常系数高阶线性非齐次微分方程

南阳理工学院 本科生毕业设计（论文） 学    院： 数  理  学  院  专    业： 数学与应用数学  学    生：    王灿灿      指导教师 ：    童姗姗      完成日期:   2014  年  05  月 南阳理工学院本科生毕业设计（论文） 常系数高阶线性非齐次微分方程 的若干类型研究 Certain Types of higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equation 总计：  毕业设计（论文）20页 #格#：  0个 插图：  0幅 南 阳 理 工 学 院 本 科 毕 业 设 计（论文） 常系数高阶线性非齐次微分方程 的若干类型研究 Certain Types of higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equation 学      院：        数理学院      专      业：    数学与应用数学    学 生 姓 名：        王灿灿          学      号：      105100140078        指导教师（职称）：  童姗姗(讲师)    评 阅 教 师：                          完 成 日 期：    2014  年  5  月 南阳理工学院 Nanyang Institute of Technology 常系数高阶线性非齐次微分方程 的若干类型研究 数学与应用数学专业 王灿灿 [摘要] 本文研究了常系数高阶线性非齐次微分方程的求解问题，其关键是先求出相应的齐次微分方程的通解，再求非齐次微分方程的特解。而求特解的常用的待定系数法和常数变易法准备知识过多、演算过繁，给学习使用带来不便。因此，本文对此类微分方程的若干类型采用了新方法：升阶法和微分算子法。这两种方法克服了传统解法的缺点，且适用范围广、运算量小、简单易行，提高了常系数高阶线性非齐次微分方程的解题速度和准确度。 [关键词]常系数高阶线性非齐次微分方程；升阶法；微分算子法 Certain Types of higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equation Mathematic  and  Applied  Mathematics  WANG Can-can Abstract:  This paper studies the problem of solving the non-constant coefficients higher order linear homogeneous differential equation, the key is to find the general solution of the corresponding homogeneous differential equation, and then seek special solution of non-homogeneous differential equation. The Special Solution commonly used method of undetermined coefficients and constants Variation prepare too much knowledge of calculus is too complex, to learn how to use the inconvenience. Therefore, this kind of certain types of differential equations using a new method: ascending order and differential operator method. These two methods to overcome the shortcomings of traditional solution, and the wide scope of application, a small amount of computation is simple, improve the speed and accuracy of solving higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equation. Keywords: Higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equations; ascending order; differential operator method 目录 前言    1 1常系数高阶线性非齐次微分方程的传统解法    2 1.1待定系数法    2 1.2常数变易法    6 2、常系数高阶线性非齐次微分方程若干类型的新解法    9 2.1升阶法    9 2.2微分算子法    13 3、新解法相比传统解法优点    18 结束语    18 参考文献    19 致谢    20 前言 常微分方程已有悠久的历史，继续保持着进一步发展的活力，其主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。