江苏省高中数学知识点大全

数学必修一大全 一．集合 1．集合的示：描述法、列举法 理解集合中元素的意义是解决集合问的关键：元素是关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 如： ①已知集合 ，则 =    ； ② 设集合 则 =        ； 2．子、交、并、补运算： 数形结合是解集合问题常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、韦恩图等工具 如： ③集合 （1）若 ，求实数 的值； （2）若 ，求实数 的取值范围。 3．含 个元素的集合的子集数为 ,真子集数为 4． 注意：讨论的时候不要遗忘了 的情况。  如： ④设 ，若 ，则实数 为： ； 二．函数概念及基本初等函数： 1．函数概念－函数图象－函数性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性） ①求定义域: 使函数解析式有意义(如:分母 ; 偶次根式被开方数非负; 对数真数 ,底数 且 ；  零指数幂的底数 ；实际问题有意义； 如:（2009江西卷文）函数 的定义域为:            ; ②求值域常用方法: （求值域一定要注意函数定义域） （1）利用基本初等函数的值域：如函数 的值域是：                （2）二次函数配方法：如 的值域是______________. （3）利用函数单调性：如函数 在 上的值域是_______________ 的值域为＿＿＿＿。 （4）部分分式法：如 的值域是______________. （5）数形结合:函数 ③求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围）。 如:已知 ，则函数 的解析式为：          ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） 如：已知f(x)为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2 ,则f(x)的解析式为：            ③整体代换（配凑法）。如若 ，则函数 =_________. ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等） 如若函数 满足关系式 ，则 的表达式为________. ⑤已知函数 为奇函数，且 时， ，求 时， 的解析式。 2．函数的奇偶性： ①对于函数 ，其定义域关于原点对称：如果_________，那么函数 为奇函数； 如果______________________________________，那么函数 为偶函数. ②奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称； ③ 为奇函数，且在 有定义，则 ； ④ 为偶函数，则 ⑤奇函数+奇函数=奇函数      偶函数+偶函数=偶函数 ⑥若 是奇、偶函数，必须用定义，而要说明一个函数没有奇偶性，则应用特殊值； ⑦常见函数的奇偶性： 奇函数： 偶函数： （ 为常数）， 特别的， ， 时，函数为偶函数， 时，无奇偶性。 如： ⅰ.如果定义在区间 上的函数 为奇函数，则 =_____； ⅱ.函数 的奇偶性是：          ； ⅲ.若函数 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，那么当 时， =_______ ⅳ.定义在 上的函数 是减函数，且是奇函数， 若 ，则实数 的范围是：      ； ⅴ.若 是奇函数，则             ． 3．)函数的单调性 ①对于给定区间D上的函数 ，如果________                        ，  则称 是区间D上的增（减）函数. ②判断函数单调性的常用方法： （1）定义法：        （2）利用复合函数的单调性： (3)图象法    ③关于函数单调性还有以下一些常见结论： ⅰ.两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差__； ⅱ.奇函数在对称两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性； ④求函数的单调区间应注意： ⅰ.单调区间是定义域的一部分； ⅱ.复合函数单调区间遵循同增异减原则； ⅲ.单调区间不可以写成并集。 ⑤用定义证明函数的单调性，必须化成积的形式； 如: ①若 与 在区间[1,2]上都是减函数，则 的范围是： ②已知 是定义在R上的偶函数，且在 上为增函数， ， 则不等式 的解集为：          ③已知偶函数 在区间 单调增加，则满足 ＜ 的 取值范围是                ④已知 在[0, 1]上是减函数，则实数 的取值范围是＿＿＿＿。 ⑤ 的单调增区间:                    ; ⑥已知函数 若 则实数 的 范围是                ; 4．函数的周期性 ①对于函数 ，如果存在一个非零常数T，使得当 取定义域内的每一个值时，都有 ，则 为周期函数，T为这个函数的周期. 若 ,则 的周期为 若 ,则 的周期为 ② 都是周期函数。 的最小正周期： 的最小正周期： 如：设 是 上的奇函数， ，当 时， ，则 =              。 5．.函数的对称性 ①若 ,则函数图象关于 对称; ②若 ,则函数图象关于点 对称; ③函数 与函数 的图象关于 对称 6．幂函数 一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数。 我们只研究 时的情形。 如: ①设 ，则使函数 的定义域为R且为奇函数的所有 的值为      ；    ②函数 的对称中心是:            . 7．指数函数 函数 称为指数函数. Ⅰ.定义域:R;            Ⅱ.值域: ; Ⅲ.图象恒过点(0,1); Ⅳ. 1时为增函数, 时为减函数; 如: (1) (2)函数 的值域是                    ; 8．对数函数 ①对数式及对数函数 Ⅰ. Ⅱ.对数换底公式 Ⅲ.对数恒等式 ；       ②对数函数:函数 称为对数函数,它与 互为反函数,它们的图象关于 对称. Ⅰ.定义域:                   Ⅱ.值域:R; Ⅲ.图象恒过点(1,0); Ⅳ. 1时为增函数, 时为减函数; 记住:对数式 :当底数与真数都大于1或都在(0,1), 则 ;  否则 ; 如： ①               ； ② ③若 ，则 则这三个数从大到小的顺序是        ． ④已知函数 ,若 的定义域为R,求实数k的取值范围                    9．函数与方程 函数零点存在的判定定理: 如果函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线， 且有 ，那么函数 在区间 内有零点， 注：Ⅰ.上述定理中在 内的零点不唯一; Ⅱ.若函数是单调的,则零点唯一; Ⅲ.定理的逆定理不成立; Ⅳ.对于 ,无法判定 在 内是否有零点. 如： ①函数 的零点所在的大致区间一定是:(  ) A.(6,7)          B.(7,8)        C.(8,9)        D.(9,10) ②关于 的方程 的两个实根 、 满足 ，则实数m的取值范围        ； ③ 设函数 则函数 的零点有________个. 三．三角函数及三角恒等变换 1．任意角的概念： (1)正角、负角、零角：      (2)象限角：      (3)终边相同的角： 与 终边相同角连同 在内构成集合 2．弧度制： (1)角度与弧度的互化公式： ；   (2)扇形的弧长公式：       扇形的面积公式： 如：设扇形的面积为 ，则扇形的圆心角弧度数为      时，周长最小？ 3．任意角的三角函数的定义： 在角 的终边上任取点 ，设 则 ； ； 三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”. 三角函数的定义域： 的定义域：          ； 的定义域：        ； 的定义域：          ； 如： ①若 ，则点 位于第        象限。 ②如图，角 的顶点原点O，始边在y轴的正半轴、终边经过 点 .角 的顶点在原点O，始边在x轴的正半轴， 终边OQ落在第二象限，且 ，则 的值为        ； ③若 是第二象限的角，且 ，则 是第    象限角。    ④已知 ，求值（1） =          ； （2） =                ； ⑤已知 ，且 ．则 =          ； 4．诱导公式:    可用“奇变偶不变，符号看象限”概括； 如： ①已知角 的终边上一点坐标为 ，则角 的最小正角是    ； ②已知 ， =      。 ③已知 的值是      ；    7．三角函数的图象与性质: Ⅰ. 、 、 的图象和性质：   图 象       定义域       值 域 值域： 最大值： ，此时x= 最小值： ，此时x= 值域： 最大值： ，此时x= 最小值： ，此时x= 值域： 周期性 的周期： 的周期： 的周期： 对称性 对称轴： 对称中心： 对称轴： 对称中心： 对称中心： 单调性 增区间： 减区间： 增区间： 减区间： 增区间：         ③三角函数的单调区间问题的通法是：直接观察基本三角函数 、 、 的单调区间，从而得到三角复合函数的单调区间；如果 系数为负，应先化为正的。 ④求函数 在某个给定的区域内的最值问题通用的方法是：根据自变量限定的区域，求出 的整体的取值范围，从而把问题转化成求 的值域问题。 Ⅲ.