2016_2017学年高中数学第2章数列2.2.3等差数列的前n项和学案苏教版
2.2.3 等差数列的前n项和
1.掌握等差数列的前n项和公式,并能运用公式解决一些简单问题.(重点)
2.体会等差数列前n项和公式与二次函数间的关系.(难点)
3.等差数列前n项和的最值的判断.(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 等差数列的前n项和公式
阅读教材P42,完成下列问题.
1.等差数列的前n项和公式
已知条件
首项a1和末项an
首项a1和公差d
选用公式
Sn=
Sn=na1+
2.推导等差数列的前n项和的方法是倒序相加法.
1.在等差数列{an}中,a1=1,a30=30...
2.2.3 等差数列的前n项和
1.掌握等差数列的前n项和公式,并能运用公式解决一些简单问题.(重点)
2.体会等差数列前n项和公式与二次函数间的关系.(难点)
3.等差数列前n项和的最值的判断.(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 等差数列的前n项和公式
阅读教材P42,完成下列问题.
1.等差数列的前n项和公式
已知条件
首项a1和末项an
首项a1和公差d
选用公式
Sn=
Sn=na1+
2.推导等差数列的前n项和的方法是倒序相加法.
1.在等差数列{an}中,a1=1,a30=30,则S30=________.
【解析】 S30===465.
【答案】 465
2.在等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前n项和Sn=100,则n=________.
【解析】 ∵a1=1,a3+a5=2a4=14,∴a4=7,∴d=2,
∴Sn=n+×2=100,∴n=10.
【答案】 10
教材整理2 等差数列前n项和的性质
阅读教材P48第8题~第12题,完成下列问题.
等差数列前n项和常用性质
(1)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等差数列.
(2)S奇
示奇数项之和,S偶表示偶数项之和,公差为d.
①当项数为偶数2n时,S偶-S奇=nd,
=.
②当项数为奇数2n-1时,S奇-S偶=an,=.
(3)前n项Sn是关于n的二次函数,不具有常数项.
①当a1>0,d<0时,Sn有最大值.
②当a1<0,d>0时,Sn有最小值.
1.若{an}是等差数列,且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9=________.
【解析】 设a3+a6+a9=x,则45,39,x成等差数列,∴45+x=39×2,∴x=33.
【答案】 33
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n2-10n,则当n=________时,Sn最小.
【解析】 Sn=n2-10n=(n-5)2-25,∴当n=5时,Sn最小,为-25.
【答案】 5
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问
,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________
解惑:_________________________________________________
疑问2:_________________________________________________
解惑:_________________________________________________
疑问3:_________________________________________________
解惑:_________________________________________________
[小组合作型]
与等差数列Sn有关的基本量的计算
在等差数列{an}中,
(1)a1=,an=-,Sn=-5,求n和d;
(2)a1=4,S8=172,求a8和d;
(3)d=2,an=11,Sn=35,求a1和n.
【精彩点拨】 (1)(2)利用Sn=求解;
(3)利用Sn=na1+d求解.
【自主解答】 (1)由题意,得
Sn===-5,
解得n=15.
又a15=+(15-1)d=-,
∴d=-.
(2)由已知,得S8===172,
解得a8=39.
又∵a8=4+(8-1)d=39,
∴d=5.
(3)由
得
解方程组得或
等差数列的基本计算方法与技巧
1.公式Sn=中涉及四个量:Sn,n,a1,an;公式Sn=na1+d中也涉及四个量:Sn,n,a1,d.结合等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,对于等差数列中的五个量:Sn,n,a1,an,d,已知其中的三个可以求另外的两个量.简称“知三求二”.
2.在进行等差数列基本量的互求时,要注意求和公式和通项公式的恰当选取,注意方程思想及等差数列性质的应用.
[再练一题]
1.已知等差数列{an}中,
(1)a1=,d=-,Sm=-15,求m及am;
(2)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d;
(3)S5=24,求a2+a4.
【解】 (1)Sm=m·+·=-15,
整理,得m2-7m-60=0,解得m=12或m=-5(舍去),
∴am=a12=+(12-1)×=-4.
(2)由Sn==
=-1 022,得n=4.
又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.
(3)法一 设等差数列的首项为a1,公差为d,则S5=5a1+d=24,得5a1+10d=24,即a1+2d=,
∴a2+a4=a1+d+a1+3d=2(a1+2d)=2×=.
法二 由S5==24,得a1+a5=.
∴a2+a4=a1+a5=.
等差数列前n项和的最值
在等差数列{an}中,公差为d,若a1=25,且S9=S17,求数列{an}的前多少项和最大?
【精彩点拨】
【自主解答】 法一 由
得解得d=-2.
则Sn=25n+(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169,
∴数列{an}的前13项和最大.
法二 同法一解得d=-2,∴an=25+(-2)(n-1)=-2n+27.
令an>0,即-2n+27>0,解得n<13.5,
即数列{an}的前13项均为正数,第13项以后均为负数,
∴数列{an}的前13项和最大.
法三 ∵a1=25,S9=S17,∴公差d<0.