牛顿最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程是常微分方程，他以非凡的积分技巧解决了它，从而在理论上证实了地球绕太阳的运动轨道是一个椭圆，澄清了当时关于地球将坠毁于太阳的一种悲观论点。另外，莱布尼兹也经常与牛顿在通信中互相提出求解微分方程的挑战。 嗣后，许多数学家，例如伯努利、欧拉、高斯、拉格朗日和拉普拉斯等，都遵循历史传统，把数学研究结合于当时许多重大的实际力学问题，在这些问题中通常离不开常微分方程的求解问题。海王星的发现是通过对常微分方程的近似计算得到的，这曾是历史上的一段佳话。在上世纪早期，柯西给微积分学注入了严格性的要素，同时他也为微积分的理论奠定了一个基石—解的存在性和唯一性定理。到上世纪末期，庞卡来和李雅普诺夫分别创立了常微分方程的定性理论和稳定性理论，这些工作代表了当时非线性力学的最新方法。 本文研究常系数高阶线性非齐次微分方程的求解问题。对于这类微分方程的求解，关键是先求出相应的齐次微分方程的通解，在其基础上再求非齐次微分方程的特解。通解的求法本文只做初步研究，利用本文所给方法可以求得所有常系数高阶线性非齐次微分方程的通解。 针对在高等数学的其它分支及相关学科中常常出现求解高阶非齐次线性微分方程及一阶非齐次线性微分方程组的问题，将一阶非齐次线性微分方程的常数变易法推广到高阶非齐次线性微分方程、一阶非齐次线性微分方程组，得出了其通解公式，并通过实例进行了验证。利用归并法是把常系数非齐次线性微分方程的非齐次项所列类型归并成一种形式，利用待定系数法很容易求出特解；公式法则是通过变换将二阶常系数非齐次线性微分方程转化为一阶线性方程，从而得出通解公式。这两种方法简单易记，计算方便，适用范围广，而且都可以推广到任意高阶常系数非齐次线性微分方程中去。 对于常系数高阶线性非齐次微分方程的特解的求解方法，一般教科介绍的是待定系数法和常数变易法。这些方法虽然各有千秋，但存在共同的缺点：不是准备知识过多或过程太长，就是演算过繁，给学习、使用带来不便。本文在避免这些弊端的基础上先探索出用升阶法求特解的方法，所谓升阶法即是通过对原方程两边同时多次微分，直至出现常数为止。在微分过程中，函数的阶数升高了。接着为了使得计算量小且计算更加简便，本文进一步探索引入新的符号，这即是本文研究的求特解的第二种方法，用微分算子法求常系数高阶线性非齐次微分方程的特解。此微分算子法进一步解决了计算量的问题。总之，本文研究的两种方法不失为求解高阶线性非齐次微分方程特解的好方法。 1常系数高阶线性非齐次微分方程的传统解法 1.1待定系数法 用待定系数法求解常系数高阶线性非齐次微分方程 （1.1） 其中 或者 。 下面以二阶常系数线性非齐次微分方程为例： (1.2) 根据解的结构定理，其通解为 ，其中 为齐次方程通解， 为非齐次方程的特解。用待定系数法求解非齐次方程的特解： 根据 的特殊形式，给出特解 的待定形式，代入原方程比较两端表达  式以确定待定系数。 （1）当 时，其中λ为实数， 为 次多项式 设特解为 ，其中 为待定多项式，求导： ， ， 代入原方程，得： 若 不是特征方程的根，即 ，则取 为 次待定系数多项式 ,从而得到特解形式为 ； 若 是特征方程的单根，即 ， 则 为 次多项式，故特解形式为 ； 若 是特征方程的重根，即 ， 则 为 次多项式，故特解形式为 ， 对于方程（1.2），当 是特征方程的 重根时，可设特解形式为 （ ） 综上所述，对于非齐次微分方程 其特解为 ， 此结论可推广到常系数高阶线性非齐次微分方程。 例1  求方程 的一个特解。 解  该方程中 ，而特征方程为 , 不是特征方程的根。设所求特解为 代入方程： ， 比较系数，得 ，解得   ， 于是所求特解为: 。 例2  求方程 的通解。 解  该方程中 ，特征方程为 ,其根为 ，对应齐次方程的通解为 。 设非齐次方程特解为: ， 代入方程得： ， 比较系数得 ， 得 ， 因此特解为: 。 所求通解为: 。 （2） 当 时 第一步，利用欧拉公式将 变形为 ， 令 ， 则 。 