马克思《数学手稿》

［数学手稿］ 马克思 数学上的所谓公理， 是数学需要用作自己的出发点的少数思 想上的。数学是数量的科学；它从数量这个概念出发。它给 这个概念下一个不充分的定义， 然后再把未包含在定义中的数量 所具有的其他基本规定性，当作公理从外部补充进去，这时，这 些规定性就表现为未加证明的东西， 自然也就表现为 数学上 无法 证明的东西。 对数量的会得出这一切公理式的规定， 即数量 的必然的规定。 斯宾塞说得对： 我们所认为的这些公理的 自明性 是承继下来的 。这些公理只要不是纯粹的同义反复， 就是可以辩 证地证明的。 数学问题 。看来，再没有什么东西比四则 （一切数学的要素） 的差别具有更牢固的基础。 然而，乘法一开始就表现为一定数目 的相同数量的缩简的加法， 除法则为其缩简的减法， 而且除法在 一种情况下，即除数是一个分数时，是把分数颠倒过来相乘。 代数的运算却进步了很多。每一个减法（ａ－ｂ）都可以用 加法（－ｂ＋ａ）表示出来，每一个除法ａｂ都可以用乘法ａ× １ｂ表示出来。 至于用幂来运算， 就更进步得多了。 计算的一切固定差 别都消失了， 一切都可以用相反的形式表示出来。 幂可以写作根 （ｘ ２＝ｘ４），根可以写作幂（Ｘ＝Ｘ１２）。１被幂除或被 根除，可以用分母的幂来表示 （１Ｘ＝ｘ１２１ｘ３＝ｘ－３） 。 一个数的几个幂的乘或除， 可以变做它们的各个指数的相加或相 减。任何一个数都可以理解为和表示为其他任何一个数的幂 （对 数，ｙ＝ａｘ） 。而这种从一个形式到另一个相反的形式的转变， 并不是一种无聊的游戏， 它是数学科学的最有力的杠杆之一， 如 __________果没有它， 今天就几乎无法去进行一个比较困难的计 算。如果从数学中仅仅把负数幂和分数幂取消掉， 那末结果会怎 样呢？（－·－＝＋，＝＋，－１等等，应在前面说明。）数学 中的转折点是笛卡儿的 变数 。有了变数，运动进入了数学， 有了 变数，辩证法 进入了数学， 有了变数，微分和积分也就立刻成为 必要的了 ，而它们也就立刻产生， 并且是由牛顿和莱布尼茨大体 上完成的，但不是由他们发明的。 量和质。 数是我们所知道的最纯粹的量的规定。 但是它充满 了质的差异。 （１）黑格尔， 数目和单位， 乘和除， 乘方和开方。 通过这些就可得出黑格尔所没有着重指出的质的差异： 质数和乘 积，简单的根和幂。１６不仅仅是１６个１的和，而且也是４的 ２次方和２的４次方。 不仅如此， 质数给予由它和其他数相乘而 得的数以新的一定的质： 只有偶数才能被２除， 对于４和８也有 类似的规定。 在用３做除数的情况下， 有数字和的定律。 在用９和６的情 况下也是一样， 但是在用６的情况下必须同时是偶数。 在用７的 情况下有特殊的定律。 数字游戏就建立在这上面， 没有学过的人 是莫名其妙的。所以黑格尔（《量》第２３７页）关于算术没有 思想性的说法是不正确的。但是参看《度量》４５６。 只要数学谈到无限大和无限小， 它就导入一个质的差异， 这 个差异甚至表现为不可克服的质的对立：量的相互差别太大了， 甚至它们之间的每一种合理的关系、 每一种比较都失效了， 甚至 它们变成在量上不可通约的了。通常的不可通约性，例如，圆和 直线的不可通约性也是辩证的质的差异； 但是在这里①正是 同一 类数量的 量的 差异把 质的 差异提高到不可通约性。 数。单个的数在记数法中已经得到了某种质， 而且质是依照 这种记数法来决定的。９不仅是１相加九次的和，而且是９０、 ９９、９０００００等等的基数。 