高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词学案

1.3 简单的逻辑联结词 逻辑联结词“且”“或”“非” [提出问] 如图所示，有三种电路图． 问题1：甲图中，什么情况下灯亮？ 提示：开关p闭合且q闭合． 问题2：乙图中，什么情况下灯亮？ 提示：开关p闭合或q闭合． 问题3：丙图中，什么情况下灯不亮？ 提示：开关p不闭合时． [导入新知] 符号 含义 读法 p∧q 用联结词“且”把命题p和命题q联结起来的一个新命题 p且q p∨q 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来的一个新命题 p或q 綈p 对一个命题p全盘否定的一个新命题 非p或 p的否定 [化解疑难] 1．“且”含义的理解 联结词“且”与日常用语中的“并且”“和”“同时”等词语等价，表示的是同时具有的意思． 2．“或”含义的理解 联结词“或”与日常用语中的“或者”“可能”等词语等价，它有三层含义，如“p或q”表示：要么是p不是q；要么是q不是p；要么是p且q. 3．“非”含义的理解 联结词“非”与日常用语中的“不是”“否定”“全盘否定”“问题的反面”等词语等价. 含有逻辑联结词的命题的真假判断 [提出问题] 如“知识点一”中的图，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p、q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p∧q，p∨q，綈p的真与假． 问题1：什么情况下，p∧q为真？ 提示：当p真，q真时． 问题2：什么情况下，p∨q为假？ 提示：当p假，q假时． 问题3：什么情况下，綈p为真？ 提示：当p假时． [导入新知] “p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断 p q p∨q p∧q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 真 假 假 假 真 真 假 真 假 假 假 假 真 　　 [化解疑难] 命题“p∧q”“p∨q”“綈p”真假的记忆 (1)对于“p∧q”，简称为“一假则假”，即p，q中只要有一个为假，则“p∧q”为假； (2)对于“p∨q”，简称为“一真则真”，即p，q中只要有一个为真，则“p∨q”为真． 用逻辑联结词联结新命题 [例1]　分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题． (1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等； (2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解． [解]　(1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等． p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等． 綈p：梯形没有一组对边平行． (2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解． p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解． 綈p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解． [类题通法] 用“或”“且”“非”联结两个简单命题时，要正确理解这三个联结词的意义，通常情况下，可以直接使用逻辑联结词联结，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词．如甲是运动员兼教练员，就省略了“且”． [活学活用] 指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题： (1)方程2x2＋1＝0没有实数根； (2)12能被3或4整除． 解：(1)是“綈p”形式，其中p：方程2x2＋1＝0有实根． (2)是“p或q”形式，其中p：12能被3整除；q：12能被4整除. 含有逻辑联结词的命题的真假判断 [例2]　分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题，并判断其真假． (1)p：等腰梯形的对角线相等，q：等腰梯形的对角线互相平分； (2)p：函数y＝x2－2x＋2没有零点，q：不等式x2－2x＋1＞0恒成立． [解]　(1)p∨q：等腰梯形的对角线相等或互相平分，真命题． p∧q：等腰梯形的对角线相等且互相平分，假命题． 綈p：等腰梯形的对角线不相等，假命题． (2)p∨q：函数y＝x2－2x＋2没有零点或不等式x2－2x＋1＞0恒成立，真命题． p∧q：函数y＝x2－2x＋2没有零点且不等式x2－2x＋1＞0恒成立，假命题． 綈p：函数y＝x2－2x＋2有零点，假命题． [类题通法] 1．命题结构的两种类型及判断方法 (1)从含有联结词“且”“或”“非”或者与之等价的词语上进行判断． (2)若命题中不含有联结词，则从命题所表达的数学意义上进行判断． 