第二步，求如下两方程的特解： ， 设 是特征方程的 重根 ，则 特解 （ 为 次多项式）， 故 。 等式两边取共轭得： ， 这说明 为方程 的特解。 第三步，求原方程的特解。 对于原方程 ， 利用第二步结果根据叠加原理，原方程有特解：   其中 ， 均为 次多项式 第四步，分析 特点知 本质上为实函数，因此 ， 均为 次实多项式 综上所述：对于非齐次微分方程 ( ， 为常数) 其中， 为特征方程的 重根（ ）则可设特解： 其中，  。此结论可推广到高阶方程线性非齐次微分方程。 例3  求方程 的一个特解。 解  该方程中 ， 特征方程为 ， 由于 不是特征方程的根， 故特解为 ，  代入方程得： ，  比较系数，得   ，    解得 于是求得一个特解： 。 1.2常数变易法 考虑一阶线性非齐次微分方程 （ ）                (2.1) 若 方程（2.1）变为 （2.2） 方程（2.2）称为一阶齐次线性微分方程，是变量分离方程它的通解为 （2.3） 这里的c为任意常数 考虑非齐次线性微分方程（2.1）的通解的求法。设想：在方程（2.3）中将常数c变易为 的待定函数 。 令 (2.4) 微分后得到： (2.5) 把方程（2.4），（2.5）代入（2.1）中，得到： 即 积分后得到 这里 是任意常数，将上式代入（2.3），得到方程（2.1）的通解                                         (2.6) 这种将常数变易为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法，并由此可以推广到高阶齐次线性微分方程。 例1 求方程 的通解，这里是 常数。 解： 将方程改写为 (2.7) 首先，求齐次线性微分方程 的通解，从 得到齐次线性微分方程的通解 其次，用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解。为此，在上式中把 看成 的待定函数 ，即                           （2.8） 微分后得到 （2.9） 把（2.8）和（2.9）代入（2.7）得到 ， 积分后得到 ，  因此原方程的通解为： ， 现在推广到n阶常系数非齐次线性微分方程           （2.10） 待定系数法只适用于方程（2.10）中 为 的情况，用常数变易法求方程（2.10）的特解时虽不受 的形式的限制，但需要先求出方程（2.10）所对应的齐次方程                   （2.11） 的通解： ， 还需要求解关于未知函数 的变系数 元线性方程组         （2.12） 然后再通过积分求出 。 2、常系数高阶线性非齐次微分方程若干类型的新解法 2.1升阶法 考虑n 阶常系数非齐次线性方程 （1）  方程（1）的通解等于其对应的齐次方程              （2） 的通解与它本身的一个特解之和。而方程（2）的通解, 只要能求得（2）对应的特征方程的特征根, 则（2）的通解问题就解决了。因此, 求得（1）的一个特解就成为求微分方程（1）的通解的关键了。 一般常微分方程教材或参考书, 对于 的不同类型, 分别采用降阶法、待定系数法、常数变易法、拉普拉斯变换法、算子法等方法求得其特解。下面通过例子再介绍一种新的方法即升阶法, 用升阶法来求方程（1）的特解。 下面我们先只考虑方程（1）为二阶方程                         (3) 的情形, 类似的方法与结果完全可以推广到n 阶微分方程(1)上去。 （1）当 为多项式时，设 此时，方程（3）两边同时对 求导 次，得 显然，方程（3）的解存在，且满足上述各方程。最后一个方程的一个明显解（不妨设 时的情况类似）是： 此时 由 与 通过倒数第二个方程可得 ，依次往上推，一直推到（3），即可得到方程（3）的一个特解 。上面这种方法称为升阶法。 下面通过例子来说明，升阶法比待定系数法与常数变易法更为简单。 例1  求微分方程               (4) 的一个特解。 解  方程（4）两边同时对 求导，得                                     (5) 方程（5）两边同时再对 求导，得 令 得 ， 将其带入方程（5），得 ； 再将其带入方程（4），得 因此方程（4）的一个特解为 例2 求微分方程 (6) 的一个特解。 解  方程（6）两边同时对 求导，得                                           (7) 方程（7）两边同时对 求导，得 令 得 , 将其带入（7），得 ；再将其带入（6），得      因此方程（6）的一个特解为 （2）当 时， 令 , 则 带入方程（3），经整理得 这样问题（2）就转化成（1）的形式。