第二章-晶体学基本理论

. 晶体学基本理论 .1 晶体结构与空间点阵 .2 晶系 .3 常见的晶体结构 .4 晶面与晶向 .5 晶带、晶面间距、晶面夹角计算 .6 晶体的对称性 .7 倒易点阵 2.1 晶体结构与空间点阵 晶体(crystal) 原子或原子团在三维空间呈规则的周期性排列所构成的固体 It is solid.The arrangement of atoms in the crystal is periodic。 空间点阵（Lattice） 空间点阵（Lattice:） 用于描述晶体中原子（离子或分子）排列规律的空间格架称为空间点阵，简称点阵或晶格 特征：用许多平行的直线将各结点连接起来，构成一个三维的空间格架，每个结点的周围环境都相同 1、结点（阵点）：将构成晶体的实际质点（原子、离子、分子或原子团）忽略而抽象成为纯粹的几何点 2、行列：结点在直线上的排列，相当于晶体上的晶棱或晶向。 3、面网：结点在平书面上的排列，相当于晶体的镜面。 4、单位点阵：空间点阵的最小重复单元，相当于晶体结构中的单位晶胞。 5、点阵参数或晶体常数 构成空间点阵的要素： 空间点阵（Lattice） 单位晶胞（Unit Cell） ： 从晶格（点阵）中选取一个能够完全反映晶格特征的最小的几何单元 晶胞参数 Unit Cell Dimensions（晶格常数） 晶胞大小和形状用晶胞的棱边长a、b 、c 及夹角 α, β and γ 示 晶胞、晶轴和点阵矢量 点阵矢量： 点阵常数：a, b, c 棱边夹角, ,  , , , 晶体结构（Crystal Structure） 晶体中原子的具体排列方式 布拉菲点阵: 按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，布拉菲（Bravais A）用推导出能够反映空间点阵全部特征的单位平面六面体只有14种 这14种空间点阵称----布拉菲点阵 2.2 晶系 2.2 晶系 空间点阵分为：14种类型 分属七大晶系 底心单斜 简单三斜 简单单斜 三斜晶系Triclinic 单斜晶系Monoclinic 底心正交 简单正交 面心正交 体心正交 正交晶系Orthorhombic 简单菱方 简单六方 简单四方 体心四方 六方晶系Hexagonal 菱方晶系Trigonal 四方晶系Tetragonal 简单立方 体心立方 面心立方 立方晶系Cubic 14种布拉菲点阵的归纳 根据阵胞中阵点位置的不同，将14种布拉菲点阵分成4类： 简单点阵（P）：每个阵胞中只有一个阵点（结点），阵胞顶点的坐标 底心点阵（C）：除8个顶点上有阵点外，两个相对面上还有阵点，阵点坐标 ， 14种布拉菲点阵的归纳 体心点阵（I）：除8个顶点上有阵点外，体心上还有一个阵点，阵点坐标 ， 面心点阵（F）：除8个顶点上有阵点外，每个面心上还有一个阵点， 阵点坐标 ， 强调：晶体结构和空间点阵的区别 空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和晶体结构的周期性和对称性，由于各阵点的周围环境相同，它只能有14中类型 晶体结构是晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，实际存在的晶体结构是无限的 2.3 常见的晶体结构 最常见的金属晶体结构有三种：体心立方结构、面心立方结构、密排六方结构 体心立方结构： 属于体心立方点阵 例如：铬、钾、钨、钼、铌、α-铁等 体心立方结构 2.3 常见的晶体结构 面心立方结构： 属于面心立方点阵 例如：银、铝、铜、金、镍、γ-铁等 面心立方结构 2.3 常见的晶体结构 密排六方结构： 由两个简单六方点阵相互穿插而成 例如：镉、镁、锌等 密排六方结构 金红石的晶体结构 金红石的晶体结构 四方晶系：简单四方点阵 晶面：由一系列原子组成的平面，可以用晶面指数表示（hkl） 晶向：晶体中任意两个原子连线所指的方向，用晶向指数表示[uvw]。 晶面符号:描述晶面或一族互相平行面网在空间位置的符号(hkl)。也称密勒符号 晶面指数：整数hkl，亦称为密勒指数。 2.4 晶面与晶向 晶向：晶格中各格点连线所代表的方向为晶向，晶体中原子在任何方向所组成的直线。 