432524390，112233|||PBPCPBCPCPBCPCPBC71812016110315325390，20()2090|61()6190PABPABPB。3.将长度为a的线段任意分为三段，求此三线段能构成三角形的概率。解：设三线段长为x，y，axy，有两个因素x，y变化，所以用几何量面积来测度。由题意，有0xa，0ya，0xya，满足此条件的点充满三角形AOB内，而满足构成三角形的点可这样求得：由边的关系，得,(),()xyaxyaxyyxaxyxy即2,2,2.xyaxaya满足上述条件的点充满下图中的阴影域内，所以()1=()4SApS阴影域的面积大三角形的面积西南交通大学2017—2018学年第（一）学期《概率论与数理统计B》课程习题答案94.三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子有3个黑球3个白球，第三个箱子有3个黑球5个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，问（1）这个球是白球的概率；（2）已知取出的球为白球，此球属于第二个箱子的概率。解：设1A，2A，3A分别表示第一个箱子、第二个箱子和第三个箱子，B表示取到白球。（1）这个球是白球的概率为112233()()(|)()(|)()(|)PBPAPBAPAPBAPAPBA11315153536383120；（2）22231()(|)2063(|)=53()53120PAPBAPABPB。5.某制帽厂生产的帽子合格率为0.8，一盒中装有帽子4顶，一个采购员从每一盒中随机地取出两顶帽子进行检验，若两顶帽子都合格，就买下这盒帽子，求每盒帽子被买下的概率。解：设{}B一盒帽子被买下，{}(0,1,2,3,4)iAii一盒帽子中有顶帽子合格。01234,,,,AAAAA构成完备事件组，由题设可知：44()(0.8)(0.2)(0,1,2,3,4)iiiiPACi(|)(0,1)iPBAi224(|)(2,3,4)jiCPBAjC所以，由全概率公式得：44022444224()(|)()(|)()(0.8)(0.2)iiiiiiiiiiiPBPBAPAPBAPACCC6.甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%、35%、40%，次品率分别为0.03、0.02、0.01。现从所有的产品中抽取一个产品，试求（1）该产品是次品的概率；（2）若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少？解：设1A，2A，3A表示甲乙丙三车间加工的产品，B表示此产品是次品。（1）所求事件的概率为112233()()(|)()(|)()(|)PBPAPBAPAPBAPAPBA0.250.030.350.020.40.010.0185；西南交通大学2017—2018学年第（一）学期《概率论与数理统计B》课程习题答案10（2）222()(|)0.350.02(|)=0.38()0.0185PAPBAPABPB。7.设18支枪中有5支未经校正，13支经过校正.某射手用校正过的枪射击时，中靶概率为0.85；二用未经校正的枪射击时，中靶概率为0.25.求：（1）射手随意取一支进行射击能中靶的概率；（2）射手随意取一支进行射击，已经中靶，求所用枪支是校验过的概率。解：（1）A={他射击中靶}，B={所取枪支是校正过的}事件B和B的对立事件构成样本空间的划分，由全概率公式135123()()()()()0.850.251818180PAPBPABPBPAB；（2）130.85()()()18()0.898()()123/180PBPABPABPBAPAPA。8.考卷中一道选择题有4个答案，仅有一个是正确的，设一个学生知道正确答案或不知道而乱猜是等可能的。如果这个学生答对了，求它确实知道正确答案的概率。解：样本空间可以划分为事件A：知道正确答案，A：不知道。以B表示学生答对事件，则AB，P(B∣A)=1，1(|)4PBA。由全概率公式()()(|)()(|)PBPAPBAPAPBA＝1／2×1+1／2×1／4=5／8，故P(A∣B)＝P(AB)／P(B)＝4／5。9.两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02。加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率。