从这里可以看出，升阶法不需要讨论λ是否为特征方程的特征根的问题，因此求解问题得以简单化，下面举例说明。 例3  求微分方程                   (8) 的一个特解。 解    令 ,则方程（8）可变为                                     (9) 利用方法（1），类似例1可以求得（9）的特解为 因此方程（8）的一个特解为 （3）当 为正弦函数或者余弦函数时我们首先将其转化为负指数的形式，然后按照（2）的方法进行求解 例4  求微分方程 (10) 的一个特解。 解    首先求下面微分方程的特解                     (11) 令 , 则利用方法（2），类似例3可以求得 。 因此方程（11）的特解为 , 从而方程（10）的一个特解为 。 （4）当 为多项式、指数函数、正弦函数或余弦函数的某种组合是，这时可根据迭加原理进行求解。 例5 求微分方程               (12) 的一个特解。 解  方程（12）的右端由两项组成，根据迭加原理，可先分别求下列两个方程：                   (13)                     (14) 的特解，这两个特解之和就是原方程（12）的一个特解。 由方法（1），可以求得方程（13）的特解为: 由方法（2），可以求得方程（14）的特解为: 因此，方程（12）的一个特解为: 2.2微分算子法 对于常系数高阶线性非齐次微分方程               (15) 只要求出其对应的齐次方程的通解 加上自身一个特解 。相对应的齐次方程的通解易求，微分算子法求解特解简单易用、计算量小，下面根据例子详细说明微分算子法以及其求解的特点和好处。 （1）引入算子： 设以记号 表示求导运算，定义： 于是有： 则（15）式变为： 设以记号F(D)表示算子多项式，定义： 于是有 ,也即是有： 注意:其中 表示微分算子， 表示积分。 （2）用微分算子求特解： 性质：若 是 次多项式， 具有 阶倒数，则有： (1) (2) (3) (4) 以下就该性质及（15）式中 取一些特殊类型的函数，对应的特解 用微分算子法求出： 1  时： 1.1 时，则： 1.2 且 也即 是 重根。 则: 例1  求微分方程 的一个特解。 解  因为 于是非齐次方程的一个特解为： 例2 求微分方程 其中 为实数的一个特解。 解  由特征方程： 的特征值为： ，对应的齐次方程的通解为： , 非齐次方程的一个特解为 为： 故非齐次方程的通解为： 2 时： 2.1 时，则: 2.2 也即 是 重根时，则 例3 求解微分方程 的一个特解。 解  非齐次方程的一个特解 为： 例4  求微分方程 的一个特解。 解  因为 ， 于是非齐次方程的一个特解为： 3 时 3.1 时,则 其中 为1除以按升幂排列的 的商式，其最高次数取到 的次数 3.2  ，且0是 的r重根  , , 时，则： 其中 为1除以按升幂排列的 的商式，最高次数取到 的次数 。 例5  求解微分方程 的一个特解。 解  非齐次方程的一个特解 3、新解法相比传统解法优点 一般教材和参考资料介绍的待定系数法和常数变易法，这两种方法虽然在教学等过程中比较实用，但是这两种方法存在共同的缺点就是运用着两种方法求解常系数高阶非其次微分方程特解需要准备知识过多、过程太长，还有就是这两种方法演算相对比较复杂繁琐，给学习使用带来严重的不便。 然而本课题所涉及升阶法和微分算子法恰恰是克服了准备知识过多演算复杂的缺点。升阶法就是通过对原方程两边同时多次微分直至出现常数为止，在微分过程中，函数的阶数升高了为了计算更加简便进一步探索出微分算子法，进一步解决计算量的问题。 通过上述各种解法及相关例题可以看出：常数变易法虽然对 的形式未作要求，但需要大量的积分运算，并且计算量比较大；另外一方面，当 的形式比较复杂时候，可能无法通过初等运算求出原函数，这将大大缩小了该方法的使用范围。而微分算子法同时克服了传统解法的缺点，具有使用范围广、计算量小、准确度高、简单易行的优点，在求解过程中发挥着巨大的作用。 结束语 利用待定系数法、常数变易法、升阶法、微分算子法等都可以求解常系数高阶线性非齐次微分方程的特解问题，通过本课题上述四种方法的论述还有例子都可以看出，微分算子法，升阶法相对于待定系数法来说，具有计算简单，记忆方便的特点，进而深化了工科教学以及实践应用中微分方程的理论和方法，因此探索出常系数高阶线性非齐次微分方程的特解问题的新解法是很有意义及价值的。 参考文献 [1]王黎辉，高阶常系数线性微分方程的另一解法[J] .哈尔滨师范大学自然科学学报,2005,21(5):16—20. 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