幂函数、指数函数与对数函数练习题及解析

幂数、指数函数与对数函数 及解析 一、选择题 1．（2007北京文、理，5分）函数 的反函数的定义域为（  ） A．             B．             C．             D． 答案：B；[解析] 函数 的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为 。 2．（2007山东文、理，5分）给出下列三个等式： ， ． 下列函数中不满足其中任何一个等式的是（  ） A．         B．           C．       D． 答案：B；[解析] 依据指、对数函数的性质可以发现A满足 ，C满足 ，而D满足 ，B不满足其中任何一个等式。 3．（2007全国2理，5分）以下四个数中的最大者是（  ） A．（ln2）2        B．ln（ln2）        C．ln           D．ln2 答案：D；[解析] ∵ ，∴ln（ln2）<0，（ln2）20恒成立，当k=0时，3>0恒成立；当 时，即 时也符合题意。 27．（2008江苏无锡模拟，5分）给出下列四个命题： ①函数 （ 且 ）与函数 （ 且 ）的定义域相同； ②函数 和 的值域相同； ③函数 与 都是奇函数； ④函数 与 在区间 上都是增函数。 其中正确命题的序号是：__________。（把你认为正确的命题序号都填上） 答案：①、③；[解析] 在①中，函数 （ 且 ）与函数 （ 且 ）的定义域都是R，则结论正确；在②中，函数 的值域为R， 的值域为 ，则结论错误；在③中，函数 与 都是奇函数，则结论正确；在④中，函数 在 上是增函数， 在R上是增函数，则结论错误。 28．（2008江苏连云港模拟，5分）直线 （ ）与函数 、 、 、 的图像依次交于A、B、C、D四点，则这四点从上到下的排列次序是________。 答案：D、C、B、A；[解析] 结合四个指数函数各自的图象特征可知这四点从上到下的排列次序是D、C、B、A。 29．（2008宁夏银行模拟理，5分）若关于 的方程 有实根，则实数 的取值范围是________。 答案：{m| }；[解析] 令 ，则有 ，则可转化 得 ，根据题意，由于 有实根，则 ，解得 。 三、解答题 30．（2008海南大联考模拟文、理）已知lgx+lgy=2lg（x－2y），求 的值。 [分析] 考虑到对数式去掉对数符号后，要保证x 0，y 0，x－2y 0这些条件成立。假如x=y，则有x－2y=－x 0，这与对数的定义不符，从而导致多解。 解析：因为lgx+lgy=2lg（x－2y），所以xy=（x－2y）2， 即x2－5xy+4y2=0，所以（x－y）（x－4y）=0，解得x=y或x=4y， 又因为x 0，y 0，x－2y 0，所以x=y不符合条件，应舍去， 所以 =4，即 = =4。 31．（2008宁夏大联考模拟理）根据函数 的图象判断：当实数 为何值时，方程 无解？有一解？有两解？ [分析] 可以充分结合指数函数的图象加以判断．可以把这个问题加以转换，将求方程 的解的个数转化为两个函数 与 的图象交点个数去理解。 解析]：函数 的图象可由指数函数 的图象先向下平移一个单位，然后再作 轴下方的部分关于 轴对称图形，如下图所示， 函数 的图象是与 轴平行的直线， 观察两图象的关系可知： 当 时，两函数图象没有公共点，所以方程 无解； 当 或 时，两函数图象只有一个公共点，所以方程 有一解； 当 时，两函数图象有两个公共点，所以方程 有两解． 32．（2008山东淄博模拟理）已知 是方程xlgx=2008的根， 是方程x·10x=2008的根，求 的值． [分析] 观察此题，易看到题中存在 和 ，从而联想到函数 与 ．而 可以看成 和 交点的横坐标，同样 可看成 和 交点的横坐标，若利用函数 与 的对称性，此题便迎刃而解了． 解析：令 ， ，设其交点坐标为 ， 同样令 ，它与 的交点的横坐标为 ， 由于反比例函数关于直线 对称，则有 和 关于直线 对称， 点 即点 应该在函数 上，所以有 =2008． 33．（2008山东泰安模拟文、理）已知实数a、b、c满足2b=a+c，且满足2lg（b－1）=lg（a+1）+lg（c－1），同时a+b+c=15，求实数a、b、c的值。 [分析] 在解题过程中，遇到求某数的平方根时，一般应求出两个值来，再根据题设条件来决定取舍，如果仅仅取算术平方根，那么往往会出现漏解。 解析： 因为2b=a+c，a+b+c=15，所以3b=15，即b=5， 由于2b=a+c=10，则可设a=5－d，c=5+d， 因为2lg（b－1）=lg（a+1）+lg（c－1）， 所以2lg4=lg（6－d）+lg（4+d），即16=25－（d－1）2，则有（d－1）2=9， 所以d－1= 3，则d=4或d=－2， 所以实数a、b、c的值分别为1，5，9或7，5，3。 34．（2008江苏苏州模拟）已知 。 （1）求 的定义域； （2）判断 的奇偶性； （3）求使 的 的取值范围。 [分析] 根据对数函数的特征，分析相应的定义域问题，同时结合指数函数的特征，综合分析值域与单调性问题，综合反函数、不等式等相关内容，考察相关的不等式问题。 解析： （1） ，即 ，等价于 ，得 ， 所以 的定义域是 ； （2） = = ， 所以 ，即 为奇函数； （3）由 ，得 ， 当 时，有 ，解得 ； 当 时，有 ，解得 ； 故当 时， ；当 时， 。 35．（2008江苏盐城模拟，12分）已知函数 。 （1）求函数 的解析式； （2）求 的值； （3）解方程 。 [分析]通过代换，联立对应的方程组，通过消元达到求解函数解析式的目的，从而求得对应的函数值及方程。 解析：（1）由于 ， 上式中，以 代 可得： ，则有 ， 把 代入 可得： ，解得 ； （2）由（1）得 ，则 ； （3）由（1）得 ，则（2）得 ， 则有 ，即 ， 解得 或 ，所以原方程的解为： 或 。 36．（2008广东广州模拟理，12分）已知函数 （ ）。 （1）求 的定义域、值域； （2）判断 的单调性； （3）解不等式 。 [分析]根据对数函数的特征，分析相应的定义域问题，同时结合指数函数的特征，综合分析值域与单调性问题，综合反函数、不等式等相关内容，考察相关的不等式问题。 解析：（1）要使函数 （ ）有意义，则需要满足 ， 即 ，又 ，解得 ，所以所求函数 的定义域为 ； 又 ，即 ，所以所求函数 的值域为 ； （2）令 ，由于 ，则 在 上是减函数， 又 是增函数，所以函数 在 上是减函数； （3）设 ，则 ，所以 ，即 ， 所以函数 的反函数为 ， 由于 ，得 ， 由于 ，则 ，即 ， 所以 ，解得 ， 而函数 的定义域为 ，故原不等式的解集为 。