一切数的定律都取决于所采用 的记数法， 而且被这个记数法所决定。 在２进位记数法和３进位 记数法中，２×２不＝４，而＝１００或＝１１。在以奇数作基 数的每种记数法中， 偶数和奇数的差异不复存在了， 例如在５进 位记数法中，５＝１０，１０＝２０，１５＝３０。同样，在这 种记数法中， ３或９的倍数的数字和可以被３除尽的规则也失去 作用了（６＝１１，９＝１４）。因此，基数不但决定它自己的 质，而且也决定其他一切数的质。 关于幂的关系， 问题就更进一步： 每个数都可以当做其他任 何一个数的幂——有多少整数和分数，就有多少对数系统。 一。再没有什么东西看起来比这个数量单位更简单了， 但是， 只要我们把它和相应的多联系起来， 并且按照它从相应的多中产 生出来的各种方式加以研究，就知道再没有什么比一更多样化 了。 一首先是整个正负数系统中的基数， 它继续自相加下去就可 得出其他任何数目。 ——一是一的所有正幂、 负幂和分数幂的表 现：①即在无限的数学中。１２，１，１－２都等于一。——一 是分子和分母相等的一切分数的值。 ——一是任何数的零次幂的 表现，因此，它是在所有对数系统中其对数都相同即都等于零的 唯一的数。这样，一是把所有可能的对数系统分成两部分的界限： 如果底大于一， 则一切大于一的数的对数都是正的， 而一切小于 一的数的对数都是负的；如果底小于一，则恰恰相反。因此，如 果说，任何数是由相加起来的一所组成，因而自身包含着一，那 末，一自身也同样包含着其他一切数。这不只是可能性，因为我 们能仅仅用一来构成任何数； 而且是现实， 因为一是其他任何数 的一定的幂。 数学家们在做起来对自己方便的地方， 都不动声色 地在自己的计算中引用ｘ０＝１，或引用分子和分母相等的分 数，即等于一的分数，因而在数学上运用了包含在一中的多。但 是，如果有人以一般的表达方式向他们说， 一和多是不能分离的、 相互渗透的两个概念， 而且多包含于一中， 正如一包含于多中一 样，他们就会皱起鼻子，并做起鬼脸来。但是，只要我们一离开 纯粹数的领域，我们就会看到这是实在情形。在测量长度、面积 和体积时就很明显，我们可以采用任何适当的数量来作为单位， 而在测量时间、重量和运动等等时也是如此。对于测量细胞，甚 至毫米和毫克也太大了； 对于测量星球的距离或光的速度， 公里 也嫌太小而不适用；对于测量行星的、尤其是太阳的质量，公斤 也太小了。 在这里很明显地看出， 什么样的多样性和多都包含在 这个初看起来如此简单的单位概念中。 零是任何一个确定的量的否定， 所以不是没有的。 相反 地，零是具有非常确定的内容的。 作为一切正数和负数之间的界 线，作为能够既不是正又不是负的唯一真正的中性数， 零不只是 一个非常确定的数， 而且它本身比其他一切被它所限定的数都更 重要。事实上，零比其他一切数都有更丰富的内容。把它放在其 他任何一个数的右边， 按我们的记数法它就使该数增加十倍。 为 此，本可以用其他任何一个记号来代替零，但是有一个条件，即 这个记号就其本身来说是表示零，即＝０。因此，零获得这种应 用，而且唯有它才 能够 这样被应用，这是在于零的性质本身。零 乘任何一个数，都使这个数变成零；零除任何一个数，使这个数 变成无限大，零被任何一个数除，使这个数变成无限小；它是和 其他任何一个数都有无限关系的唯一的数。 ００可以表现－和＋之间的任何数， 而且在每一种情况下都 代表一个实数。 ——一个方程式的真实内容， 只有当它的所有各 项都被移到一边， 从而把它的值约简为零时， 才能清楚地表现出 来，这在二次方程式中已是如此， 而在高等代数学中几乎是一般 的规则。一个函数Ｆ（ｘ，ｙ）＝０，同样可以等于ｚ，而这个 ｚ虽然＝０， 却可以象普通的因变数一样被微分， 而且可以求得 它的偏微分商。 但是，任何一个量的无，本身还是有量的规定的，并且仅仅 因此才能用零来运算。 一些数学家泰然自若地以上述方式用零进 行运算， 即把零当作一定的量的观念而用于运算， 使它和其他量 的观念发生量的关系，但是他们在黑格尔那里读到这被概括为： 任何某物的无，是某个 特定的 无①，就大惊失色了。 现在来谈（解析）几何。在这里零是一个特定的点，从这点 起，在一条直线上某一方向定为正， 而相反的方向定为负。 因此， 在这里零点不仅和表示某一正数或负数的任何点同样重要， 而且 比所有这些点更重要得多： 它是所有这些点所依存、 所有这些点 与之有关系、所有这些点由之决定的一点。在许多情况下，它甚 至可以任意选定。 但是一经选定， 它就始终是全部运算的中心点， 甚至常常决定其他各点（横座标终点）所在的线的方向。例如， 如果我们为了求得圆的方程式而选择圆周上的任何一点作为零 点，那末横座标轴必定通过圆心。这一切在力学中也得到应用， 在那里， 在计算运动时， 每次选定的零点都构成整个运算的要点 和轴心。 温度表上的零点是温度段的十分确定的最低的界限， 温 度段可以任意地分成若干度数， 从而可以作为这一段内的温度的 量度，以及较高或较低的温度的量度。因此，零点在这里也是一 个极其重要的点。甚至温度表上的绝对零点也决不代表纯粹的、 抽象的否定，而是代表物质的十分确定的状态，即一个界限，在 这个界限上， 分子独立运动的最后痕迹消失了， 而物质只是作为 质量起着作用。总之，无论我们在什么地方碰到零，它总是代表 某种十分确定的东西， 而它在几何学、 力学等等中的实际应用又 证明：作为界限，它比其他一切被它限定的实数都更重要。 零次幂。 ０１００１１０１２１０２３１０３中， 零次幂是 很重要的。 一切变数都会在某个地方经过一； 因此，如果ｘ＝０， 那末以变数作为指数的常数 αｘ＝１。 α０＝１所表现的， 也不 外是和ａ的幂级数的其他各项联系起来去理解的一， 它只有在这 种情形下才有意义，才能得出结果（ Σｘ０＝ ω）４５７，否则 就不成。由此可知：尽管一显得和自身非常地等同，它本身也包 含着无限的多样性， 因为它能够是其他任何一个数的零次幂； 这 种多样性决不是纯粹虚构的， 它在一被看作确定的一， 被看作和 这个过程相联系的某个过程的可变的结果之一 （被看作某一变数 的暂时的数值或形式）的时候，每一次都会显现出来。 －１。——代数学上的负数，只是对正数而言，只是在和正 数的关系中才是实在的；在这种关系之外，就其本身来说，它们 纯粹是虚构的。 在三角学、 解析几何以及以这两者为基础的高等 数学的某些部门中， 它们是表示和正的运动方向相反的一定的运 动方向； 但是，不论从第一象限或第四象限都同样能计算出圆的 正弦和正切，这样就可以把正和负直接颠倒过来。同样，在解析 几何中， 圆中的横座标从圆周或从圆心开始都可以计算出来， 而 且，在一切曲线中， 横座标都可以从通常定为负的方向上的曲线， ［或者］ 从任何其他方向上的曲线计算出来， 并得出曲线的正确 的、合理的方程式。在这里，正只是作为负的补充而存在，反之 亦然。 但是代数学的抽象把它们［负数］当做独立的实数，它们在 和某些 较大的 正数的关系之外，也是有意义的。 