流体力学第二版课后习题答案

第一章习题 选择题（单选题） 1.1 按连续介质的概念，流体质点是指：（d） （a）流体的分子；（b）流体内的固体颗粒；（c）几何的点；（d）几何尺寸同流动空间 相比是极小量，又含有大量分子的微元体。 1.2 作用于流体的质量力包括：（c） （a）压力；（b）摩擦阻力；（c）重力；（d）表面张力。 1.3 单位质量力的国际单位是：（d） （a）N；（b）Pa；（c） kgN / ；（d） 2/ sm 。 1.4 与牛顿内摩擦定律直接有关的因素是：（b） （a）剪应力和压强；（b）剪应力和剪应变率；（c）剪应力和剪应变；（d）剪应力和流 速。 1.5 水的动力黏度μ随温度的升高：（b） （a）增大；（b）减小；（c）不变；（d）不定。 1.6 流体运动黏度 的国际单位是：（a） （a） 2/ sm ；（b） 2/mN ；（c） mkg / ；（d） 2/msN  。 1.7 无黏性流体的特征是：（c） （a）黏度是常数；（b）不可压缩；（c）无黏性；（d）符合 RTp  。 1.8 当水的压强增加 1个大气压时，水的密度增大约为：（a） （a）1/20000；（b）1/10000；（c）1/4000；（d）1/2000。 1.9 水的密度为 1000 3kg/m ，2L水的质量和重量是多少？ 解： 1000 0.002 2m V    （kg） 2 9.807 19.614G mg    （N） 答：2L水的质量是 2kg，重量是 19.614N。 1.10 体积为 0.5 3m 的油料，重量为 4410N，试求该油料的密度是多少？ 解： 4410 9.807 899.3580.5 m G g V V     （kg/m 3） 答：该油料的密度是 899.358kg/m3。 1.11某液体的动力黏度为 0.005 Pa s ，其密度为 850 3/kg m ，试求其运动黏度。 解： 60.005 5.882 10850       （m2/s） 答：其运动黏度为 65.882 10 m2/s。 1.12 有一底面积为 60cm×40cm的平板，质量为 5Kg，沿一与水平面成 20°角的斜面下滑， 平面与斜面之间的油层厚度为 0.6mm，若下滑速度 0.84 /m s，求油的动力黏度  。 U G G T F s 0.6mm 20° 解：平板受力如图。 G T N U s 沿 s轴投影，有： sin 20 0G T   sin 20UT A G      ∴ 3 2sin 20 5 9.807 sin 20 0.6 10 5.0 100.6 0.4 0.84 G U A                （ kgm s ） 答：油的动力黏度 25.0 10   kgm s 。 1.13 为了进行绝缘处理，将导线从充满绝缘涂料的模具中间拉过。已知导线直径为 0.8mm； 涂料的黏度 =0.02 Pa s ，模具的直径为 0.9mm，长度为 20mm，导线的牵拉速度为 50 /m s，试求所需牵拉力。 20mm U U τ τ 00 5m m 解：   50 10000.02 200.9 0.8 2 U       （kN/m 2） 3 30.8 10 20 10 20 1.01T d l              （N） 答：所需牵拉力为1.01N。 1.14 一圆锥体绕其中心轴作等角速度旋转 =16 /rad s ，锥体与固定壁面间的距离  =1mm，用  =0.1 Pa s 的润滑油充满间隙，锥底半径 R=0.3m，高 H=0.5m。求作用 于圆锥体的阻力矩。 H R δ ω 解：选择坐标如图，在 z处半径为 r的微元力矩为 dM 。 z x yo θ 3 2 22 2 cos r rdz r H RdM dA r dzr H              其中 r zR H ∴ 2 2 3 3 3 0 2H H R RM z dzH H      3 2 2 2 R H R     3 2 2 3 0.1 16 0.3 0.5 0.32 1 10         39.568 （N m ） 答：作用于圆锥体的阻力矩为39.568 N m 。 1.15 活塞加压，缸体内液体的压强为 0.1Mpa时，体积为 1000 3cm ，压强为 10Mpa时， 体积为 995 3cm ，试求液体的体积弹性模量。 解：   610 0.1 10 9.9p     （Mpa）   6 6995 1000 10 5 10V         （m3） 6 9 6 6 9.9 10 1.98 105 10 1000 10 pK V V             （pa） 答：液体的体积弹性模量 91.98 10K   pa。 1.16 图示为压力表校正器，器内充满压缩系数为 k =4.75×10-10 Nm /2 的液压油，由手轮 丝杠推进活塞加压，已知活塞直径为 1cm，丝杠螺距为 2mm，加压前油的体积为 200mL，为使油压达到 20Mpa，手轮要摇多少转？ d 解：∵ V VK p    ∴ 10 6 6 64.75 10 200 10 20 10 1.9 10V KV p                 （m3） 设手轮摇动圈数为 n，则有 24n d l V           6 22 2 3 4 1.9 104 12.10 1 10 2 10 Vn d l               圈 即要摇动 12圈以上。 答：手轮要摇 12转以上。 1.17 图示为一水暖系统，为了防止水温升高时，体积膨胀将水管胀裂，在系统顶部设一膨 胀水箱。若系统内水的总体积为 8 3m ，加温前后温差为 50℃，在其温度范围内水的 膨胀系数 V =0.00051/℃。求膨胀水箱的最小容积。 散热器 锅炉 解：∵ V V V T   ∴ 0.00051 8 50 0.204VV V T       （m3） 答：膨胀水箱的最小容积0.204m3。 1.18 钢贮罐内装满 10℃的水，密封加热到 75℃，在加热增压的温度和压强范围内，水的 热膨胀系数 V =4.1×10-4/℃，体积弹性模量 k =2×109 2/mN ，罐体坚固，假设容积 不变，试估算加热后罐壁承受的压强。 解：∵ V V V T   ∴自由膨胀下有： V V TV     又∵ pK V V    ∴  4 94.1 10 2 10 75 10 53.3VVp K K TV                （Mpa） 加热后，钢罐内的压强为 0 53.3p p p    Mpa。设 0 0p  （表压强）。 答：加热后罐壁承受的压强是53.3Mpa。 1.19 汽车上路时，轮胎内空气的温度为 20℃，绝对压强为 395kPa，行驶后轮胎内空气的 的温度上升到 50℃，试求这时的压强。 解：设满足理想气体方程，则有： 1 2 2395273 20 273 50 V p VpV RT     假设 1 2V V ，可解得 2 323 395 435.4293p p    （kPa） 答：这时的压强为 435.4 kPa。 第二章习题答案 选择题（单选题） 2.1 静止流体中存在：（a） （a）压应力；（b）压应力和拉应力；（c）压应力和剪应力；（d）压应力、拉应力和剪 应力。 2.2 相对压强的起算基准是：（c） （a）绝对真空；（b）1个大气压；（c）当地大气压；（d）液面压强。 2.3 金属压力表的读值是：（b） （a）绝对压强；（b）相对压强；（c）绝对压强加当地大气压；（d）相对压强加当地大 气压。 2.4 某点的真空度为 65000Pa，当地大气压为 0.1MPa,该点的绝对压强为：（d） （a）65000Pa；（b）55000Pa；（c）35000Pa；（d）165000Pa。 