土力学1-第四章土体中的应力计算

本章提要学习要点学习难点第四章：土体中的应力计算土体中的应力计算土体中的孔隙水压力计算有效应力原理与固结模型土体应力计算-弹性理论有效应力原理与固结-土水两相相互作用有效应力原理有渗流时土中应力计算孔压系数《土力学1》之第四章第四章：土体中的应力计算§4.1概述§4.2自重应力§4.3基底压力计算§4.4附加应力§4.5有效应力原理土中应力计算的目的和§4.1概述土中应力是指土体在自身重力、构筑物荷载及其他因素（如渗流、地震等）作用下，土中所产生的应力。土中应力将引起土的变形，从而使建筑物发生下沉、倾斜及水平位移等，如果变形过大，往往会影响建筑物的正常使用；此外，土中应力过大时，也会导致土的强度破坏，甚至使得土体发生滑动而失去稳定。因此，研究土体的变形、强度及稳定性等力学问题时，都必须掌握土中应力状态。所以计算土中应力分布是土力学的重要之一。土中应力计算的目的和方法§4.1概述自重应力：是指土体受到自身重力作用而存在的应力，又分为两种情况：一是成土年代长久，土体在自重作用下已完成压缩变形，如正常固结和超固结土，不再产生变形；二是成土年代不久，土体在自重作用下尚未完成压缩变形，如新近沉积土、新近填土等，仍将产生变形，称为欠固结土。土中应力按成因分为自重应力和附加应力，土中某点的自重应力与附加应力之和为土体受外荷载作用后的总和应力。附加应力：是指土体受外荷载（包括建筑物荷载、交通荷载、堤坝荷载等）以及地下水渗流、地震等作用下附加产生的应力增量，它是产生地基变形的主要原因，也是导致地基土的强度破坏和失稳的重要原因。E、与位置和方向无关土中应力计算方法，是将地基土视为均匀各向同性半无限弹性体理论：弹性力学解求解“弹性”土体中的应力方法：解析方法优点：简单，易于绘成图表等1）碎散体2）非线性弹塑性3）成层土各向异性应力计算时的基本假定εpεe加载卸载线弹性连续介质（宏观平均）线弹性体（应力较小时）均质各向同性体（土层性质变化不大）§4.1概述4）地基土可视为半无限体如图直角坐标系，土体中任一点的应力状态，可用一个正六面体单元上的应力来表示，即3个法向应力分量和6个剪应力分量，yyzxyzxxz§4.1概述XZY应力符号规定：1）法向应力以压应力为正，拉应力为负；2）剪应力：当剪应力作用面的外法线方向与坐标轴的正方向一致时，则剪应力方向与与坐标轴正方向一致时为负，反之为正；当剪应力作用面的外法线方向与坐标轴的正方向相反时，则剪应力方向与与坐标轴正方向一致时为正，反之为负。O土体中一点的应力状态§4.1应力状态及应力应变关系土中应力的类型土力学中应力符号的规定应力计算时的基本假定连续弹性均质各向同性半无限体小结自重应力附加应力第四章：土体中的应力计算水平地基中的自重应力§4.1概述§4.2自重应力§4.3基底压力计算§4.4附加应力§4.5有效应力原理§4.2自重应力土体的自重应力假定：水平地基半无限空间体半无限弹性体有侧限应变条件一维问题定义：是指土体受到自身重力作用而存在的应力，又分为两种情况：一是成土年代长久，土体在自重作用下已完成压缩变形，如正常固结和超固结土，不再产生变形；二是一是成土年代不久，土体在自重作用下尚未完成压缩变形，如新近沉积土、新近填土等，仍将产生变形，称为欠固结土。目的：确定土体的初始应力状态计算：一般地，地下水位以上用天然容重地下水位以下用浮容重§4.2自重应力土体的自重应力竖直向自重应力：假设土体是半无限体，其在自重下任一竖直切面都是对称的，土体中无剪应力存在，故地基中Z深度处的竖直向自重应力等于单位面积上的土柱重量均质地基：成层地基：水平向自重应力：K0称为侧压力系数，或静止土压力系数，可试验测定，也可用经验公式表示。将在第五、七章讨论。泊松比指在材料的比例极限内，由均匀分布的纵向应力所引起的横向应变与相应的纵向应变之比的绝对值。