又Sn=na1+d=n2+n,设a=,b=a1-,则Sn=an2+bn(a<0),其图象是二次函数f(x)=ax2+bx图象上一群孤立的点.
∵S9=S17,即f(9)=f(17),
∴二次函数f(x)的图象的对称轴为x==13,且开口向下,
∴当x=13时,f(x)取得最大值,
∴数列{an}的前13项和最大.
等差数列前n项和的最值问题的三种解法
1.利用an:当a1>0,d<0时,前n项和有最大值.可由an≥0,且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0,前n项和有最小值,可由an≤0,且an+1≥0,求得n的值.
2.利用Sn:由Sn=n2+n(d≠0),利用二次函数配方法求得最值时n的值.
3.利用二次函数的图象的对称性.
[再练一题]
2.在等差数列{an}中,an=2n-14,试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值.
【导学号:91730031】
【解】 法一 ∵an=2n-14,
∴a1=-12,d=2,
∴a1
5时,bn>0;
当n=5时,bn=0.
由此可知,数列{bn}的前4项或前5项的和最小.
易知T4=T5=-20,故数列{bn}的前n项和Tn的最小值为-20.
我还有这些不足:
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
我的课下提升:
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
学业分层测评(九)
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7等于________.
【解析】 ∵S5=5a3=25,∴a3=5,∵a2=3,
∴d=a3-a2=2,
∴a7=3+5×2=13.
【答案】 13
2.已知等差数列{an}中,a+a+2a3a8=9,且an<0,则S10=________.
【解析】 由a+a+2a3a8=9,得(a3+a8)2=9,
∵an<0,∴a3+a8=-3,
∴S10==
==-15.
【答案】 -15
3.(2016·南京高二检测)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=________.
【解析】 由等差数列前n项和公式知S8==4(a1+a8)=4(a7+a2),又S8=4a3,∴4(a7+a2)=4a3,
∴-2+a2=a3,∴公差d=-2,∴a9=a7+2d=-6.
【答案】 -6
4.一个有11项的等差数列,奇数项之和为30,则它的中间项为________.
【导学号:91730033】
【解析】 ∵S奇=6a1+×2d=30,∴a1+5d=5,
S偶=5a2+×2d=5(a1+5d)=25,
∴a中=S奇-S偶=5.
【答案】 5
5.首项为正数的等差数列的前n项和为Sn,且S3=S8,当n=________时,Sn取到最大值.
【解析】 ∵S3=S8,∴S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=0,∴a6=0,∵a1>0,∴a1>a2>a3>a4>a5>a6=0,a7<0.
故当n=5或6时,Sn最大.
【答案】 5或6
6.(2015·安徽高考)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2),则数列{an}的前9项和等于________.
【解析】 由a1=1,an=an-1+(n≥2),可知数列{an}是首项为1,公差为的等差数列,故S9=9a1+×=9+18=27.
【答案】 27
7.已知等差数列{an}的前4项和为25,后4项和为63,前n项和为286,则项数n为________.
【解析】 ∵a1+a2+a3+a4=25,an-3+an-2+an-1+an=63,
而a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,
∴4(a1+an)=88,∴a1+an=22.
∴Sn==11n=286,∴n=26.
【答案】 26
8.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足50,S13<0.
(1)求公差d的取值范围;
(2)问前几项的和最大,并说明理由.
【解】 (1)∵a3=12,∴a1=12-2d,
∵S12>0,S13<0,
∴即
∴-0,S13<0,
∴
∴
∴a6>0.
又由(1)知d<0,
∴数列前6项为正,从第7项起为负,
∴数列前6项和最大.
[能力提升]
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=________.
【解析】 由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,所以等差数列的公差为d=am+1-am=3-2=1,
由
得
解得
【答案】 5
2.(2016·如东高二检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1,且对任意正整数n都有=,则Sn=________.
【导学号:91730034】
【解析】 由等差数列的通项公式可得,a2n=1+(2n-1)d,an=1+(n-1)d.
∵=,对任意n都成立,
∴=对任意n都成立,
当n=1时,有=3,解得d=2,
∴Sn=n×1+×2=n2.
【答案】 n2
3.若数列{an}是等差数列,首项a1>0,a2 003+a2 004>0,a2 003·a2 004<0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n=________.
【解析】 由条件可知数列单调递减,
故知a2 003>0,a2 004<0,
故S4 006=
=2 003(a2 003+a2 004)>0,
S4 007==4 007×a2 004<0,
故使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是4 006.
【答案】 4 006
4.(2016·无锡高二检测)在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22,求数列{|an|}的前n项和.
【解】 由已知得
得
∴an=a1+(n-1)d=-3n+53.
∴当n≤17,n∈N*时,an>0;
当n≥18,n∈N*时,an<0.
∴当n≤17,n∈N*时,
|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=na1+d=-n2+n;
当n≥18,n∈N*时
|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a17-a18-a19-…-an
=2(a1+a2+…+a17)-(a1+a2+…+an)
=n2-n+884.
∴当n≤17,n∈N*时,{|an|}的前n项和为-n2+n,
当n≥18,n∈N*时,{|an|}的前n项和为n2-n+884.
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