2.5 绝对压强 absp 与相对压强 p、真空度 Vp 、当地大气压 ap 之间的关系是：（c） （a） absp = p + Vp ；（b） p = absp + ap ；（c） Vp = ap - absp ；（d） p = Vp + Vp 。 2.6 在密闭容器上装有 U形水银测压计，其中 1、2、3点位于同一水平面上，其压强关系 为：（c） 3 2 1 水 汞 （a） 1p > 2p > 3p ；（b） 1p = 2p = 3p ；（c） 1p < 2p < 3p ；（d） 2p < 1p < 3p 。 2.7 用 U形水银压差计测量水管内 A、B两点的压强差，水银面高差 hp=10cm, Ap - Bp 为： （b） A B h p （a）13.33kPa；（b）12.35kPa；（c）9.8kPa；（d）6.4kPa。 2.8 露天水池，水深 5 m处的相对压强为：（b） （a）5kPa；（b）49kPa；（c）147kPa；（d）205kPa。 2.9 垂直放置的矩形平板挡水，水深 3m，静水总压力 P的作用点到水面的距离 Dy 为：（c） y D 3m （a）1.25m；（b）1.5m；（c）2m；（d）2.5m。 2.10 圆形水桶，顶部及底部用环箍紧，桶内盛满液体，顶箍与底箍所受张力之比为：（a） （a）1/2；（b）1.0；（c）2；（d）3。 2.11 在液体中潜体所受浮力的大小：（b） （a）与潜体的密度成正比；（b）与液体的密度成正比；（c）与潜体淹没的深度成正比； （d）与液体表面的压强成反比。 2.12 正常成人的血压是收缩压 100~120mmHg，舒张压 60~90mmHg，用国际单位制表示是 多少 Pa? 解：∵ 1mm 3101.325 10 133.3760   Pa ∴收缩压：100 120 mmHg 13.33 kPa 16.00 kPa 舒张压：60 90 mmHg 8.00 kPa 12.00 kPa 答：用国际单位制表示收缩压： 100 120 mmHg 13.33 kPa 16.00 kPa；舒张压： 60 90 mmHg 8.00 kPa 12.00 kPa。 2.13 密闭容器，测压管液面高于容器内液面h =1.8m，液体的密度为 850kg/m3，求液面压 强。 p0 h 解： 0 850 9.807 1.8a ap p gh p      相对压强为：15.00kPa。 绝对压强为：116.33kPa。 答：液面相对压强为15.00kPa，绝对压强为116.33 kPa。 2.14 密闭容器，压力表的示值为 4900N/m2，压力表中心比 A点高 0.4m，A点在水下 1.5m，， 求水面压强。 p0 A 1.5m 0.4m 解： 0 1.1ap p p g   4900 1.1 1000 9.807ap     5.888ap  （kPa） 相对压强为： 5.888 kPa。 绝对压强为：95.437 kPa。 答：水面相对压强为 5.888 kPa，绝对压强为95.437 kPa。 2.15 水箱形状如图所示，底部有 4个支座，试求水箱底面上总压力和 4个支座的支座反力， 并讨论总压力和支座反力不相等的原因。 1m 1m 3m 3m 3m 1m 解：（1）总压力： 4 3 3 353.052ZP A p g      （kN） （2）支反力：  1 1 1 3 3 3R W W W W g         总 水 箱 箱 9807 28 274.596W   箱 kN W 箱 不同之原因：总压力位底面水压力与面积的乘积，为压力体 g 。而支座反力与水体 重量及箱体重力相平衡，而水体重量为水的实际体积 g 。 答：水箱底面上总压力是353.052kN，4个支座的支座反力是 274.596 kN。 2.16 盛满水的容器，顶口装有活塞 A，直径 d =0.4m，容器底的直径D =1.0m，高h =1.8m， 如活塞上加力 2520N（包括活塞自重），求容器底的压强和总压力。 D d G A h 解：（1）容器底的压强： 2 2520 9807 1.8 37.706 4 D Ap p gh d        （kPa）（相对压强） （2）容器底的总压力： 2 2 31 37.706 10 29.6144 4D D DP Ap D p          （kN） 答：容器底的压强为37.706kPa，总压力为 29.614 kN。 2.17 用多管水银测压计测压，图中标高的单位为 m，试求水面的压强 0p 。 水Δ3.0p0 水 Δ1.4 Δ 2.5 Δ 1.2 Δ 2.3 汞 解：  0 4 3.0 1.4p p g      5 2.5 1.4 3.0 1.4Hgp g g             2.3 1.2 2.5 1.2 2.5 1.4 3.0 1.4a Hg Hgp g g g g               2.3 2.5 1.2 1.4 2.5 3.0 1.2 1.4a Hgp g g             2.3 2.5 1.2 1.4 13.6 2.5 3.0 1.2 1.4ap g g             265.00ap  （kPa） 答：水面的压强 0p 265.00 kPa。 2.18 盛有水的密闭容器，水面压强为 0p ，当容器自由下落时，求水中压强分部规律。 p0 g 解：选择坐标系， z轴铅垂朝上。 由欧拉运动方程： 1 0z pf z   其中 0zf g g    ∴ 0pz   ， 0p  即水中压强分布 0p p 答：水中压强分部规律为 0p p 。 2.19 圆柱形容器的半径R =15cm，高H =50cm，盛水深 h =30cm，若容器以等角速度绕 z轴旋转，试求最大为多少时不致使水从容器中溢出。 h H ω D z 解：建立随圆柱容器一起转动的坐标系oxyz，o点在水面最低点。 则有： 0x pf x   0y pf y   0z pf z   即有： x y zf dx f dy f dz dp     其中： zf g  ； 2 2cosxf r x    ； 2 2sinyf r y    故有：  2 2dp x dx y dy gdz      2 2 20 2p p gz x y     2 2 0 2p p gz r    当在自由面时， 0p p ，∴自由面满足 2 2 0 2z rg  ∴  0 0 0p p g z z p gh      上式说明，对任意点    , , ,x y z r z 的压强，依然等于自由面压强 0p g 水深 。 ∴等压面为旋转、相互平行的抛物面。 答：最大为 18.67rad/s时不致使水从容器中溢出。 2.20 装满油的圆柱形容器，直径D =80cm，油的密度  =801 3/mkg ，顶盖中心点装有真 空表，表的读值为 4900Pa，试求：（1）容器静止时，作用于顶盖上总压力的大小和 方向；（2）容器以角速度 =20 sr / 旋转时，真空表的读值不变，作用于顶盖上总压 力的大小和方向。 ω D ρ油 解：（1）∵ 4.9v ap p p   kPa ∴相对压强 4.9ap p p    kPa 2 24.9 4.9 0.8 2.464 4 DP pA            （kN） 负号说明顶盖所受作用力指向下。 （2）当 20  r/s时，压强分布满足  2 2 20 2p p gz x y    坐顶中心为坐标原点，∴    , , 0,0,0x y z  时， 0 4.9p   kPa  2 2 20 2A AP pdA p gz x y dA          2 22 2 0 0 0 2 D p r d rdr          2 2 2 40 0 2 2 8 D p r r      2 2 40 4 64 p D D    2 2 40.8 20 8014.9 0.84 64 1000         3.98 （kN） 总压力指向上方。 