解：设A1={取到的零件是第1台车床加工的},A2={取到的零件是第2台车床加工的},B={取到的零件是合格品}，已知313221)A(P,)A(P，第1台车床的合格品率P(B|A1)=1-0.03=0.97,第2台车床的合格品率P(B|A2)=1-0.02=0.98,从而)|()()|()()(2211ABPAPABPAPBP9733.098.03197.032。10.设BA、为两个随机事件，且0PA1，0PB1，|PAB1，求|PBA。解：因为(|)1PAB，()(|)()PABPABPB，所以)()(BPABP，1)(1)(1)(1)()()(1)(1)(1)()()()()|(APAPAPABPBPAPAPBAPAPBAPAPABPABP。西南交通大学2017—2018学年第（一）学期《概率论与数理统计B》课程习题答案11C1.甲乙两艘军舰驶向一个不能同时停泊两艘军舰的码头停泊,它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲的停泊时间为2小时，乙的停泊时间为3小时。求甲乙中的任意一艘都不需等待码头空出的概率。解：设甲在一昼夜到达的时刻为：X,乙在一昼夜到达的时刻为：Y。所求的概率为：{23}PXYYX或，设：{(,):0,24}Gxyxy，则(X,Y)在G上服从均匀分布，222()0.5220.521{23}{,}0.8()24SDPXYYXPXYDSG或。2.为了防止意外，在矿内同时设有两种警报系统A与B，每种系统单独使用时，其有效概率A为0.92，B为0.93，在A失灵条件下，B有效的概率为0.85，求：（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）B失灵条件下，A有效的概率。解：设{}AA报警系统有效，{}BB报警系统有效，所以()0.92PA，()0.93PB，(|)0.85PBA()()()()PABPAPBPAB，()()()()(|)()PABPBPABPBPBAPA，()()()[()(|)()]()(|)[1()]PABPAPBPBPBAPAPAPBAPA，()0.920.85(10.92)0.988PAB。(|)()0.012(|)0.171()0.07PBAPAPABPB，(|)1(|)10.1710.829PABPAB。3.已知某批产品的合格率为0.9。检验员检验时，将合格品误认为次品的概率为0.02，而一个次品被误认为合格的概率为0.05。求：（1）检查任一产品被认为是合格品的概率；（2）被认为合格品的产品确实合格的概率。解：以B记一个产品检查被认为合格的事件，以A记产品确实合格的事件，则A，A构成一个完备事件组，0.9PA，0.1PA，|0.98PBA，|0.05PBA。于是：（1）由全概率公式，一个产品被认为合格的概率为||0.90.980.10.050.887PBPAPBAPAPBA。（2）由贝叶斯公式，被认为合格的产品确实合格的概率为|[()|]()0.90.980.8870.994PABPAPBAPB。4.设甲、乙两袋，甲袋中装有n个白球，m个红球，乙袋中装有N个白球，M个红球，今从甲袋中任取一只放入乙袋，再从乙袋中任取一个球，问取到白球的概率。西南交通大学2017—2018学年第（一）学期《概率论与数理统计B》课程习题答案12解：由题意得球的情况白球红球甲袋nm乙袋NM假设{}A先从甲袋中任取一球为白球，{}B先从甲袋中任取一球为红球，{}C再从乙袋中任取一球为白球，1(1)()(|)()(|)()11(1)()NnNmnNNmPCPCAPAPCBPBNMnmNMnmNMnm。5.甲袋中有3只黑球，7只白球，乙袋中有7只黑球，13只白球，丙袋中有12只黑球，8只白球。先以1:2:2的概率选择甲、乙、丙中的一只袋子，再从选中的袋子中不放回的先后摸出2球，求：（1）先摸到的是黑球的概率；（2）已知后摸到的是白球，先摸到的是黑球的概率。解：设1A、2A、3A分别为选到甲袋、乙袋、丙袋的事件，1{}B先摸到的是黑球，2{}B后摸到的是白球，则（1）先摸到的是黑球的概率：31111327212()(|)()++=0.44510520520iiiPBPBAPA，（2）首先，后摸到的是白球的概率：32211721328()(|)()++=0.56510520520iiiPBPBAPA，31212113727132128()(|)()++=0.2451095201952019iiiPBBPBBAPA，12122()0.24(|)===0.43()0.56PBBPBBPB。