函数 图象的画法： (1)五点法”――设 ，令 ＝0， 求出相应的 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象； (2)图象变换法：将 图象上点沿 轴向    或向    平移      个单位，得到函数          的图象，再将横坐标伸长（或缩短）到原来的    倍，到函数          图象，最后将纵坐标伸长（或缩短）到原来的    倍，得到 简图. 如: ① 的最小正周期为 ，其中 ，则 =      ． ②函数 ， 的减区间为：          ； ③将函数 的图象先向左平移 ，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为：              ； ④已知函数 ,则 的定义域：              。 ⑤已知函数 （其中 ）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 ，且图象上一个最低点为 . (Ⅰ)求 的解析式；（Ⅱ）当 ，求 的值域.    十一.平面向量 1.与向量概念有关的问题： ①向量：                ；②共线向量（平行向量）：              ；    ③单位向量：                                              ； 与 共线的单位向量为：        ；与 同向的单位向量为：            ； 如：与 平行的单位向量为___    ___ ④零向量：              ；    ⑤相等向量：                      ； ⑥向量的模（向量的长度）：                              。 2.向量的运算： ①向量的加法： 两个法则：三角形法则，首尾相连；      平行四边形法则，共起点。 ②向量的减法： 三角形法则：共起点，指向被减数。 ③向量的数乘： ⅰ：实数 与向量 的积是一个向量； ⅱ：︱ ︱=︱ ︱·︱ ︱； 当 ＞0时， 与 方向相同； 当 ＜0时， 与 方向相反；当 =0时， = ⅲ：若 =（ ），则 · =（ ）． ⅳ：若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的 任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = e1+ e2． 如：①在 中， ， ．若点 满足 ，则       ②在平行四边形 中， 与 交于点 是线段 的中点， 的延长线与 交于点 ．若 ， ，则             ④向量共线定理：向量 与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得 ，即 ∥ = （ ） ⑤一个重要结论：已知A、B、C、P为平面内四点，若A、B、C三点共线，则存在一对实数m、n，使 =m +n ，且m+n=1． 3.平面向量的坐标表示： ①若 ， ， 则 = ， = ②若 ， ，则 ③若 和实数 ，则 ④ ∥ ( )的充要条件是 如：若向量 =(-1,x)与 =(-x, 2)共线且方向相同，则x=      ； 4.向量的数量积： ⅰ：向量的夹角： 已知两个非零向量 与b，作 = , =b,则∠AOB= （ ） 叫做向量 与b的夹角。        共起点。范围：[0，1800] 如：已知 中， 则 =___        _； ⅱ：数量积的定义： · =| || |cos< , >= 如：(09江苏文理2).已知向量 和向量 的夹角为 ， ，则向量 和向量 的数量积 = ___________； ⅲ：数量积的性质及运算律： ① ⊥b ·b=0 （ ，b为非零向量）； ②︱ ︱= ；  ③cos = = ；        如：已知平面向量 的夹角为 ，                                           易错点： ① 。          ② ③若 、 、 是非零向量且 并不能得到 ④故 或 是 =0的充分而不必要条件 5.数量积的应用： ⅰ。求长度： = .        = = = . 如：（2009辽宁卷理）平面向量 与 的夹角为 ， ， 则   ⅱ。求角度： 如：①已知 ，且 与 垂直，则 与 的夹角为_______ ②已知若 和 夹角为钝角,则 的取值范围是： ⅲ。证平行： 两个向量共线的充要条件： (1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= ． (2) 若 =（ ）,b=（ ）则 ∥b ． 如： ① 是不共线的两个向量,已知 若 三点共线,则 值为：        ； ②设向量 ，若向量 与向量 共线， 则   ； ⅳ。证垂直：        x1x2+y1y2=0 如:①若 为 的三个内角 的对边，向量 ．若 ，且 ， 则角 的大小分别为：                6.求两向量的数量积常有三种途径: (1)利用数量积的原始定义;  (2)坐标化    (3)转化为基向量 如:①在平面四边形 中，若 ， 则     . ②如图，在ΔABC中， ， ， ，则 =  　；