答：（1）容器静止时，作用于顶盖上总压力的大小为 2.46 kN，方向向下；（2）容器以角速 度 =20 sr / 旋转时，真空表的读值不变，作用于顶盖上总压力为3.98 kN，方向指向 上方。 2.21 绘制题图中 AB面上的压强分布图。 A B h1 h2 A B h2 h1 h A B 解： A B ρgh1 ρgh1 ρgh1 ρgh2 A B ρg(h2-h1) ρg(h2-h1) A B ρgh 2.22 河水深H =12m，沉箱高 h =1.8m，试求：（1）使河床处不漏水，向工作室 A送压缩 空气的压强是多少？（2）画出垂直壁 BC上的压强分布图。 A B C H h 解：（1）当 A室内 C处的压强大于等于水压时，不会发生漏水现象。 ∴ 12 117.684Cp p g    kPa （2）BC压强分布图为： B C 17.653 0 答：使河床处不漏水，向工作室 A送压缩空气的压强是117.684kPa。 2.23 输水管道试压时，压力表的读值为 8.5at，管道直径 d =1m，试求作用在管端法兰堵头 上的静水总压力。 d 解： 2 28.5 98.07 1000 1 654.74 4P p A D p            （kN） 答：作用在管端法兰堵头上的静水总压力为654.7 kN。 2.24 矩形平板闸门 AB，一侧挡水，已知长 l =2m，宽b =1m，形心点水深 ch =2m，倾角  = 45 ，闸门上缘 A处设有转轴，忽略闸门自重及门轴摩擦力，试求开启闸门所需 拉力T 。 l b α B A T h c 解：（1）解析法。 1000 9.807 2 1 2 39.228C CP p A h g bl          （kN） 3 22 2 212 2 2 2.94612 2sin sin 45 12 sin 45sin C C D C CC bl I hy y hy A bl             （m） 对 A点取矩，当开启闸门时，拉力T 满足：   cos 0D AP y y T l       2 12sin sin 2sin cos cos C C C D A h hl lP hP y yT l l                     2 12 2 2 1sin 123.9228cos 2 cos 45 C l lP h l              31.007 （kN） 当 31.007T  kN时，可以开启闸门。 （2）图解法。 压强分布如图所示： P2 P1 TT A B D1 D2 sin 45 12.682A C lp h g       （kPa） sin 45 26.552B C lp h g       （kPa）    12.68 26.55 2 1 39.232 2A B lbP p p        （kN） 对 A点取矩，有 1 1 2 2 cos 45 0P AD P AD T AB       ∴   1 22 2 3 cos 45 A B A lp l b p p l b l T l               212.68 1 1 26.55 12.68 1 3 cos 45         31.009 （kN） 答：开启闸门所需拉力T 31.009 kN。 2.25 矩形闸门高 h =3m，宽b =2m，上游水深 1h =6m，下游水深 2h =4.5m，试求：（1）作 用在闸门上的静水总压力；（2）压力中心的位置。 h h 2 h 1 解：（1）图解法。 压强分布如图所示： h1 h2 p ∵    1 2p h h h h g       1 2h h g   6 4.5 1000 9.807    14.71 （kPa） 14.71 3 2 88.263P p h b       （kN） 合力作用位置：在闸门的几何中心，即距地面 (1.5m, )2 b 处。 （2）解析法。    1 1 1 1.5 6 1.5 9807 3 2 264.789P p A g h hb          （kN） 3 2 2 1 2 2 1124.5 4.54.5 4.5 12 C D C C bh I hy y y A bh            1 20.25 0.75 4.6674.5    （m）  2 2 2 1.5 3 9.807 3 2 176.526P p A g h hb         （kN）  2 22 1 1 1 1 1 1 3 0.75 3.253 C C D C C C C I Iy y yy A y A           （m） 合力： 1 2 88.263P P P   （kN） 合力作用位置（对闸门与渠底接触点取矩）：    1 1 1 2 2 2D D Dy P P h y P h y       1 1 1 2 2 2D D D P h y P h yy P       264.789 6 4.667 176.526 4.5 3.25 88.263      1.499 （m） 答：（1）作用在闸门上的静水总压力88.263 kN；（2）压力中心的位置在闸门的几何中心， 即距地面 (1.5m, )2 b 处。 2.26 矩形平板闸门一侧挡水，门高 h =1m，宽b =0.8m，挡水深 1h 超过 2m时，闸门 即可自动开启，试求转轴应设的位置 y。 y h h 1 解：当挡水深达到 1h 时，水压力作用位置应作用在转轴上，当水深大于 1h 时，水压力作用 位置应作用于转轴上，使闸门开启。 1 1.5 1000 9.807 1 0.8 11.76842 hP h g hb            （kPa） 2 2 1 1 11.5 1.5562 1.5 12122 D h hy h hh                （m） ∴转轴位置距渠底的距离为： 2 1.556 0.444  （m） 可行性判定：当 1h 增大时 1 2C hy h    增大，则 C C I y A 减小，即压力作用位置距闸门 形越近，即作用力距渠底的距离将大于0.444米。 答：转轴应设的位置 y 0.444 m。 2.27 折板 ABC一侧挡水，板宽b =1m，高度 1h = 2h =2m，倾角 = 45 ，试求作用在折板 上的静水总压力。 A B α h 1 h 2 解：水平分力：     2 1 2 1 2 2 2 1000 9.807 1 78.4562 2x h hP g h h b          （kN）（→） 竖直分力： 1 2 1 2 1cot cot2zP V g g h h h h b           1 2 3 2g h h b   31000 9.807 2 2 12      58.842 （kN）（↓） 2 2 98.07x yP P P   （kN） tan 0.75z x P P   ， 1tan 36.87z x P P    答：作用在折板上的静水总压力 98.07P  kN。 2.28 金属矩形平板闸门，门高 h =3m，宽b =1m，由两根工字钢横梁支撑，挡水面与闸门 顶边齐平，如要求两横梁所受的力相等，两横梁的位置 1y 、 2y 应为多少？ y 2 y 1 h 解 ： P 2 3h R1 R2 y1 y2 静水总压力： 23 1000 9.807 1 44.1322 2 hP g hb        （kN） 总压力作用位置：距渠底 1 13 h  （m） 对总压力作用点取矩，∵ 1 2R R ∴ 1 2 2 2 3 3h y y h   ， 1 2 4 3y y h  设水压力合力为 2 P ，对应的水深为 1h ； 2 2 1 2 4 h hgb gb  ∴ 1 2 2.12132h h  （m） ∴ 1 1 2 1.4143y h  （m） 2 1 4 4 1.414 2.5863y h y     （m） 答：两横梁的位置 1y 1.414 m、 2y 2.586 m。 2.29 一弧形闸门，宽 2m，圆心角 = 30 ，半径R =3m，闸门转轴与水平齐平，试求作用 在闸门上的静水总压力的大小和方向。 A B R h α 解：（1）水平压力：    22 3 sin 30sin 2 9.8072 2x RP g b        22.066 （kN）（→） （2）垂向压力： 2 1 1 sin cos12 2zP V g g R R R             2 23 39.807 sin30 cos30 212 2          7.996 （kN）（↑） 合力： 2 2 2 222.066 7.996 23.470x zP P P     （kN） arctan 19.92z x P P    A B P θ 答：作用在闸门上的静水总压力 23.470P  kN， 19.92  。 2.30 挡水建筑物一侧挡水，该建筑物为二向曲面（柱面）， z = 2x ， 为常数，试求单位 宽度曲面上静水总压力的水平分力 xP和铅垂分力 zP 。 h z x 解：（1）水平压力： 2112 2x hP g h gh       （→） （2）铅垂分力：   0 1 ha zP g h z dx    3 03 h aag hx x       3 h a hg ha a       2 3 hgh a （↓） 答：单位宽度曲面上静水总压力的水平分力 212xP gh ，铅垂分力 zP 2 3 hgh a 。 2.31 半径为R，具有铅垂轴的半球壳内盛满液体，求作用在被两个互相正交的垂直平面切 出的 1/4球面上的总压力和作用点D的位置。 z y xO D 解：（1） 2 2 2 1 2 2 32 2 0 0 0 1 2 3 R R R u R z x du zdz gP g zxdz g z R z dz u du gR          （→） 形心坐标 3 2 1 33 4 4 x C gRPz RgA Rg         （2）同理，可求得 313yP gR （↙） （3）  2 32 20 0 0 0 1 1sin 4 cos8 8 3 R z RP V g g r d d dr g                   3 31 4 8 3 6g R gR      （↓） 2 2 2 30.7045x y zP P P P gR    在 xoy 平 行 平 面 的 合 力 为 323 gR ， 在 与 ,x y 轴 成 45  铅 垂 面 内 ， 6 2arctan arctan arctan 48.0042 3 z xy P P      ∴D点的位置为： sin 48.00 0.743Dz R R  2cos 48.00 0.4732D Dx y R R     答：作用在被两个互相正交的垂直平面切出的 1/4球面上的总压力 30.7045P gR ，作用 点D的位置 0.473D Dx y R  ， 0.743Dz R 。 2.32 在水箱的竖直壁面上，装置一均匀的圆柱体，该圆柱体可无摩擦地绕水平轴旋转，其 左半部淹没在水下，试问圆柱体能否在上浮力作用下绕水平轴旋转，并加以论证。 答：不能。因总水压力作用线通过转轴o，对圆柱之矩恒为零。 证明：设转轴处水深为 0h ，圆柱半径为 R，圆柱长为b。 则有 0 02 2xP h g R b gh Rb      （→） 0 0 C Dx Iy h h A  ，到转轴o的作用距离为 0 CI h A。 即  3 2 0 0 2 12 2 3Do b R Ry h R b h   2 2z RP V g b g     （↑） 到o轴的作用距离为 43 R  两力对o轴的矩为： 43x Dx z RP y P    2 2 0 0 42 3 2 3 R R Rgh Rb gbh       3 32 2 3 3g R b R b      0 2.33 密闭盛水容器，水深 1h =60cm， 2h =100cm，水银测压计读值 h =25cm，试求半径 R =0.5m的半球形盖 AB 所受总压力的水平分力和铅垂分力。 A B R h 2 h 1 Δh 解：（1）确定水面压强 0p 。 0 1 Hg Hgp h g g h h                1000 9.807 0.25 13.6 0.6     27.460 （kPa） （2）计算水平分量 xP 。   20 2x CP p A p h g R        227.460 1.0 9.807 0.5     29.269 （kN） （3）计算铅垂分力 zP 。 3 34 1 4 0.5 9.807 2.5673 2 6z RP V g g           （kN） 答：半球形盖 AB 所受总压力的水平分力为 29.269 kN，铅垂分力为 2.567 kN。 2.34 球形密闭容器内部充满水，已知测压管水面标高 1 =8.5m，球外自由水面标高 2 =3.5m，球直径D =2m，球壁重量不计，试求：（1）作用于半球连接螺栓上的总压 力；（2）作用于垂直柱上的水平力和竖向力。 Δ 2 Δ 1 解：（1）取上半球为研究对象，受力如图所示。 Δ 1 Δ 2 TPz ∵  2 1 24z DP V g g        22 8.5 3.5 1000 9.8074       154.048 （kN） ∴ 154.048zT P  （kN） （2）取下半球为研究对象，受力如图。 Δ 1 Δ 2 Pz' T' Fx Fy Fz ∵    2 21 2 2 8.5 3.5 1000 9.807 154.0484 4z DP g              （kN） 0z zF P T    0x yF F  答：（1）作用于半球连接螺栓上的总压力为154.048 kN；（2）作用于垂直柱上的水平力和竖 向力 0x yF F  。 2.35 极地附近的海面上露出冰山的一角，已知冰山的密度为 920 3/mkg ，海水的密度为 1025 3/mkg ，试求露出海面的冰山体积与海面下的体积之比。 解：设冰山的露出体积为 1V ，在水上体积为 2V 。 则有  1 2 2V V g V g    冰 海水 ∴ 1 2 1 VV        海水 冰 1 2 10251 1 0.114920 V V       海水 冰 答：露出海面的冰山体积与海面下的体积之比为0.114。 第三章习题答案 选择题（单选题） 3.1 用欧拉法表示流体质点的加速度 a  等于：（d） （a） 2 2 d r dt  ；（b） ut    ；（c） ( )u u ；（d） ut    + ( )u u 。 3.2 恒定流是：（b） （a）流动随时间按一定规律变化；（b）各空间点上的流动参数不随时间变化；（c）各 过流断面的速度分布相同；（d）迁移加速度为零。 3.3 一维流动限于：（c） （a）流线是直线；（b）速度分布按直线变化；（c）流动参数是一个空间坐标和时间变 量的函数；（d）流动参数不随时间变化的流动。 3.4 均匀流是：（b） （a）当地加速度为零；（b）迁移加速度为零；（c）向心加速度为零；（d）合加速度为 零。 