数学。把某个确定的数， 例如把一个二项式， 化为无穷级数， 即化为某种不确定的东西， 从常识来说， 这是荒谬的举动。 但是， 如果没有无穷级数和二项式定理，那我们能走多远呢？ 渐近线。 几何学开始于下列的发现： 直线和曲线是绝对对立的， 直线完全 不能用曲线表现， 曲线也完全不能用直线表现， 两者是不能通约 的。但是，连圆的计算也只有用直线来表现它的圆周时才有可能。 而在具有渐近线的曲线的情形下， 直线完全化为曲线， 曲线完全 化为直线；平行的观念也同样趋于消失：两条线并不是平行的， 它们不断地互相接近，但永远不相交。曲线的臂愈来愈伸直，但 永远不能完全变成直 __________线，正如在解析几何中直线被看 作曲率无限小的一次曲线一样。 但是不论对数曲线的－ｘ变得多 么大，ｙ始终不会＝０。 直线和曲线 在微分中终于等同起来了： 在以弧的微分 （如果 用切线法） 构成自己的斜边的微分三角形中， 我们可以把这个斜 边看作“既是弧的要素又是切线的要素的一小条直线” ——不管 我们把曲线看作由无限多的直线所构成， 还是“看作真正的曲线； 因为在每一Ｍ点上曲度既然是无限地小， 所以曲线要素和切线要 素的最后关系 显然是相等的关系 ①”。 在这里， 关系虽然不断地 接近 于相等， 但是根据曲线的本性 来说这种接近是 渐近的 ，因为相切处局限在一个无长度的点上， 不过最后还是可以假定，直线和曲线的相等是达到了（波绪《微 积分》共和六年巴黎版第１卷第１４９页）４５８。在极曲线４ ５９中， 虚构的微分横座标甚至被认为和实在的横座标平行， 并 根据这个假定进行运算， 虽然两者相交于极上； 由此甚至推论出 两个三角形是相似的， 其中一个三角形有一个角刚好在这样两条 线的交点上， 而这两条线的平行却是整个相似的基础！ （图１７） ４６０当直线和曲线的数学可以说已经山穷水尽的时候， 一条新 的几乎无穷无尽的道路，由那种 把曲线视为直线 （微分三角形） 并把 直线视为曲线（曲率无限小的一次曲线） 的数学开拓出来了。 呵，６０８自然辩证法札记和片断①着重号是恩格斯加的。 三角学。在综合几何学只从三角形本身详述了三角形的性质 并且再没有什么新东西可说之后， 一个更广阔的天地被一个非常 简单的、 彻底辩证的方法开拓出来了。 三角形不再被孤立地只从 它本身来考察，而是和另一种图形，和圆形联系起来考察。每一 个直角三角形都可以看作一个圆的附属物： 如果斜边＝ｒ， 则夹 直角的两边分别为正弦和余弦； 如果这两边中的一边＝ｒ， 则另 一边＝正切，而斜边＝正割。这样一来，边和角便得到了完全不 同的、特定的相互关系，如果不把三角形和圆这样联系起来，这 些关系是决不能发现和利用的。 于是一种崭新的三角理论发展起 来了，它远远地超过旧的三角理论而且到处可以应用， 因为任何 一个三角形都可以分成两个直角三角形。 三角学从综合几何学中 发展出来， 这对辩证法来说是一个很好的例证， 说明辩证法怎样 从事物的相互联系中理解事物，而不是孤立地理解事物。 同一和差异 ——在微分中已经存在辩证的关系， 在那里， ｄ ｘ是无限小，然而是起作用的并且是无所不能的。 分子和微分。 维德曼（第３册第６３６页）４６１把有限的 距离和 分子的 距离看作直接互相对立的东西。 关于现实世界中数学的无限的原型 ４６２ 附在第１７—１８页 ①：思维和存在的一致。 ——数 学中的无限 我们的主观的思维和客观的世界服从于同样的规律， 因而两者在 自己的结果中不能互相矛盾， 而必须彼此一致， 这个事实绝对地 统治着我们的整个理论思维。 