微分积分公式大全
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高等数学微分和积分数学公式(集锦)
(精心总结)
一、
0
01
0 1
1
0 1
lim 0
n n
n
m mx
m
a n m
b
a x a x a n m
b x b x b
n m
−
−→∞
⎧ =⎪⎪+ + + ⎪= ⎨+ + + ⎪
⎪⎪⎩
"
" (系数不为 0 的情况)
二、重要公式(1)
0
sinlim 1
x
x
x→
= (2) ( )1
0
lim 1 x
x
x e→ + = ...
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高等数学微分和积分数学公式(集锦)
(精心
)
一、
0
01
0 1
1
0 1
lim 0
n n
n
m mx
m
a n m
b
a x a x a n m
b x b x b
n m
−
−→∞
⎧ =⎪⎪+ + + ⎪= ⎨+ + + ⎪
<
∞ >⎪⎪⎩
"
" (系数不为 0 的情况)
二、重要公式(1)
0
sinlim 1
x
x
x→
= (2) ( )1
0
lim 1 x
x
x e→ + = (3)lim ( ) 1nn a a o→∞ > =
(4) lim 1n
n
n→∞ = (5) lim arctan 2x x
π
→∞ = (6) lim tan 2x arc x
π
→−∞ = −
lim arccot 0
x
x→∞ = (8) lim arc cotx x π→−∞ = (7) (9)
(10) (11)
lim 0x
x
e→−∞ =
lim x
x
e→+∞ = ∞ 0lim 1
x
x
x+→ =
下列常用等价无穷小关系( 0x→ ) 三、
2
11 cos
2
x x− ∼sin x x∼ arcsin x x∼ tan x x∼ arctan x x∼
( )ln 1 x x+ ∼ 1∼ 1 ln a− ∼ ( )1 1xe x− xa x x x∂+ − ∂∼
、导数的四则运算法则 四
( )u v u v′ ′ ′± = ± ( )uv u v uv′ ′ ′= + 2u u v uv v
′ v′ ′−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
五、基本导数公式
⑵⑴ ( ) 0c ′ = 1x xμ μμ −= ⑶ ( )sin cosx x′ =
⑷ ( sin)cos x= − ⑸ ( 2ec′ tan s)′ = x ⑹ ( ) 2x x cot cscx x′ = −
⑺ ( ) ansec sec tx x′ = ⋅ csc cotx ⑻ (csc ) x x′ = − ⋅ x
( ) 1ln x
x
′ = ⑼ ( )x xe e′ = ⑾ ⑽ ( ) lnx xa a a′ =
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⑿ ( ) 1log lnxa x a ⒀ (′ = ) 21
1arcsin x
x
( )
2
1arcco′ = ⒁− 1xs x
′ = − −
( ) 1
2
x
x
′ =⒂ ( ) 21arctan 1x x′ = + ⒃ ( ) 2
1arc cot
1
x
x
′ = − + ⒄( )x ′ =1 ⒅
高阶导数的运算法
1)
六、 则
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )n n nu x v x u x v x± = ±⎡ ⎤⎣ ⎦ (2) ( ) ( ) ( ) ( )n ncu x cu x=⎡ ⎤⎣ ⎦ (
( ) ( ) ( ) ( )n nnu ax b a u ax b+ = +⎡ ⎤⎣ ⎦( )3 ⎦ ∑
本初等函数的 n 阶导数公式
1)
(4) ⎣ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
0
nn n kk k
n
k
u x v x c u x v x−
=
⋅ =⎡ ⎤
七、基
( )( ) !nnx n= (2) ( )( )nax b n ax be a e+ += ⋅ (3) ( )( ) lnnx xa a= ( n a
(4) ( ) ( )sin sin
2
n nax b a ax b n π⎛ ⎞+ = + + ⋅⎡ ⎤ ⎜⎣ ⎦ ⎟ ⎝ ⎠
(5) ( ) ( )cos cos
2
n nax b a ax b n π⎛ ⎞+ = + + ⋅⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠
(6)
( ) ( ) ( ) 1
1 !1
n n
n
n
a n
ax b ax b +
⋅⎛ ⎞ = −⎜⎝ ⎠⎟+ + (7) ( )
( ) ( ) ( )( )
1 1 !ln 1
n
n n
n
a n
ax b
ax b
− ⋅ −+ = −⎡ ⎤⎣ ⎦ +
八、微分公式与微分运算法则