3.5 无旋流动限于：（c） （a）流线是直线的流动；（b）迹线是直线的流动；（c）微团无旋转的流动；（d）恒定 流动。 3.6 变直径管，直径 1d =320mm, 2d =160mm,流速 1v =1.5m/s。 2v 为：（c） （a）3m/s；（b）4m/s；（c）6m/s；（d）9m/s。 2.36 已知速度场 xu =2 t +2 x +2 y， yu = t - y + z， zu = t + x - z。试求点（2，2，1）在 t =3 时的加速度。 解： x x x xx x y z u u u ua u u ut x y z              2 2 2 2 2 2 0t x y t y z          2 6 4 2 2t x y z      2 3 2 1t x y z     y y y y y x y z u u u ua u u ut x y z              1 0 1t y z t x z         1 2x y z    z z z z z x y z u u u ua u u ut x y z              1 2 2 2 0t x y t x z        1 2t x y z        3,2,2,1 2 3 3 2 2 2 1 1 34xa          （m/s2）  3,2,2,1 1 2 2 2 3ya      （m/s2）  3,2,2,1 1 3 2 4 1 11za       （m/s2） 2 2 2 2 2 234 3 11 35.86x y za a a a       （m/s2） 答：点（2，2，1）在 t =3时的加速度 35.86a  m/s2。 3.8已知速度场 xu = 2xy ， yu =– 33 1 y ， zu = xy。试求：（1）点（1，2，3）的加速度；（2） 是几维流动；（3）是恒定流还是非恒定流；（4）是均匀流还是非均匀流。 解：（1） 4 4 42 103 3 x x x x x x y z u u u ua u u u xy xy xyt x y z               5 51 10 0 03 3 y y y y y x y z u u u ua u u u y yt x y z                3 3 31 20 3 3 z z z z z x y z u u u ua u u u xy xy xyt x y z                 41 161,2,3 1 23 3xa     （m/s2）   51 321,2,3 23 3ya    （m/s2）   32 161,2,3 1 23 3xa     （m/s2） 2 2 2 13.06x y za a a a    （m/s2） （2）二维运动，空间点的运动仅与 x、 y坐标有关； （3）为恒定流动，运动要素与 t无关； （4）非均匀流动。 3.9管道收缩段长 l =60cm，直径D =20cm，d =10cm，通过流量Q =0.2 sm /3 ，现逐渐关闭 调节阀门，使流量成线性减小，在 20s内流量减为零，试求在关闭阀门的第 10s时，管轴线 上 A点的加速度（假设断面上速度均匀分布）。 AD d l l 解：解法一 流量函数：    0.20.2 0.2 1 0.0520Q t t t    直径函数：    1 1 2 2 112 2 2 x x xd x D D d d Dl l l          ∴流速方程  0 2l ：     2 4, Q tu x t d x 加速度：  , u ua x t ut x        2 2 4 4 1Q Qud x t x d x                  2 3 4 4 20.01 1Q dud x d x x             2 2 1 2 3 4 40.01 d DQd x d x l l            对 A点：         2 1 2 2 3 4 104,10 0.01A Q D da a l d l d l l              2 1 0.2 0.1 0.152 2 d Dd l     （m）  10 0.1Q  （m3/s） 代入得： 2 2 3 4 4 0.1 0.2 0.10.01 35.010.15 0.15 0.6Aa                 （m/s2） 解法二近似解法 u ua ut x     2 1 2 u uu x l   在 10t  （s）时， 0.1Q  （m3/s）， 0.15d  （m） ∴ 2 2 4 0.2 4 0.01 1.78 20 u t d d               2 2 0.1 4 40 0.1u     1 2 0.1 4 10 0.2u     2 0.1 4 17.78 0.15u     ∴  40 101.78 17.78 44.472Aa l         （m/s2） 答：在关闭阀门的第 10s时，管轴线上 A点的加速度为35.01m/s2。 3.10已知平面流动的速度场为 xu = a， yu =b , a、b为常数，试求流线方程并画出若干条上 半平面（ y >0）的流线。 解：∵ x y dx dy u u ∴ 0bdx ady  bx ay c  或 by x ca   为线性方程 答：流线方程为bx ay c  。 3.11已知平面流动的速度场为 xu =– 22 yx cy  ， yu = 22 yx cx  ，其中 c为常数。试求流线方 程并画出若干条流线。 解： ∵ x y dx dy u u ∴ 0cxdx cydy  2 2 2x y c  为圆心在  0,0 的圆族。 答：流线方程为 2 2 2x y c  ，为圆心在  0,0 的圆族。 3.12已知平面流动的速度场为  u =   jtxyitxy )96()64( 。求 t =1时的流线方程，并画 出 1≤ x≤4区间穿过 x轴的 4条流线图形。 解：    4 6 6 9 dx dy y x t y x t  当 1t  秒时，    6 9 4 6y x dx y x y       3 2 3 2 2 3 0y x dx y x y     3 2 0dx dy  ∴3 2x y c  过  1,0 的流线为：3 2 3x y  过  2,0 的流线为：3 2 6x y  过  3,0 的流线为：3 2 9x y  过  4,0 的流线为：3 2 12x y  答： t =1时的流线方程为3 2x y c  。 3.13不可压缩流体，下面的运动能否出现（是否满足连续性条件）？ （1） xu =2 22 yx  ； yu = )2( 23 yyxx  （2） xu = yxt 2 ； yu = ytxt 2 （3） xu = xzy 22  ； yu = yzxyz 22  ； zu = 43222 1 yxzx  解：（1）∵  4 2 2 0yx uu x x yx y        ∴不能出现。 （2）∵ 0yx uu t tx y       ∴能出现。 （3）∵ 2 22 2 0yx zuu u z z x z x zx y z           ∴不能出现。 3.14已知不可压缩流体平面流动，在 y方向的速度分量为 yu = 2y -2 x +2 y。试求速度在 x方 向的分量 xu 。 解：∵ 0yx uux y     ∴  2 2xu yx     ∴      2 2 2 2xu y x c y x xy c y        答：速度在 x方向的分量  2 2xu x xy c y    。 