2018年高中数学人教A版必修5第2章数列 2.2.1习题含解析

人教版2018-2019学年高中数学必修5习题 2.2　等差数列 第1课时　等差数列 课时过关·能力提升 基础巩固 1在等差数列{an}中,a1a3=8,a2=3,则公差d等于 (　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.-1 C.±1 D.±2 解析:由题 解得d=±1. :C 2在等差数列{an}中,a2=-5,a6=a4+6,则a1等于 (　　). A.-9 B.-8 C.-7 D.-4 解析:设公差为d,由等差数列的通项公式,得 a2=a1+d=-5, ① a6=a1+5d,a4=a1+3d. ∵a6=a4+6,∴a1+5d=a1+3d+6. ② 联立①②解得a1=-8. 答案:B 3已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为 (　　). A.2 B.3 C.-2 D.-3 解析:a1=3-2×1=1,a2=3-2×2=-1, 故公差d=a2-a1=-1-1=-2. 答案:C 4等差数列0, A. C. 解析:依题意,得数列的公差d= 所以数列的通项公式为an=0 故an+1= 答案:A 5若a≠b,则等差数列a,x1,x2,b的公差为　　　　　.(用a,b示)  解析:该等差数列的首项为a,第4项为b.设公差为d,则b=a+(4-1)d,d 答案: 6在数列{an}中,a1=2,2an+1-2an=1,则a101的值为　　　　　.  解析:∵2an+1-2an=1, ∴an+1-an ∴数列{an}是以2为首项,. ∴an=2 ∴a101 答案:52 7等差数列1,-3,-7,…的通项公式为　　　　　,a20=　　　　　.  解析:∵d=-3-1=-4,a1=1, ∴an=1-4(n-1)=-4n+5. ∴a20=-80+5=-75. 答案:an=-4n+5　-75 8已知在数列{an}中,a1=1,a2≥2),则an=　　　　　.  解析: ∴数,公差d ∴an 答案: 9在等差数列{an}中, (1)若a5=-1,a8=2,求首项a1与公差d; (2)若a1+a6=12,a4=7,求a9. 解(1)由题意 解 (2) ∴an=1+2(n-1)=2n-1. ∴a9=2×9-1=17. 10已知数列{an}的通项公式是an=7n+2,求证:数列{lg an}是等差数列. 转化为证明lgan+1-lgan是一个与n无关的常数. 证明设bn=lgan=lg7n+2=(n+2)lg7, 则bn+1=[(n+1)+2]lg7=(n+3)lg7, 则bn+1-bn=(n+3)lg7-(n+2)lg7=lg7为常数. 所以数列{bn}是等差数列, 即数列{lgan}是等差数列. 能力提升 1若log32,log3(2x-1),log3(2x+11)成等差数列,则x的值为(　　). A.7或-3 B.log37 C.log27 D.4 解析:∵log3(2x+11)-log3(2x-1)=log3(2x-1)-log32, 22x-4·2x-21=0, 解得2x=7或2x=-3(舍去), ∴x=log27. 答案:C 2已知数列{an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d等于(　　). A.-2 B. C 解析:由题意, 解得d= 答案:B 3在等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则b15等于 (　　). A.30 B.45 C.90 D.186 解析:设数列{an}的公差为d, 解 ∴an=3+3(n-1)=3n,bn=a2n=6n, ∴b15=6×15=90. 答案:C 4在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值为(　　). A.24 B.22 C.20 D.-8 解析:设公差为d,∵a1+3a8+a15=120, ∴a1+3(a1+7d)+a1+14d=120, ∴5a8=120.∴a8=24. ∴2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24. 答案:A 5已知数列{an}是等差数列,且an=an2+n,则实数a=　　　　　.  解析:∵{an}是等差数列, ∴an+1-an=常数. ∴[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1=常数. ∴2a=0,∴a=0. 答案:0 ★6已知数列{an}满 解析: ∴数4的等差数列. ∵an>0, ∴an 答案: 7夏季高山上的温度从山脚起,每升高100 m,降低0.7 ℃.已知山顶处的温度是14.8 ℃,山脚处的温度为26 ℃,问此山顶相对于山脚处的高度是多少米? 解因为每升高100m温度降低0.7℃, 所以该处温度的变化是一个等差数列问题. 山脚温度为首项a1=26,山顶温度为末项an=14.8, 所以26+(n-1)×(-0.7)=14.8.解得n=17. 故此山顶相对于山脚处的高度为(17-1)×100=1600(m). ★8已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数. (1)当a2=-1时,求λ及a3的值; (2)是否存在实数λ,使数列{an}为等差数列?若存在,求出λ及数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由. 解(1)因为an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),且a1=1, 所以当a2=-1时,得-1=2-λ.故λ=3. 从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3. (2)数列{an}不可能为等差数列.证明如下: 由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an, 得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ), a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ). 若存在λ,使{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1, 即(5-λ)(2-λ)=1-λ. 解得λ=3.于是a2-a1=1-λ=-2, a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24. 这与{an}为等差数列矛盾. 所以不存在λ,使数列{an}是等差数列. 1