⑵ ⑶( ) 0d c = ( ) 1d x x dxμ μμ −= ( )sin cosd x xd= x
x ⑹
⑴
⑷ ( )cos sind x xdx= − ⑸ ( ) 2tan secd x xd= ( ) 2cot cscd x xd= − x
⑺ x ⑻( )sec sec tand x x xd= ⋅ ( )csc csc cotd x x xd= − ⋅ x
⑼ ⑽ ⑾( )x xd e e dx= ( ) lnx xd a a adx= ( ) 1lnd x dxx=
( ) 1log lnxad dx⑿ x a= ⒀ ( ) 21arcsin 1d x dx= − ⒁ ( ) 2
1arccos
1
d x
x
= − − x dx
⒂ ( ) 21arctan 1d x dxx= + ⒃ ( ) 2
1arccot
1
d x dx
x
= − +
九、微分运算法则
⑴ ⑵( )d u v du dv± = ± ( )d cu cdu=
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( )d uv vdu udv= + ⑷ 2u vdu udvd v v
−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⑶
十、基本积分公式
⑴ ⑵kdx kx c= +∫ 1xx dx μ 1 c
μ
μ
+
lndx x c
x
= +∫ = + ⑶+∫
ln
x
x aa dx c
a
= +∫⑷ ⑸ x xe dx e c= +∫ ⑹ ∫ cos sinxdx x c= +
⑻ 22
1 sec tan
cos
dx xdx x c
x
= = +∫ ∫ ⑺ sin cosxdx x c= − +∫
⑼ 2 cot2
1 csc
sin
xdx x 2
1 arctan
1
dx x c
x
= ++∫cx = =∫ ∫ ⑽− +
2
1 arcsin x⑾
1
dx c
x
= +−∫
、下列常用凑微分公
积分型 换元公式
十一 式
u ax b= + ( ) ( ) (1 )f ax b dx f ax b d ax
a
+ = +∫ b+∫
( ) ( ) ( )1 1f x x dx f x d xμ μ μμ− =∫ ∫ μ u xμ=
( ) ( ) ( )1ln ln lnf x dx f x d x
x
⋅ =∫ ∫ lnu x=
( ) ( ) ( )x x xf e e∫ xdx f e d⋅ = ∫ e xu e=
( ) ( ) ( )1lnx x x xf a a dx f a d aa⋅ =∫ ∫ xu a=
( ) ( ) ( )sin cos sin sinf x xdx f x d⋅ =∫ ∫ x sinu x=
( ) ( ) ( )cos sin cos cosf x xdx f x d⋅ = −∫ ∫ x cosu x=
( ) ( ) ( )2tan sec tan tanf x xdx f x d⋅ =∫ ∫ x tanu x=
( ) ( ) ( )2cot csc cot cotf x xdx f x d⋅ =∫ ∫ x cotu x=
( ) ( ) ( )21arctan arc n arc n1f x dx f ta x d ta xx⋅ =+∫ ∫ arctanu x=
( ) ( ) ( )
2
1arcsin arcsin arcsin
1
f x dx f x d
x
⋅ =−∫ ∫ x arcsinu x=
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十二、补充下面几个积分公式
tan ln cosxdx x c= − +∫ cot ln sinxdx x c= +∫
sec ln sec tanxdx x x c= +∫ + csc ln csc cotxdx x x c= − +∫
2 2
1 1 arctan xdx c
a x a a
= ++∫ 2 21 1 ln2 x adx cx a a x a−= +− +∫
2 2
1 arcsin xdx c
aa x
= +−∫ 2 22 2
1 lndx x x a c
x a
= + ± +±∫
十三、分部积分法公式
⑴形如 n axx e dx∫ ,令 nu x= , axdv e dx=
sinnx xdx∫ nx , sindv xdx= 令 =u形如
cosnx xdx∫ cosdv xdx= 令 ,nu x=形如
arctannx xdx∫⑵形如 ,令 ,
形如
arctanu x= ndv x dx=
lnnx xdx∫ ,令 ,
形如 ∫ , ∫ x x均可。
的三角换元公式
lnu x= ndv x dx=
⑶ xdx令 axu e=sinaxe xdx cosaxe ,sin ,cos
十四、第二换元积分法中
2 2a x+ (1) 2a s2x− inx a t= tanx a t= (3) 2 2x a− secx a t= (2)
【特殊角的三角函数值】
(1) (2)sin 0 0= 1sin