3.15在送风道的壁上有一面积为 0.4 2m 的风口，试求风口出流的平均速度 v。 4m3/s 2.5m3/s 孔口 30° v 解： ∵ 1 2 3Q Q Q  其中： 1 4Q  m3/s， 2 2.5Q  m3/s ∴ 3 4 2.5 1.5Q    （m3/s） 3 1sin 30 0.4 2Q A v v       ∴ 1.5 7.50.2v   （m/s） 答：风口出流的平均速度 7.5v  m/s。 3.16求两平行平板间，流体的单宽流量，已知速度分布为u = ]1[ 2 max    b yu 。式中 y =0 为中心线， y = b 为平板所在位置， maxu 为常数。 解：单宽流量为： 1.0 b b q udy     2 max 0 2 1 b y u dyb            max 12 3u b b      max 4 3 bu 答：两平行平板间，流体的单宽流量为 max 4 3 bu 。 3.17下列两个流动，哪个有旋？哪个无旋？哪个有角变形？哪个无角变形？ （1） xu =– ay， yu = ax； zu =0 （2） xu =– 22 yx cy  ， yu = 22 yx cx  ， zu =0 式中 a、 c是常数。 解：（1）  1 12 2y xt u u a a ax y          有旋。  1 1 02 2y xyx xy u u a ax y            无角变形。 （2） 12 y x t u u x y               2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 21 2 c x y cx c x y cy x y x y                  2 2 2 2 22 2 2 21 2 c x y c x y x y     0 无旋（不包括奇点 (0,0)）。         2 2 2 2 2 22 2 2 2 21 1 02 2 y x yx xy c y x c y xu u x y x y x y                存在角变形运动。 3.18已知有旋流动的速度场 xu =2 y +3 z ， yu =2 z +3 x， zu =2 x +3 y。试求旋转角速度和 角变形速度。 解：  1 1 13 22 2 2yzx uu y z           1 1 13 22 2 2x zy u u z x            1 1 13 22 2 2y xz u u x y          2 2 2 3 2x y z       1 5 2 2 y x yx xy u u x y          1 5 2 2 xz zx xz uu x z          1 5 2 2 yz zy yz uu y z          答：旋转角速度 12x y z     ，角变形速度 5 2yx zx yz     。 第四章习题答案 选择题（单选题） 4.1等直径水管，A-A为过流断面，B-B为水平面，1、2、3、4为面上各点，各点的流动参 数有以下关系：（c） A A BB 1 3 2 4 （a） 1p = 2p ；（b） 3p = 4p ；（c） 1z + 1pg = 2z + 2p g ；（d） 3z + 3p g = 4z + 4p g 。 4.2伯努利方程中 z + pg + 2 2 v g  表示：（a） （a）单位重量流体具有的机械能；（b）单位质量流体具有的机械能；（c）单位体积流体具 有的机械能；（d）通过过流断面流体的总机械能。 4.3水平放置的渐扩管，如忽略水头损失，断面形心点的压强，有以下关系：（c） 1 1 p1 2 2 p2 （a） 1p > 2p ；（b） 1p = 2p ；（c） 1p < 2p ；（d）不定。 4.4黏性流体总水头线沿程的变化是：（a） （a）沿程下降；（b）沿程上升；（c）保持水平；（d）前三种情况都有可能。 4.5黏性流体测压管水头线的沿程变化是：（d） （a）沿程下降；（b）沿程上升；（c）保持水平；（d）前三种情况都有可能。 4.6平面流动具有流函数的条件是：（d） 无黏性流体；（b）无旋流动；（c）具有速度势；（d）满足连续性。 4.7一变直径的管段 AB ，直径 Ad =0.2m， Bd =0.4m，高差 h =1.5m，今测得 Ap =30 2/mkN ， Bp =40 2/mkN ， B处断面平均流速 Bv =1.5 sm / .。试判断水在管中的流动方向。 ×A B× Δh 解：以过 A的水平面为基准面，则 A、B点单位重量断面平均总机械能为： 42 3 230 10 1.0 1.5 0.40 4.892 1000 9.807 2 9.807 0.2 A A A A A p vH z g g                  （m） 2 3 240 10 1.0 1.51.5 5.692 1000 9.807 2 9.807 B B B B B p vH z g g            （m） ∴水流从 B点向 A点流动。 答：水流从 B点向 A点流动。 4.8利用皮托管原理，测量水管中的点速度 v。如读值 h =60mm，求该点流速。 水 Δh 汞 u 解：   322 2 9.807 12.6 60 10 3.85Hgg hpu              （m/s） 答：该点流速 3.85u  m/s。 4.9水管直径 50mm，末端阀门关闭时，压力表读值为 21 2/mkN 。阀门打开后读值降至 5.5 2/mkN ，如不计水头损失，求通过的流量。 解：（1）水箱水位 321 100 2.141000 9.807 pH z g      （m） （2）阀门开启后，从水箱液面到仪表处列伯努利方程，可得： 2 2 p vH g g  ∴ 35.5 102 2 9.807 2.14 5.571000 9.807 pv g H g                 （m/s） 20.055.57 0.0114Q vA      （m3/s） 答：通过的流量 0.011Q  m3/s。 4.10水在变直径竖管中流动，已知粗管直径 1d =300mm，流速 1v =6 sm / 。为使两断面的压 力表读值相同，试求细管直径（水头损失不计）。 d2 d1 3m 解：以过下压力表处的水平面为基准面，列伯努利方程如下： 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 22 2 w p v p vz z hg g g g           ∵ 1 2 0wh   ， 1 3z  m， 2 0z  取 1 2  ，当 1 2p p 时，有： 2 2 2 2 1 12 2 9.807 3 6 94.842v gz v       2 9.74v  （m/s） 由连续性方程 2 2 1 1v A v A ∴ 12 1 2 6300 235.59.74 vd d v    （mm） 答：细管直径为 235.5mm。 4.11为了测量石油管道的流量，安装文丘里流量计，管道直径 1d =200mm，流量计喉管直径 2d =100mm，石油密度  =850 3/mkg ，流量计流量系数  =0.95。现测得水银压差计读书 ph =150mm，问此时管中流量Q是多少。 