一般为0~0.5。§4.2自重应力土体的自重应力土层中有地下水时应根据土的性质确定是否考虑水的浮力作用对砂性土，应考虑水的浮力；对粘性土则视其物理状态而定，1H12H23H3zczcxcy地面地下水如地下水位以下的土受到水的浮力作用，则地下水位以上用天然容重，地下水位以下用浮容重；在地下水位以下，如埋藏有不透水层（例如岩层及只含结合水的坚硬粘土层），由于不透水层中不存在水的浮力，所以不透水层顶面及层面以下的自重应力应按上覆土层的水土总重计算，即水位以下土层全部用饱和重度计算。§4.2自重应力自重应力分布规律分布规律（砂性土及受水浮力作用情况粘土）分布线的斜率是容重在等容重地基中随深度呈直线分布自重应力在成层地基中呈折线分布在土层分界面处和地下水位处发生转折或突变cz1H12H22H3z1H12H23H3zczcxcy地面地下水§4.2自重应力自重应力分布规律分布规律（地下水位下埋藏有不透水层情况）地下水位以下的土受到水的浮力作用，则地下水位以上用天然容重，地下水位以下用浮容重；在地下水位以下，如埋藏有不透水层（例如岩层及只含结合水的坚硬粘土层），由于不透水层中不存在水的浮力，所以不透水层顶面及层面以下的自重应力应按上覆土层的水土总重计算，即水位以下土层全部用饱和重度计算。§4.2自重应力自重应力算例例4-1某土层及其物理性质指标如图4-5所示，计算土中自重应力。解第一层为细砂，地下水位以下的细砂受到水的浮力作用，其浮重度为：第二层粘土层的液性指数为，故认为粘土层受到水的浮力作用，其浮重度为：图4-5§4.2自重应力自重应力算例例4-2计算图4-6所示水下地基土中的自重应力分布。解水下的粗砂受到水的浮力作用，其浮重度为：粘土层因为=20%<p=24%，则IL<0，故认为土层不受水的浮力作用，土层面上还受到上面的静水压力作用。土中各点的自重应力计算如下：图4-6第四章：土体中的应力计算影响因素计算方法分布规律§4.1应力状态及应力应变关系§4.2自重应力§4.3基底压力计算§4.4附加应力§4.5有效应力原理§4.3基底压力计算基底压力：基础底面传递给地基表面的压力，也称基底接触压力。同时又是地基反作用于基础的基底反力。基底压力既是计算地基中附加应力的外荷载，也是计算基础结构内力的外荷载，上部结构自重及荷载通过基础传到地基之中基底压力计算上部结构基础地基建筑物基础结构的外荷载基底反力基底压力附加应力地基沉降变形影响因素计算方法分布规律上部结构的自重及各种荷载都是通过基础传到地基中的。§4.3基底压力计算基底压力的影响因素刚度形状大小埋深大小方向分布土类密度土层结构等基底压力是地基和基础在上部荷载作用下相互作用的结果，受荷载条件、基础条件和地基条件的影响荷载条件：基础条件:地基条件：理论中，暂不考虑上部结构的影响，用荷载代替上部结构，使问题得以简化；目前弹性理论中主要研究不同刚度的基础与弹性半空间体表面的接触压力分布问题。关于其理论推导过程可参阅相关书籍，本节仅讨论基底压力基本概念及简化计算方法。接触压力问题比较复杂，影响因素很多§4.3基底压力计算1）作用均布荷载，假设基础由许多小块组成，各小块之间光滑无摩擦，即绝对柔性基础（基础抗弯刚度EI=0→M=0）2）基础变形能完全适应地基表面的变形，基础上下压力分布必须完全相同，若不同将会产生弯矩，如由土筑成的路堤，可认为路堤本身不传递剪力，相当于柔性基础。3）基础底面的沉降则各处不同，中央大而边缘小；基底压力的分布弹性地基，完全柔性基础§4.3基底压力计算1）抗弯刚度EI=∞→M≠0，在中心荷载下，基础只能保持平面下沉不能弯曲，基底各点的沉降是相同的，压力分布呈马鞍型，中间小,两端无穷大，见图a);基底压力的分布弹性地基，绝对刚性基础马鞍型抛物线型倒钟型2）但荷载较大时，基础边缘土体由于应力过大而发生塑性变形，边缘应力不再增加，而使中间部分土体应力增加，压力重分布后呈抛物线型，图b);3)如荷载继续增大，则基底压力会继续发展而呈钟型分布，图c)桥梁墩台基础采用大块混凝土实体结构，其刚度很大，可认为是绝对刚性基础。