2．判断命题真假的三个步骤 (1)明确命题的结构，即命题是“p∧q”“p∨q”，还是“綈p”； (2)对命题p和q的真假作出判断； (3)由“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断方法给出结论． [活学活用] 分别写出下列含有逻辑联结词的命题的形式，并判断其真假． (1)等腰三角形顶角的平分线平分且垂直于底边； (2)1或－1是方程x2＋3x＋2＝0的根； (3)A (A∪B)． (1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真，q真，则“p∧q”真，所以该命题是真命题． (2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2＝0的根，q：－1是方程x2＋3x＋2＝0的根，因为p假，q真，则“p∨q”真，所以该命题是真命题． (3)这个命题是“綈p”的形式，其中p：A⊆(A∪B)，因为p真，则“綈p”假，所以该命题是假命题. 根据含逻辑联结词命题的真假求参数取值范围 [例3]　已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的正实数根，命题q：方程4x2＋4(m＋2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，求实数m的取值范围． [解]　“p或q”为真命题，则p为真命题或q为真命题． 当p为真命题时，有， 解得m＜－2； 当q为真命题时， 有Δ＝16(m＋2)2－16＜0， 解得－3＜m＜－1. 综上可知，实数m的取值范围是(－∞，－1)． [类题通法] 解决此类问题的方法，一般是先假设p，q分别为真，化简其中的参数取值范围，然后当它们为假时取其补集，最后确定参数的取值范围．当p，q中参数的范围不易求出时，也可以利用綈p与p，綈q与q不能同真同假的特点，先求綈p，綈q中参数的范围． [活学活用] 对命题p：1是集合{x|x2＜a}中的元素；q：2是集合{x|x2＜a}中的元素，则a为何值时，“p或q”为真？a为何值时，“p且q”为真？ 解：若p为真，则1∈{x|x2＜a}， 所以12＜a，即a＞1； 若q为真，则2∈{x|x2＜a}，即a＞4. 若“p或q”为真，则a＞1或a＞4，即a＞1； 若“p且q”为真，则a＞1且a＞4，即a＞4. 　　　　 [典例]　(12分)已知命题p：函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2，＋∞)上单调递增，q：关于x的不等式ax2－ax＋1＞0解集为R.若p∧q假，p∨q真，求实数a的取值范围． [解题流程] [活学活用] 若命题p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，写出綈p，若綈p是假命题，则a的取值范围是什么？ 解：綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数． 因为綈p为假命题， 所以p为真命题． 因此－(a－1)≥4. 故a≤－3， 即所求a的取值范围是(－∞，－3]． [随堂即时演练] 1．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，下面使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是(　　) A．(0，－3)　　　　　　　 B．(1,2) C．(1，－1) D．(－1,1) 解析：选C　使“p∧q”为真命题的点即为直线y＝2x－3与抛物线y＝－x2的交点． 2．已知命题p：设x∈R，若|x|＝x，则x>0，命题q：设x∈R，若x2＝3，则x＝，则下列命题为真命题的是(　　) A．p∨q B．p∧q C．(綈p)∧q D．(綈p)∨q 解析：选D　由|x|＝x应得x≥0而不是x>0，故p为假命题；由x2＝3应得x＝±，而不只有x＝，故q为假命题．因此綈p为真命题，从而(綈p)∨q也为真命题． 3．命题p：2∉{1,3}，q：2∉{x|x2－4＝0}，则命题p∧q：2∉{1,3}且2∉{x|x2－4＝0}是________(填“真”或“假”)命题，命题p∨q：____________，是________(填“真”或“假”)命题． 解析：命题p：2∉{1,3}是真命题． 因为{x|x2－4＝0}＝{－2,2}， 所以命题q：2∉{x|x2－4＝0}是假命题． ：假　2∉{1,3}或2∉{x|x2－4＝0}　真 4．若p：不等式ax＋b＞0的解集为xx＞－，q：关于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集为{x|a＜x＜b}，且“p∧q”为真命题，则a，b满足__________． 解析：因为命题“p∧q”为真命题， 所以p、q均为真命题，于是a＞0，且a＜b. 答案：0＜a＜b 5．判断下列命题的真假： (1)函数y＝cos x是周期函数并且是单调函数； (2)x＝2或x＝－2是方程x2－4＝0的解． 解：(1)由p：“函数y＝cos x是周期函数”，q：“函数y＝cos x是单调函数”，用联结词“且”联结后构成命题p∧q.