d1 d2 hp 解： 1Hg pQ K h        油 其中： 0.95  ； 2 2 1 4 4 1 2 0.22 2 9.8074 4 0.0359 0.2 11 0.1 d g K d d                    0.15ph  （m） 1 1Hg Hgp pQ K h K h                      水 油 水 油 10000.95 0.0359 13.6 1 0.15850          0.0511575 （m3/s） 51.2 （l/s） 答：此时管中流量Q 51.2 l/s。 4.12水箱中的水从一扩散短管流到大气中，直径 1d =100mm，该处绝对压强 1p =0.5大气压， 直径 2d =150mm，试求水头H ，水头损失忽略不计。 H d 1 d 2 解：（1）以出水管轴线为基准面，列管径 1d 与 2d 处的伯努利方程，可得： 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 p v p v g g g g       取 1 2 1.0   ， 2 0p  ， 1 0.5 101.325 50.663p      kPa ∵ 2 2 11 2 2pv v    ∴ 4 3 2 2 2 1 2 50.663 101 101.325dv d              12 2 4 101.325 4.994 0.15 10.1 v             （m/s） （2）从液面到短管出口列能量（伯努利）方程。 2 2 2 4.994 1.272 2 9.807 vH g   （m） 答：水头H 1.27 m。 4.13离心式通风机用集流器 A从大气中吸入空气，直径 d =200mm处接一根细玻璃管，已 知管中的水上升H =150mm，求进气流量（空气的密度  =1.29 3/mkg ）。 H A d 解：以集流器轴线的水平面为基准面，从距进口一定距离的水平处列到测管处的伯努利方程， 可得： 2 2 a Hp p v g g g     不计损失，取 1.0  ∴  2 a Hp pv   其中 0ap  ，则 Hp H g   水 ∴ 2 10002 0.15 9.807 47.761.29 Hgv       水 （m/s） 247.76 0.2 1.54Q vA      （m3/s） 答：进气流量 1.5Q  m3/s。 4.14 一吹风装置，进排风口都直通大气，风扇前、后断面直径 1d = 2d =1m，排风口直径 3d =0.5m，已知排风口风速 3v =40 sm / ，空气的密度  =1.29 3/mkg ，不计压强损失，试 求风扇前、后断面的压强 1p 和 2p 。 d 1 d 2 d 3 解：以过轴线的水平面为基准面，以 2d 及 3d 截面列伯努利方程： 22 3 3 32 2 2 2 2 p vp v g g g g      其中 3 0p  ， 3 40v  （m/s）， 2 3 1.0   ， 2 3 2 3 2 2 dv v d  ∴   4 422 2 23 32 3 2 2 1.29 0.51 40 1 967.52 2 2 1.0 v dp v v d                              （Pa） 从大气到 1d 断面，列伯努利方程： 2 1 1 10 0 2 ap p v g g g       其中 1 1.0  ， 0ap  （相对压强）， 2 3 1 2 3 2 2 dv v v d   ∴ 4 2 2 1 1 1.29 0.540 64.52 2 1.0p v             （Pa） 答：风扇前、后断面的压强 1 64.5p   Pa， 2p 967.5 Pa。 4.15两端开口的等直径U 形管，管内液柱长度为 L，使液面离开平衡位置而造成液 柱振荡，水头损失忽略不计，求液柱的振荡方程 z =  tf 。 2 2 0 0 1 1 z z 解：取 0-0断面为基准面，由非恒定流的伯努利方程： 2 2 1 1 2 2 1 2 0 1 2 2 Lp u p u uz z dlg g g g g t         ∵ 1z z  ， 2z z ， 1 2 0p p  ， 1 2u u ∴ 0 12 Lu L uz dlg t g t      ∴ 2u gzt L   ∵    ,u z t u t   dzu t dt ∴ 2 2 2d z g zdt L  令 cosz c t ，则 2gL  0 0 2 2cos sin 2 g gz z t z tL L        答：液柱的振荡方程 0 0 2 2cos sin 2 g gz z t z tL L        。 4.16水力采煤用水枪在高压下喷射强力水柱冲击煤层，喷嘴出口直径 d =30mm，出口水流 速度 v =54 sm / ，求水流对煤层的冲击力。 解：取控制体如图，受力如图。 v Pa v2 v1 Pa F  2Q v v F    ∴ 2 2 2 20.03 1000 54 2.0614 4 dF Qv v          （kN） 水流对煤层的作用力与 F 构成作用力与反作用力，大小为 2.061kN，方向向右。 答：水流对煤层的冲击力 2.061F  kN，方向向右。 4.17水由喷嘴射出，已知流量Q =0.4 sm /3 ，主管直径D =0.4 sm / ，喷口直径 d =0.1m， 水头损失不计，求水流作用在喷嘴上的力。 D d 解：（1）取过轴线的水平面为基准面，列螺栓断面与出口断面的伯努利方程： 2 2 1 1 1 2 202 2 p v v g g g       ∴   422 2 2 11 2 1 2 12 2 v dp v v d              2 21000 50.93 3.18 1291.8542    （kPa） 1 2 1 0.4 4 3.180.4 Qv A     （m/s） 2 2 2 0.4 4 50.930.1 Qv A     （m/s） （2）取控制体如图所示，列动量方程。 p1 v1 F p2 v2  2 1 1 1Q v v p A F    ∴  1 1 2 1F p A Q v v    20.41291.854 1 0.4 50.93 3.18 143.2394         （kN） 答：水流作用在喷嘴上的力为143.239kN。 4.18闸下出流，平板闸门宽b =2m，闸前水深 1h =4m，闸后水深 2h =0.5m，出流量Q =8 sm /3 ， 不计摩擦阻力，试求水流对闸门的作用力，并与按静水压强分布规律计算的结果相比较。 h 1 h 2 解：（1）由连续方程 1 1 2 2Q h b v h b v      ∴ 1 1 8 12 4 Qv hb   （m/s） 2 2 8 82 0.5 Qv h b   （m/s） （2）由动量方程，取控制体如图。 P1 v1 P2 v2 F  2 1 1 1 2 2Q v v p A p A F     ∴  1 21 2 2 12 2 h hF g h b g h b Q v v         2 21 2 2 12 2 h h gb Q v v         2 24 0.51000 9.807 2 1000 8 8 12 2             98.46 （kN）  2 21 14 0.5 1000 9.807 3.5 2 120.142 2F g b         静 （kN） 答：水流对闸门的作用力 98.46F  kN，按静水压强分布规律计算的结果 120.14F 静 kN。 4.19矩形断面的平底渠道，其宽度 B为 2.7m，渠底在某断面处抬高 0.5m，该断面上 游的水深为 2m，下游水面降低 0.15m，如忽略边壁和渠底阻力，试求：（1）渠道的 流量；（2）水流对底坎的冲力。 