线性代数试题及答案

形为 . 三、计算题 25.设A= ，B= .求（1）ABT；（2）|4A|. 解（1）ABT= = . （2）|4A|=43|A|=64|A|，而 |A|= . 所以|4A|=64·（-2）=-128 26.试计算行列式 . 解  = = 27.设矩阵A= ，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B. 解  AB=A+2B即（A-2E）B=A，而 （A-2E）-1= 所以  B=(A-2E)-1A= = 28.给定向量组α1= ，α2= ，α3= ，α4= . 试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。 解一  所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）. 解二  考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3， 即  方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）. 29.设矩阵A= . 求：（1）秩（A）； （2）A的列向量组的一个最大线性无关组。 解  对矩阵A施行初等行变换 A =B. （1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3. （2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。 （A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是） 30.设矩阵A= 的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D. 解  A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为 ξ1=（2，-1，0）T，  ξ2=（2，0，1）T. 经正交化，得η1= ，η2= . λ=-8的一个特征向量为 ξ3= ，经单位化得η3= 所求正交矩阵为  T= . 对角矩阵  D= （也可取T= .） 31.试用配方法化下列二次型为标准形 f(x1,x2,x3)= ， 并写出所用的满秩线性变换。 解  f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32 =（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32. 设 ，  即 ， 因其系数矩阵C= 可逆，故此线性变换满秩。 经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形 y12-2y22-5y32 . 四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2. 证  由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E， 所以E-A可逆，且 （E-A）-1= E+A+A2 . 33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 （1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解； （2）η0，η1，η2线性无关。 证  由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0. （1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b， 所以η1，η2是Ax=b的2个解。 （2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0， 即  （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0. 则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0. 又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而  l0=0 . 所以η0，η1，η2线性无关。 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若 ，则 _____5 _____。 2．若齐次线性方程组 只有零解，则 应满足 。  3．已知矩阵 ，满足 ，则 与 分别是 阶矩阵。 4．矩阵 的行向量组线性相关。 5． 阶方阵 满足 ，则 。 二、判断正误 1. 若行列式 中每个元素都大于零，则 。（× ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（  √ ）    3. 向量组 中，如果 与 对应的分量成比例，则向量组 线性相关。（√） 4. ，则 。（√） 5. 若 为可逆矩阵 的特征值，则 的特征值为 。 (×  ) 三、单项选择题 1. 设 为 阶矩阵，且 ，则 （③  ）。 ①     ②            ③           ④ 4 2. 维向量组 （3 s n）线性无关的充要条件是（③  ）。 ① 中任意两个向量都线性无关 ② 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ 中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ 中不含零向量 3. 下列命题中正确的是(③ )。                                    ①  任意 个 维向量线性相关 ②  任意 个 维向量线性无关 ③  任意 个 维向量线性相关 ④  任意 个 维向量线性无关 4. 设 ， 均为n 阶方阵，下面结论正确的是(②)。 ① 若 ， 均可逆，则 可逆                  ② 若 ， 均可逆，则 可逆 ③ 若 可逆，则 可逆                    ④ 若 可逆，则 ， 均可逆 5. 若 是线性方程组 的基础解系，则 是 的（① ） ① 解向量        ② 基础解系        ③ 通解          ④ A的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 。 解· 2. 设 ，且   求 。 解.         ， 3. 设   且矩阵 满足关系式 求 。 4. 问 取何值时，下列向量组线性相关？ 。 当 或 时，向量组 线性相关。 5. 为何值时，线性方程组 有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。 ① 当 且 时，方程组有唯一解； ②当 时方程组无解 ③当 时，有无穷多组解，通解为 6. 设 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 则 ，其中 构成极大无关组， 7. 设 ，求 的特征值及对应的特征向量。 特征值 ，对于λ1＝1， ，特征向量为 五、证明题 (7分) 若 是 阶方阵，且 证明 。其中 为单位矩阵。 ∴ ，        ∵ 一、选择题 1、设 ， 为n阶方阵，满足等式 ，则必有（C ）