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3 .隐函数求导法则
设方程 F ( x , y , z ) = 0 确定一个隐函数 z = f ( x ,y),函数 F ( x , y , z )具有连续偏导数且Fz ≠0 ,则有
4 .高阶偏导数
二阶及二阶以上的偏导数统称高阶偏导数,如 z = f (x ,y)的二阶偏导数按求导次序不同有下列四个:
(两种计算顺序的结果一样)
5 .全微分概念
若函数 z = f ( x ,y)的全增量
其中 A 、 B 仅与x, y 有关,而
,则称函数z= f ( x ,y)在点 ( x ,y)可微分,并称
为函数 z = f(x, y)的全微分,记作 dz ,即
函数可微分的充分条件是函数具有连续偏导数。
习惯上,记
,故
(二)多元函数连续、可(偏)导、可微分的关系 (不
)
对于一元函数来说,函数可导必定连续,而可导与可微分两者是等价的。但对于多元函数来说,可(偏)导(即存在偏导数)与连续没有必然的联系,可(偏)导与可微分也并不等价。多元函数可微分必定可(偏)导,但反之不真。当偏导数存在且连续时,函数必定可微分。
上述多元函数连续、可(偏)导与可微分的关系,可用图 1-2-3 表示如下:
(只需要记住:可微分则可(偏)导连续,其它不一定,具有连续偏导数不用管)
(三)偏导数的应用
1 .空间曲线的切线与法平面
空间曲线
:
在对应参数 t = t0 的点( x0 , y0,z0)处的切线方程为
法平面方程为
2 .曲面的切平面与法线
曲面∑: F (x,y , z ) = 0 在其上一点 M ( x0 , y0 , z0 )处的切平面方程为
法线方程是
(以上要会)
4 .多元函数的极值
设 z = f ( x ,y)在点( x0 , y0 )具有偏导数,则它在点( x0, y0 )取得极值的必要条件是
(非充分条件)
设 z = f ( x ,y)在点( x0 , y0 )的某邻域内具有二阶连续偏导数,且
则有 (不要求)
(1)当 AC-B2 > 0 时,具有极值f(x0,y0),且当 A < 0 时,f(x0,y0)为极大值,当 A > 0 时, f(x0,y0)为极小值;
(2)当 AC-B 2< 0 时,f(x0,y0)不是极值。
(四)例题
【 例 1 - 2 - 46 】 求曲线 x = t , y=t2, z=t3在点( 1 , 1 , 1 )处的切线及法平面方程。
【 解 】 因 x ' t = 1 , y' t = 2t , z 't= 3t2,点(1, 1 ,1)所对应的参数 t = 1 ,故曲线的切向量: τ= ( 1 , 2 , 3 )。于是,切线方程为
法平面方程为
( x - 1 ) + 2(y - 1 ) + 3 ( z - 1 ) = 0
即
x+2 y+3z - 6 =0
【 例 1 - 2 - 47 】
球面x2 + y2 + z2 = 14 在点( 1 , 2 , 3 )处的切平面方程是
( A ) ( x - l ) + 2(y - 2 )-( z - 3 ) = 0
( B )(x + 1 ) + 2 ( y + 2 ) + 3 ( z + 3 ) = 0
( C ) ( x - 1 ) + 2 (y - 2 ) + 3 ( z - 3 ) = 0
( D ) ( x + l ) + 2 (y+2 )- ( z + 3 ) = 0
【 解 】 F(x,y,z)=x2 +y2+z2 - 14 ,曲面的法向量n= ( Fx,Fy,Fz)=( 2x,2y , 2z ) , n|( 1, 2 , 3 ) = ( 2 , 4 , 6 ) ,故曲面在点( 1 , 2 , 3 )处的切平面方程是 ( C )。
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