2.0 m 0.5 m 0.1 5m 解：（1）以上游渠底为基准面，列上、下游过水断面的能力方程： 2 2 1 1 1 2 2 2 1 22 2 p v p vz zg g g g         其中： 1 2 0ap p p   ， 1 2.0z  m， 2 2.0 0.15 1.85z    m 1 1 1 Q Qv A Bh  ， 2 2 2 Q Qv A Bh  1 2.0h  m， 2 2.0 0.15 0.5 1.35h     m ∴  2 2 22 1 1 22 2 2 2 2 1 1 1 2v v Q z z gB h B h              1 12 2 1 2 1 2 22 22 2 2 2 12 1 2 2 1 1 1 g z z g z zQ Bh h hB h B h                             12 2 2 9.807 0.152.7 1.35 1.351 2           8.47 （m3/s） 1 1 1 8.47 1.572.7 2 Q Qv A Bh    （m/s） 2 2 2 8.47 2.322.7 1.35 Q Qv A Bh    （m/s） （2）取控制体如图，列动量方程. P2 v2 F P1 v1  2 1 1 1 2 2Q v v p A p A F     ∴  1 1 2 2 2 1F p A p A Q v v     2 21 2 2 12 2 h hgB gB Q v v       2 21 2 2 12 h hgB Q v v        2 22 1.351000 9.807 2.7 1000 8.47 2.32 1.572            22.48 （kN） 答：（1）渠道的流量 8.47Q  m3/s；（2）水流对底坎的冲力 22.48F  kN。 4.20下列不可压缩流体、平面流动的速度场分别为： （1） xu = y； yu = x （2） xu = x y ； yu = x y （3） xu = 2 2x y x  ； yu = (2 )xy y  试判断是否满足流函数 和流速势的存在条件，并求 、。 解：（1）∵ 0yx uux y     ，满足连续方程，流速数 存在。 又∵  1 1 1 1 12 2y xz u u x y            ，有旋，故不存在。 ∵ xu yy    ， yu xx     d dx dy xdx ydyx y         ∴流速数  2 212 x y c    （2）∵ 1 1 2 0yx uux y        ，流动不存在。 （3）∵  2 1 2 1 0yx uu x xx y         ，故流速数存在。 又∵  1 1 2 2 02 2y xz u u y yx y           ，有旋，故存在势函数。 流函数 与势函数满足：   2 2 2 x y u x y xx y u xy yy x                      解得：    3 2 21 1, 3 2x y x xy x c y     2 2dcxy xy yy dy        ∴   2 012c y y c   2 2 3 2 0 1 3 2 x yx xy c     又可解得：  2 313x y y xy c x     ∵ 2 2y dcu xy y xy yx dx          ∴ 0dcdx   ， 1c c  ∴ 2 3 1 1 3x y y xy c     4.21 已知平面流动的速度为直线分布，若 0y =4m， 0u =80 /m s，试求：（1）流函数 ；（2） 流动是否为有势流动。 y x u0 y 0 o 解：已知 xu cy ，当 0 4y y  m， 80xu  m/s。 ∴ 20c  （s-1）， 20xu y 由连续性条件： 0yx uux y     ，∴ 0 yu y   ∴ 0yu  0 20y xd dx dy u dx u dy dx ydyx y            ∴ 210y c   ，当 0y  时， 0  。 ∴ 210y  ∵  1 1 0 20 102 2y xz u u x y           （s-1） ∴流动有旋。 答：（1）流函数 210y  ；（2）流动有旋。 4.22 已知平面无旋流动的速度为速度势 2 2 2x x y   ，试求流函数和速度场。 解：∵ x y     ； y x      ∴        2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 4 2x y x x y y x y x y           22 2 4xy x x y         2 2 22 2 2 x x yu x x y      ；  22 2 4 y xyu y x y         2 2 22 2 4 2xydx x y dyd dx dyx y x y                 2 2 2 22 2 2 2 24 x yxy dx dy x y x y      ∴       2 2 2 2 2 2 22 2 4 2 2 y const x const xy x xy y x xy ydx dy x y x yx y                 2 22 2 2 1 1 x consty const y dyx y x y x y          2 2 2 2 2 2y y x y x y   0 答：流函数 0  ；速度场    2 2 22 2 2 x x yu x x y      ，  22 2 4 y xyu y x y     。 4.23 已知平面无旋流动的流函数 2 3 10xy x y     ，试求速度势和速度场。 解： 3xu xy    ， 2yu yx      ∵ 3xu xx     ，∴  2 1 32 x x c y     2dc yy dy      ，∴   2 1 22c y y y       ∴    2 2 2 21 1 1, 3 2 3 22 2 2x y x x y y x y x y         答：  2 21 3 22 x y x y     ； 3xu x  ， 2yu y   。 4.24 已知平面无旋流动的速度势 arctan yx     ，试求速度场。 解： 2 2 2 2 1 x y yxu x x yy x           2 2 2 1 1 y xxu y x yy x         4.25 无穷远处有一速度为 0u 的均匀直线来流，坐标原点处有一强度为 q 的汇流，试求两 个流动叠加后的流函数，驻点位置以及流体流入和流过汇流的分界线方程。 解：无穷远均匀直线流的速度势为：在 x方向的流速为 0U ， y方向为零。 1 0U x  ， 1 0U y  在原点的汇流为： 2 22 ln2 q x y    ， 2 2 q   ∴  2 21 2 0 ln4qU x x y        0 0 arctan2 2 q q yU y U y x      零流线方程： 0 arctan 02 q yU y x  驻点位置： 0 2 0, 0, 1 02 1s s y x x y x x q xUy y x                    0 2 2 02 s s xqU x y   02s qx U ∴过  ,0sx 的流线方程为 0  即 0 arctan 02 q yU y x  答：流函数 0 arctan2 q yU y x   ，驻点位置 02s qx U ，流体流入和流过汇流的分界线 方程 0 arctan 02 q yU y x  。