§4.3基底压力计算简化计算方法：假定基底压力按直线分布的材料力学方法基底压力的简化计算基底压力的分布形式十分复杂弹性理论圣维南原理：基底压力的分布形式对土中应力分布的影响仅局限于一定深度范围；超出此范围以后，地基中附加应力的分布将与基底压力的分布关系不大，而只取决于荷载的大小、方向和合力的位置。§4.3基底压力计算BLPBPBLPBLPoxyBPBP基础形状与荷载条件的组合矩形条形竖直中心竖直偏心倾斜偏心P:单位长度上的荷载注：M为弯矩，I为基础截面的惯性矩。§4.3基底压力计算矩形基础上的集中荷载exxyeyBLN矩形面积双向偏心荷载BLxyN矩形面积中心荷载单向x轴偏心，偏心距ex§4.3基底压力计算eB/6:出现拉应力区exyBLKNK=B/2-e矩形面积单向偏心荷载出现拉力时，应进行压力调整，原则：基底压力合力与总荷载相等3K§4.3基底压力计算BeP’PPvPh倾斜偏心荷载条形基础竖直偏心荷载分解为竖直向和水平向荷载，水平荷载引起的基底水平应力视为均匀分布其它荷载P:单位长度上的荷载§4.3基底压力计算基底压力分布的影响因素基底压力的分布形式简化计算方法荷载条件基础条件地基条件绝对柔性基础绝对刚性基础假定基底压力按直线分布的材料力学方法小结第四章：土体中的应力计算§4.1应力状态及应力应变关系§4.2自重应力§4.3基底压力计算§4.4附加应力§4.5有效应力原理§4.4附加应力地基中的附加应力附加应力是指土体受外荷载（包括建筑物荷载、交通荷载、堤坝荷载等）以及地下水渗流、地震等作用下附加产生的应力增量，它是产生地基变形的主要原因，也是导致地基土的强度破坏和失稳的重要原因。竖直集中力矩形面积竖直均布荷载矩形面积竖直三角形荷载水平集中力矩形面积水平均布荷载竖直线布荷载条形面积竖直均布荷载圆形面积竖直均布荷载特殊面积、特殊荷载主要讨论竖直应力竖直集中力矩形内积分矩形面积竖直均布荷载矩形面积竖直三角形荷载水平集中力矩形内积分矩形面积水平均布荷载线积分竖直线布荷载宽度积分条形面积竖直均布荷载圆内积分圆形面积竖直均布荷载L/B≥10特殊荷载：将荷载和面积进行分解，利用已知解和叠加原理求解§4.4附加应力地基中的附加应力§4.4附加应力集中荷载的附加应力竖直集中力－布辛内斯克课题竖直集中力－布辛内斯克课题土中附加应力是由建筑物荷载引起的应力增量，本节主要讨论竖直集中力作用时土中的应力计算。虽然在实践中是没有集中力的，但它在土中应力计算中是一个基本公式，应用集中力的解答，通过叠加原理或数值积分方法可以得到各种分布荷载作用时的土中应力计算公式。下面讨论在均匀各向同性的半无限体表面，作用一竖向集中力Q，计算半无限体内任一点M的应力。§4.4附加应力集中荷载的附加应力竖直集中力－布辛内斯克课题yyzxyzxxzQyzMzRβxxorαMy竖直集中力－布辛内斯克课题（Q；x,y,z；R,α,β）§4.4附加应力法国数学家布辛内斯克（J.Boussinesq）1885年推出了该问题的弹性力学解答，包括六个应力分量和三个方向位移的表达式教材P63~64页集中荷载的附加应力竖直集中力－布辛内斯克课题其中，竖向应力z：集中力作用下的地基竖向附加应力分布系数查表4－2§4.4附加应力集中荷载的附加应力例题4-3地表作用集中力Q=200kN，计算地面深度z=3m处水平面上及距离Q的作用点r=1m处竖直面上的竖向法向应力分布。§4.4附加应力——集中荷载的附加应力集中荷载的附加应力例题4-4§4.4附加应力——集中荷载的附加应力例题4-4（续上）0.51.01.52.02.53.0r/z0.50.40.30.20.10yzxoPMxyzrRβM’α特点：1.