晶面: 通过各格点的平面代表了晶体中的基元平面称为晶面。晶体中原子在任何方位所组成的平面。 晶面指数: 表示晶面在晶体中方位的符号。 晶向指数：表示晶向在晶体中方向的符号 2.4 晶面与晶向 当泛指某一晶面指数时一般用（hkl）代表，如果晶面与某坐标轴的负方向相交时，则在相应的指数上加一负号表示 1） 在一组互相平行的晶面中任选一个晶面，量出它在三个坐标轴上的截距并用点阵周期a、b、c为单位来度量； 2）  写出三个截距的倒数； 3）  将三个倒数分别乘以分母的最小公倍数，把它们化为简单整数即为该组平行晶面的晶面指数。 晶面指数的确定方法 2.4 晶面与晶向 晶面指数的确定 1．PBEQ面：在三坐标轴上的截距分别是1/2，1，∞； 截距倒数分别是：2，1，0；化为最小整数后的晶面指数（210） 2．AGE面： 截距1，1，1； 倒数1，1，1 ，晶面指数（111） 3．DBEG面：截距1，1，∞； 倒数 1，1，0，晶面指数（110） 4．DCFG面：截距1，∞，∞；倒数1，0，0， 晶面指数（100） 注意：晶面指数，并非仅指一晶格中的某一个晶面，而是泛指该晶格中所有那些与其相平行的位向相同的晶面。 在一种晶格中，如果某些晶面，虽然它们的位向不同，但原子排列相同。 如(100)、(010)及(001)等，这时若不必要予以区别，可把这些晶面统用晶面族{100}表示。 即：（hkl)这类符号系指某一确定位向的晶面指数； 而晶面族{hkl}则可指所有那些位向不同、而原子排列相同的晶面指数。 晶面族 同一晶体点阵中，若干组晶面可以通过一定的对称变换重复出现，它们的面间距和晶面上结点分布完全相同 这些空间位向性质完全相同的晶面属于同族等同晶面，用{hkl}表示 例如：立方晶系中 晶向指数的确定 ⑴ 通过坐标原点引一直线，使其平行于所求的晶向； ⑵ 求出该直线上任意一点的三个坐标值； ⑶ 将三个坐标值按比例化为最小整数，加一方括号，即为所求的晶面指数，其一般形式[uvw]。 晶向指数的确定 如：AB的晶向指数：过O作一平行 直线OP, 其上任一点的坐标（110）， 这样所求AB的晶向指数即为[110]； OB：本身过原点不必作平行线，其上任一点的坐标（111），其晶向指数[111]； OC：其上任一点C的坐标（100），其晶相指数[100]。 同理：OD晶向指数[010],OA为[001]。 　 [100]代表方向相同的一组晶向, 而晶向族<100>则代表方向不同但原子排列相同的晶向，是具有等同性能的晶向归并而成。 晶向族 晶向族：原子排列相同但空间位向不同的所有晶向，用＜uvw＞表示 如：立方晶系中 2.4 晶面与晶向 小练习： 试标定[110] 晶向和(111)、(100)、(011)晶面 注意：某一晶面指数代表一组相互平行的晶面。所有相互平行的晶面具有相同的晶面指数 同样，当两个晶面指数的数字和顺序完全相同而符号相反，两晶面平行 2.5 晶带、晶面间距、晶面夹角计算公式 晶面夹角：两个晶面（h1k1l1）与（h2k2l2）法线之间的夹角 立方晶系 晶面间距（Interplanar crystal spacing） 两相邻平行晶面间的垂直距离 —晶面间距，用dhkl表示 从原点作（h k l）晶面的法线，则法线被最近的（h k l） 面所交截的距离即是dhkl 晶面间距 晶面间距的特点 由晶面指数求面间距dhkl 低指数的面间距较大,高指数的晶面间距则较小 晶面间距愈大，该晶面上的原子排列愈密集； 晶面间距愈小，该晶面上的原子排列愈稀疏 晶带（Crystal zone） 所有相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成一个“晶带”,此直线称为晶带轴（crystal zone axis） 所有的这些晶面都称为共带面 晶带轴[u v w]与该晶带的晶面（h k l）之间存在以下关系: hu ＋ kv ＋ lw＝0 —晶带定律 凡满足此关系的晶面都属于以[u v w]为晶带轴的晶带 2.7 倒易点阵 (Reciprocal Space） 倒易点阵： 在晶体点阵的基础上按照一定的对应关系建立起来的空间几何图形。 晶体中的倒易变换 倒易点阵:由晶体点阵（正点阵、真点阵）经过一定的转化而构成的，倒易点阵本身是一种几何构图，倒易点阵方法是一种数学方法。