它是我们的理论思维的不自觉的和 无条件的前提。 十八世纪的唯物主义， 由于它在本质上是形而上 学的性质， 只就这个前提的内容去研究这个前提。 它只限于证明 一切思维和知识的内容都应当起源于感性的经验， 而且又提出了 下面这个命题： 凡是感觉中未曾有过的东西， 即不存在于理智中 ４６３。 只有现代唯心主义的而同时也是辩证的哲学， 特别是黑 格尔，还从 形式 方面去研究了这个前提。 尽管我们在这里遇到无 数的任意虚构和凭空臆造， 尽管这种哲学的结果——思维和存在 的统一采取了唯心主义的头足倒置的形式， 却不能否认： 这个哲 学在许多情况下和在极不相同的领域中， 证明了思维过程同自然 过程和历史过程是类似的， 反之亦然， 而且同样的规律对所有这 些过程都是适用的。 另一方面， 现代自然科学已经把全部思维内 容起源于经验这一命题加以扩展， 以致把它的旧的形而上学的限 制和公式完全推翻了。 由于它承认了获得性的遗传， 它便把经验 的主体从个体扩大到类； 每一个体都必须亲自去经验， 这不再是 必要的了； 它的个体的经验， 在某种程度上可以由它的历代祖先 的经验的结果来代替。 如果在我们中间， 例如数学公理对每个八 岁的小孩都似乎是不言而喻的， 都无需用经验来证明， 那末这只 是“积累起来的遗传”的结果。要用证明来给布须曼人或澳大利 亚黑人把这些公理解说清楚，却未必可能。 在本 __________①中，辩证法被看作关于 一切 运动的最普 遍的规律的科学。 这就是说， 辩证法的规律无论对自然界和人类 历史的运动，或者对思维的运动，都一定是同样适用的。这样的 规律可以在这三个领域的两个中， 甚至在所有三个领域中被认识 出来，只有形而上学的因袭者不明白他所看到的是同一个规律。 让我们举一个例子。 在一切理论成就中， 未必再有什么象十 七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。 如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩， 那就正是在这里。 现在还环绕在微积分中所运用的各种数量 （各 次的微分和无限）周围的神秘，是下列事实的最好的证明：人们 还在设想， 这里所研究的是人类精神的纯粹的 “自由创造物和想 象物”②，而客观世界决没有与之相适应的东西。可是情形恰恰 相反。 自然界对这一切想象的数量都提供了原型。 我们的几何学是从空间关系出发， 我们的算术和代数学是从 数量出发，这些数量和我们的地球上的关系相适应，就是说，和 存在于地球上并由人使之运动的、 力学称之为质量的物体的大小 相适应。和这些质量比起来，地球的质量显得是无限大，而它也 就被地球上的力学当做无限大来看待。 地球半径等于无限大， 这 是考察落体定律时整个力学的原则。 但是，当我们所考察的是那 些用天文望远镜才能观察到的恒星系中的、 必须以光年来计算的 距离时，不只是地球，而且整个太阳系以及其中的各种距离，都 又成为无限小了。这样，我们在这里不仅有一次的无限，而且还 有二次的无限， 我们的读者如果高兴的话， 还可以用自己的想象 构造出无限空间里的次数更高的无限。 但是，按照现在在物理学和化学中占统治地位的观点， 地球 上的质量，即力学所研究的物体，都是由分子构成的，而分子是 最小的微粒，如果不破坏所研究的物体的物理的和化学的同一 性，便不能再分割它。