6 2
π = (3) 3sin
3 2
π = (4)sin 1
2
π = ) (5)sin 0π =
(2) 3cos
6 2
π = (1)cos0 1= (3) 1cos
3 2
π = (4)cos 0
2
π = ) (5)cos 1π = −
(1) (2)tan 0 0= 3tan
6 3
π = (3)tan 3
3
π = (4)tan
2
π 不存在 (5)tan 0π =
3cot
3 3
π =(1)cot 0不存在 (2)cot 3
6
π = (3) (4) cot 0
2
π = (5) cotπ 不存
在
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十五、三角函数公式
1.两角和公式
sin( ) sin cos cos sinA B A B A+ = + B sin( ) sin cos cos sinA B A B A B− = −
cos( ) cos cos sin sinA B A B A+ = − B cos( ) cos cos sin sinA B A B A B− = +
tan tantan( )
1 tan tan
A BBA
A B
++ = −
ta tan) ntan(
1 tan tan
A B−A B− =
A B+
cot cot 1cot( )
cot cot
A BA B
B
cot cot 1cot( )
A
⋅ −+ = + cot cot
A BA B ⋅
B A
+− = −
.二倍角公式
2
n 2 2sin cosA A A=si 2 2 2 2cos 2 cos sin 1 2sin 2cos 1A A A A A= − = − = −
2
2 tatan 2 n
1 tan
AA
A
= −
3.半角公式
1 cossin
2 2
A A−= 1 coscos
2 2
A A+=
1 cos sintan
2 1 cos 1 cos
A A A
A
1 cos sincot
2 1 cos 1 co
A A A
A
−= =+ + A s A
+= =− −
4.和差化积公式
sin sin 2sin cos
2 2
⋅ a b a ba b + −+ = sin sin 2cos sin
2 2
a b a ba b + −− = ⋅
cos cos 2cos cos
2 2
a b a ba b + −+ = ⋅ cos cos 2sin sin
2 2
a b a ba b + −− = − ⋅
( )sintan tan
cos cos
a b
a b
a b
++ = ⋅
5.积化和差公式
( ) ( )1sin sin cos cos
2
a b a b a b= − + − −⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( )1cos cos cos cos2a b a b a b= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦
( ) ( )a b− 1sin cos sin sin
2
a b a b= + +⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( )1cos sin sin sin2a b a b a b= + − −⎡ ⎤⎣ ⎦
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6.万能公式
2
2 tan
2sin
1 tan
2
a
a a= +
2
2
1 tan
2cos
1 tan
2
a
a a
−
2
2 tan
2tan
1 tan
2
a
a a= −
=
+
7.平方关系
2 2sin cos 1x x+ = 2 2sec n 1x ta x− = 2 2csc cot 1x x− =
.倒数关系 8
tan cot 1x x⋅ = sec cos 1x x⋅ = c sin 1cs x x⋅ =
9.商数关系
sintan
cos
xx
x
= coscot
sin
xx
x
=
十六、几种常见的微分方程
.可分离变量的微分方程: ( ) ( )dy f x g y
dx
= , ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 0f x g y dx f x g y dy+ =1
2.齐次微分方程: dy yf
dx x
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
一阶线性非齐次微分方程: ( ) ( )dy p x y Q x
dx
+ =3. 解为:
( ) ( ) ( )p x dx p x dxy e Q x e dx c− ⎡ ⎤∫ ∫= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫
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