倒易点阵是晶体学中极为重要的概念之一，它不仅可以简化晶体学中的某些计算问题，而且还可以形象地解释晶体的衍射几何。 倒易点阵是由许多阵点构成的虚点阵。 倒易点阵的空间称为倒易空间，其中每一个结点和原来晶体点阵中各个相应的晶面有倒易关系。 从数学上讲，所谓倒易点阵就是由正点阵派生的一种几何图象－－点阵。正点阵是直接从晶体结构中抽象出来的，而倒易点阵是与正点阵一一对应的，是用数学方法由正点阵演算出的。 晶体中的倒易变换 从物理上讲，正点阵与晶体结构相关，描述的是晶体中物质的分布规律，是物质空间，或正空间，倒易点阵与晶体的衍射现象相关，它描述的是衍射强度的分布。 1921年厄瓦尔德（Ewald P.P.）将倒易点阵方法引入衍射领域，后来伯纳尔（Bernal J.D.）又用它来解释周转晶体法中X射线衍射花样。现在倒易点阵方法已成为一种解释各种衍射问题非常有用的工具。 2.7.1 倒易点阵定义 倒易点阵： 是用 a*. b*和c*基矢量描述的三维空间，与a.b.c描述的正空间互为倒易 倒易点阵满足 a*b=a*c=b*a=b*c=c*.a=c*.b=0---(1) a*a = b*b = c*.c =1--- (2) 2.7.1 倒易点阵定义 则由a*、b*、c*绘制的点阵称为以a 、b、 c绘制的正点阵的倒易点阵 由（1）式知： a*同时垂直b、c所构成的平面 b*同时垂直a、c所构成的平面 c*同时垂直b、a 所构成的平面 a* a b c  P O a* 与正点阵的关系 2.7.1 倒易点阵定义 如图：OP为a 在a* 方向上的投影，同时是b、 c所构成的(100)晶面的面间距d100 则：OP=acosφ=d100 a* a b c  P O 2.7.1 倒易点阵定义 若φ为a*与a之间的夹角， ψ为b*与b之间的夹角，ω为c*与c 之间的夹角 由（２）式改写成其标量形式为： 为倒易点阵基矢量的长度 2.7.1 倒易点阵定义 在直角坐标晶系（立方、正方、斜方）中： 2.7.1 倒易点阵定义 正点阵和倒易点阵的阵胞体积也互为倒易关系 倒易空间点阵中的阵点－－－倒易结点 2.7.2 倒易点阵的性质 倒易矢量：由原点O*指向任意一个倒易结点所连接的矢量 gHKL gHKL= H a* +K b* +L c* Ｈ、Ｋ、Ｌ为整数 (1) 倒易矢量的方向垂直正点阵的HKL面，或平行于晶面的法线 (2) 倒易矢量的长度=正点阵HKL面间距的倒数 gHKL =1/ dHKL 晶体点阵经过倒易变换建立相应的倒易点阵 晶体中的晶面与其对应倒易点阵结点的关系 o* 立方晶系倒易点阵示意图 立方晶系倒易点阵 100 110 010 001 011 021 020 120 121 101 102 （uvw)0* （uvw)1* a* b* c* 倒易结点的指数用它所代表的晶面的面指数表示 2.7.2 倒易点阵的性质 则正点阵中的晶面在倒易点阵中可以用一个倒易结点表示 2.7.3 倒易点阵的几何意义 正点阵中的一组平行晶面（ＨＫＬ）相当于倒易点阵中的一个倒易点，它至倒易原点的距离为该组晶面间距的倒数。 晶带定律 若某晶带轴的晶向指数为[uvw]，晶带中某晶面指数为（hkl） 则（hkl）的倒易矢量g必定垂直于[uvw] 晶带轴矢量=ua+vb+wc ghkl= ha*+ kb*+ lc* 小结 晶体的基本概念 1．晶体结构: 晶体中原子（离子或分子）在空间的具体排列。 2．阵点（结点）: 把原子（离子或分子）抽象为规则排列于空间的几何点，称为阵点或结点。 3．点阵: 在空间的排列方式称为空间点阵（简称点阵）。 4．晶面: 点阵中的结点所构成的平面。 5．晶向: 点阵中的结点所组成的直线。 图1-2 晶体结构 小结 晶体的基本概念 6．晶格：把点阵中的结点假想用一系列平行直线连接起来构成空间格子称为晶格。 7．晶胞：构成晶格的最基本单元。 由于晶体中原子排列的规律性，可以用晶胞来描述其排列特征。 8．晶格常数：晶胞的棱边长度a、b、c和棱间夹角α、β、γ是衡量晶胞大小和形状的六个参数，其中a、b、c称为晶格常数或点阵常数。 其大小用A来表示（1A=10-8cm） 若a=b=c，α=β=γ=90°这种晶胞就称为简单立方晶胞。具有简单立方晶胞的晶格叫做简单立方晶格。 晶胞