根据威·汤姆生的计算，最小的分子的直 径不能小于一毫米的五千万分之一４６４。 但是，即使我们假定 最大的分子的直径达到一毫米的二千五百万分之一， 那末分子和 力学、物理学、甚至化学所研究的最小的质量比较起来，仍然是 一个非常微小的量。 虽然如此， 分子还是具有有关质量所特有的 一切性质， 它在物理方面和化学方面都可以代表质量， 而且的确 在一切化学方程式中都代表质量。 一句话， 分子和相应的质量具 有完全同样的特性， 正如数学上的微分和它的变数一样。 唯一的 差别是：在微分中，在数学的抽象中，在我们看来似乎是神秘的 和无法解释的东西， 在这里却是不证自明的， 并且可以说是一目 了然的。 自然界运用这些微分即分子时所使用的方式和所依据的规 律，完全和数学运用其抽象的微分时的方式和规律相同。例如： ｘ３的微分是ｘ２ｄｘ， 这里略去了３ｘｄｘ２和ｄｘ３。 如果 我们用几何图形来表示， 我们就可以得到一个边长ｘ增大了无限 小ｄｘ的立方体。 我们假定这一立方体是由一种容易升华的元素 构成的，比方说，是由硫磺构成的；再假定构成一个角的三面是 遮盖起来的， 而其余的三面则露在空中。 我们把这个硫磺立方体 放在硫磺蒸汽中， 再把温度充分降低， 于是硫磺蒸汽就凝结在这 个立方体的露出的三面上。 如果我们为了设想这是一个纯粹的过 程，假定在这三面的每一面上最初凝结了一个分子厚的一层， 我 们就不超过物理学和化学惯用的实验方法。 立方体各边的长ｘ增 大了一个分子直径的长度ｄｘ。 立方体的容积ｘ３增加了ｘ３和 ｘ３＋３ｘ２ｄｘ＋３ｘｄｘ２＋ｄｘ３之差， 按照数学中的同 样的理由， 我们可以略去ｄｘ３和３ｘｄｘ２， 即略去一个分子 和排成直线的、长ｘ＋ｄｘ的三排分子。结果是一样的：这个立 方体的质量增加了３ｘ２ｄｘ。 严格说来，一个硫磺立方体上面并不存在ｄｘ３和３ｘｄｘ ２，因为在同一空间内不能有两个或三个分子存在， 因而这个立 方体的质量的增加恰好是３ｘ２ｄｘ＋３ｘｄｘ＋ｄｘ。 这可以 由下列事实来说明：在数学上ｄｘ是一个线量，而大家知道，这 种没有厚和宽的线并不能独立地存在于自然界中， 因此数学的抽 象也只是在纯粹的数学中才是无条件地有效的。 既然这个３ｘ２ ｄｘ＋ｄｘ３也可以略去，所以丝毫差别都没有了。 蒸发的情形也是一样。如果一杯水的最上面一层分子蒸发 了，那末水层的高度ｘ就减少了ｄｘ， 这样一层分子又一层分子 地继续蒸发， 事实上就是一个连续不断的微分。 如果热的水蒸汽 在一个容器中由于压力和冷却又凝结成水， 而且分子一层又一层 地累积起来 （在这里， 我们必须把那些使过程变得不纯粹的附带 情况撇开不谈），直到容器满了为止，那末这里就真正进行了一 种积分， 这种积分和数学上的积分不同的地方只在于： 一种是由 人的头脑有意识地完成的，另一种是由自然界无意识地完成的。 但是，和微积分完全类似的过程， 还不仅仅在从液态到气态 或从气态到液态的转变中发生。当物体的运动由于碰撞而停止， 并且转变为热， 即转变为分子运动的时候， 如果这不是物体的运 动被微分，那又是什么呢？当水蒸汽的分子运动在蒸汽机的汽缸 中积累起来， 把活塞举高一定的距离， 而自己转变为物体的运动 的时候， 这一运动不是被积分了吗？化学把分子分解为原子， 即 具有更小的质量和体积的量， 然而是同次的量， 所以二者相互间 具有确定的、有限的关系。因此，表示物体的分子组合的一切化 学方程式， 就形式来说是微分方程式。 但是这些方程式实际上已 经由于其中所表示的原子量而积分起来了。 