角平分线之斯库顿定理

三角形角平分线性质之库斯顿定理如果AD是△ABC的角平分线，则即AD2=AB·AC—BD·DC记忆方法：中方=上积—下积：证明：作△ABC的外接圆，延长AD交圆于E，连接BE∵∠E=∠C，∠1=∠2∴△ABE∽△ADCABAE∴ADAC即AD·AE=AB·ACAD·(AD+DE)=AB·AC即AD2+AD·DE=AB·AC由相交弦定理得BD·DC=AC·DE∴AD2+BD·DC=AB·AC即AD2=AB·AC—BD·DC22已知分别是椭圆xy10的左右焦点，是椭圆上一点（异于1.F1,F222(ab)Pab2左右定点），过点P作F1PF2的角平分线交x轴于点M，若2PMPF1PF2，则该椭圆的离心率为解析1：特殊值法22当点P在短轴顶点的时候，2ba222∴a2c，即e2解析2：角平分线定理+性质（斯库顿定理）2由斯库顿定理可知，PMPF1PF2MF1MF22∵2PMPF1PF21∴MFMFPFPF……①12212又由角平分线定理可知MFPF11……②MF2PF22122①×②得MFPF,即MFPF……③121121①2122得MFPF,即MFPF……④②2222222③+④得：2c22a，即e22.（浙江省A9协作体暑假返校联考16）已知在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AD=1，AC=2，则BD=解析1：角平分线定理+余弦定理BDAB3由角平分给定理可知:,设BD3x,CD2x,CDAC2A919x2在ABD中,由余弦定理得:cos①,26A414x2在ADC中,由余弦定理得:cos②,2430由①②可得:x,63030即BD3x．答案:22解析：角平分线定理+性质（斯库顿定理）BDAB3由角平分线定理可得：……①CDAC22由斯库顿定理可知：ADABACBDCD即BDCD5……②30由①②得：BD23.（2015.全国Ⅱ）在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD的面积是ADC面积的2倍.（1）求sinB；sinC2（2）若AD1,DC,求BD和AC的长.2解析1：角平分线定理+余弦定理1ABADsinBADSABsinC（1）ABD221SACDACADsinCADACsinB2sinB1故sinC2(2)由（1）得BD2CD2，设ACx,则AB2AC2x因为AD平分BAC，所以cosBADcosCAD22222x1()(2x)1(2)由余弦定理得2，4x2x解得x1故BD2和AC1的长解析：角平分线定理+性质（斯库顿定理）（1）同上（2）AB2AC,BD2CD22由斯库顿定理可知：ADABACBDCD22得12AC2,即AC12π3.在△ABC中，已知AB2，AC3，A，角A的平分线交边BC于D，则3AD_________．【答案】22525