α随r/z的增大而减小§4.4附加应力竖直集中力－布辛内斯克课题特点2.Q作用线上，r=0,=3/(2π）,z=0,σz→∞，z→∞，σz=03.在某一水平面上z=const，r=0,最大，r↑，减小，σz减小4.在某一圆柱面上r=const，z=0,σz=0，z↑，σz先增加后减小5.σz等值线－应力泡应力球根球根PP0.1P0.05P0.02P0.01P§4.4附加应力竖直集中力－布辛内斯克课题§4.4附加应力集中荷载的附加应力水平集中力－西罗提（Cerruti）课题yyzxyzxxzyzxoPMxyzrRβMαP83页（4－48）§4.4附加应力竖直分布荷载的附加应力上述讨论了竖直集中力作用时土中的应力计算。实际上建筑物作用于地基的荷载，总是分布在一定面积上的局部荷载，理论上的集中力是不存在的。若基础底面的形状或基底下的荷载分布不

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时，则可以把分布荷载分割为许多集中力，然后应用B氏解和叠加原理计算土中应力；若基础底面的形状及基底下的荷载分布都是有规律时，则可用数值积分法解得土中应力。求解上式取决于3个边界条件：1）分布荷载p（，）的分布规律及大小；2）分布荷载分布面积F的几何形状及大小；3）应力计算点M的坐标值x、y、z值。§4.4附加应力——空间问题pM矩形分布荷载的附加应力矩形面积竖直均布荷载角点下的垂直附加应力：B氏解的应用P70页（4－27）n=L/B,m=z/B矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数a：表4-9矩形内：矩形外：荷载与应力间满足线性关系叠加原理角点计算公式任意点的计算公式矩形分布荷载的附加应力矩形面积竖直均布荷载任意点的垂直附加应力—角点法BACDabABCDcd§4.4附加应力——空间问题§4.4附加应力——空间问题矩形分布荷载的附加应力矩形面积竖直三角形分布荷载pM矩形面积竖直三角分布荷载角点下的应力分布系数：表4-11B不是基础宽度，而是三角形荷载分布方向的基础边长)oP73页（4－28）§4.4附加应力矩形分布荷载的附加应力例题4-8§4.4附加应力矩形分布荷载的附加应力例题4-9§4.4附加应力——空间问题其它荷载的附加应力圆形面积竖直均布荷载作用§4.4附加应力——平面问题条形分布荷载的附加应力竖直线布荷载-弗拉曼（Flamant）解-B氏解的应用M§4.4附加应力——平面问题任意点的附加应力：F氏解的应用条形分布荷载的附加应力条形面积竖直均布荷载条形面积竖直均布荷载作用时的应力分布系数：表4-14注意坐标轴的原点在均布荷载的中点处n=x/B,m=z/BP76页（4－35）§4.4附加应力——平面问题条形分布荷载的附加应力条形面积竖直三角形分布荷载任意点的附加应力：F氏解的应用n=x/B,m=z/BP78页（4－45）条形面积竖直三角形分布荷载作用时的应力分布系数：表4-15注意坐标轴的原点在三角形荷载的零点处§4.4附加应力例题4-10§4.4附加应力例题4-10（续）§4.4附加应力——竖直集中荷载作用下(表4-2)a——矩形面积竖直均布荷载作用角点下(表4-9)t——矩形面积三角形分布荷载作用压力为零角点下(表4-11)u——条形面积竖直均布荷载作用时(表4-14)s——条形面积三角形分布荷载作用时(表4-15)c——圆形面积均布荷载作用时(表4-6)小结底面形状荷载分布计算点位置应力系数§4.4附加应力上层软弱，下层坚硬轴线附近应力集中，σz增大应力集中程度与土层刚度比有关随H/B增大，应力集中减弱上层坚硬，下层软弱轴线附近应力扩散，σz减小应力扩散程度与土层刚度比有关随H/B的增大，应力扩散减弱HE1硬层E2>E1成层均匀H硬层E1E2