化学所计算的正是量 的相互关系为已知的微分。 但是，原子决不能被看作简单的东西或已知的最小的实物粒 子。撇开愈来愈倾向于原子具有复杂成分这一观点的化学本身不 谈，大多数物理学家都断言：宇宙以太，即光辐射和热辐射的媒 介，同样地是由非连续的粒子所组成， 但是这些粒子是如此地小， 以致它们对化学的原子和物理的分子的关系就象化学的原子和 物理的分子对力学的物体的关系一样， 也就是象ｄｘ对ｄｘ的关 系一样。这样，在这里，在现在流行的关于物质构造的观念中， 我们也有了二次微分； 每个人只要高兴， 都完全有理由设想自然 界中一定还存在着和ｄ３ｘ，ｄ４ｘ等等相似的东西。 因此，关于物质构造不论采取什么观点， 下面这一点是非常 肯定的： 物质是按质量的相对的大小分成一系列较大的、 容易分 清的组，使每一组的各个组成部分互相间在质量方面都具有确定 的、有限的比值， 但对于邻近的组的各个组成部分则具有在数学 意义下的无限大或无限小的比值。可见的恒星系，太阳系，地球 上的物体，分子和原子，最后是以太粒子，都各自形成这样的一 组。情形并不会因我们在各个组之间找到中间环节而有所改变。 例如，在太阳系的物体和地球上的物体之间有小行星 （其中有一 些，它们的直径并不比幼系罗伊斯公国４６５的直径更长）、流 星等等；例如，在地球上的物体和分子之间有有机界中的细胞。 这些中间环节只是证明： 自然界中没有飞跃， 正是因为 自然界自 身完全由飞跃所组成。 只要数学所计算的是现实的量， 它就也要直截了当地应用这 个观点。对地球上的力学说来，地球质量已经被看作无限大；在 天文学中， 地球上的物体及与之相当的陨石就被看作无限小； 同 样，对于天文学来说， 只要它超出最邻近的恒星的范围来研究我 们这一恒星系的构造，太阳系诸行星的距离和质量就会趋近于 零。 但是，只要数学家退入他们的不可攻克的抽象堡垒， 即所谓 纯数学，这一切相似就都被忘却，无限就变成完全神秘的东西， 而在分析中所运用的方式和方法就显得是完全不可理解的、 同一 切经验和一切理智相矛盾的东西了。 数学家们用来为他们的这种 总是奇怪地得到正确结果的方法与其说是作说明， 毋宁说是作辩 解的愚蠢和荒谬， 超过了例如黑格尔的自然哲学的外表上和实际 上的最坏的幻想， 可是对这种幻想， 数学家和自然科学家却害怕 得难以言喻。 他们谴责黑格尔把抽象推到了极端， 可是他们自己 正是这样做，而且规模还大得多。他们忘记了：全部所谓纯数学 都是研究抽象的， 它的 一切 数量严格说来都是想象的数量， 一切 抽象在推到极端时都变成荒谬或走向自己的反面。 数学的无限是 从现实中借来的， 尽管是不自觉地借来的， 所以它不能从它自身、 从数学的抽象来说明， 而只能从现实来说明。 如我们已经看到的， 如果我们从这方面来研究现实， 那我们就可以看到数学的无限关 系所从之而来的现实关系， 甚至可以看到使这种关系起作用的数 学方法在自然界中的类似物。而这样一来，问题就说明了。 （海克尔对思维和存在的同一性的很坏的复述。 但是也可说 明连续的物质和非连续的物质之间的矛盾 ；见黑格尔。）４６６ 只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明 状态 ，并 且也表明 过程 ：运动。 数学的应用： 在固体力学中是绝对的， 在气体力学中是近似 的，在液体力学中已经比较困难了； 在物理学中多半是尝试性的 和相对的；在化学中是最简单的一次方程式；在生物学中＝０。