因为p是真命题，q是假命题，所以p∧q是假命题． (2)由p：“x＝2是方程x2－4＝0的解”，q：“x＝－2是方程x2－4＝0的解”，用“或”联结后构成命题p∨q.因为p，q都是真命题，所以p∨q是真命题． [课时达标检测] 一、选择题 1．“xy≠0”是指(　　) A．x≠0且y≠0　　　 B．x≠0或y≠0 C．x，y至少一个不为0 D．x，y不都是0 解析：选A　xy≠0是指x，y均不能为0，故选A. 2．若命题“p且q”为假，且綈p为假，则(　　) A．p或q为假 B．q假 C．q真 D．p假 解析：选B　綈p为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假． 3．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：∈(A∪B)，则命题“綈p”是(　　) A.∉A B.∈(∁UA)∩(∁UB) C.∈∁UB D.∉(A∩B) 解析：选B　由p：∈(A∪B)，可知綈p：∉(A∪B)，即∈∁U(A∪B)，而∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，故选B. 4．由下列各组命题构成p或q，p且q，非p形式的新命题中，p或q为真命题，p且q为假命题，非p为真命题的是(　　) A．p：3是偶数，q：4是奇数 B．p：3＋2＝6，q：5＞3 C．p：a∈{a，b}，q：{a}{a，b} D．p：QR，q：N＝N 解析：选B　由p或q为真命题，p且q为假命题，非p为真命题可知p为假命题且q为真命题，选项中符合要求的只有B. 5．若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－的单调递增区间是[1，＋∞)，则(　　) A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题 C．綈p是真命题 D．綈q是真命题 解析：选D　因为函数y＝x2－2x在[1，＋∞)上是增函数，所以其单调递增区间是[1，＋∞)，所以p是真命题；因为函数y＝x－的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题．故选D. 二、填空题 6．命题“若a＜b，则2a＜2b”的否命题是__________，命题的否定是________________________． 解析：命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，命题的否定是“若p，则綈q”． 答案：若a≥b，则2a≥2b　若a＜b，则2a≥2b 7．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“綈q”都是假命题，则x的值组成的集合为________________________________________________________________________． 解析：因为“p∧q”为假，“綈q”为假，所以q为真，p为假． 故即 因此，x的值可以是－1,0,1,2. 答案：{－1,0,1,2} 8．已知条件p：(x＋1)2＞4，条件q：x＞a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是________． 解析：由綈p是綈q的充分不必要条件，可知綈p⇒綈q，但綈q 綈p.由一个命题与它的逆否命题等价，可知q⇒p但p q．又p：x＞1或x＜－3，可知{x|x＞a}{x|x＜－3或x＞1}，所以a≥1. 答案：[1，＋∞) 三、解答题 9．指出下列命题是简单命题还是含逻辑联结词的命题，若是含逻辑联结词的命题，写出构成它的简单命题． (1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； (2)若x∈{x|x＜1或x＞2}，则x是不等式(x－1)(x－2)＞0的解． 解：(1)是“p且q”形式的命题，其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形，q：两个角是45°的三角形是直角三角形． (2)是“p或q”形式的命题，其中p：若x∈{x|x＜1}，则x是不等式(x－1)(x－2)＞0的解，q：若x∈{x|x＞2}，则x是不等式(x－1)(x－2)＞0的解． 10．命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围： (1)甲、乙至少有一个是真命题； (2)甲、乙中有且只有一个是真命题． 解：甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0， 即a＞或a＜－1，① 乙命题为真时，2a2－a＞1， 即a＞1或a＜－.② (1)甲、乙至少有一个是真命题， 即为a＜－或a＞， ∴甲、乙至少有一个是真命题时，a的取值范围是 (2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，＜a≤1，当甲假乙真时，－1≤a＜－. ∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围是