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第11讲 数学:微分学(七)(2011年新版)

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第11讲 数学:微分学(七)(2011年新版)
环球网校:视频授课+名师答疑+在线模考+内部资料,考试通过无忧! 考试问吧,有问必答! 音频、讲义网校免费提供,如有贩卖勿上当,免费咨询:400-678-3456 转 601 3 .隐函数求导法则 设方程 F ( x , y , z ) = 0 确定一个隐函数 z = f ( x ,y),函数 F ( x , y , z )具有连续偏导数且Fz ≠0 ,则有 4 .高阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数统称高阶偏导数,如 z = f (x ,y)的二阶偏导数按求导次序不同有下列四个: (两种计算顺序的结果一样) 5 .全微分概念 若函数 z = f ( x ,y)的全增量 其中 A 、 B 仅与x, y 有关,而 ,则称函数z= f ( x ,y)在点 ( x ,y)可微分,并称 为函数 z = f(x, y)的全微分,记作 dz ,即 函数可微分的充分条件是函数具有连续偏导数。 习惯上,记 ,故 (二)多元函数连续、可(偏)导、可微分的关系 (不) 对于一元函数来说,函数可导必定连续,而可导与可微分两者是等价的。但对于多元函数来说,可(偏)导(即存在偏导数)与连续没有必然的联系,可(偏)导与可微分也并不等价。多元函数可微分必定可(偏)导,但反之不真。当偏导数存在且连续时,函数必定可微分。 上述多元函数连续、可(偏)导与可微分的关系,可用图 1-2-3 表示如下: (只需要记住:可微分则可(偏)导连续,其它不一定,具有连续偏导数不用管) (三)偏导数的应用 1 .空间曲线的切线与法平面 空间曲线 : 在对应参数 t = t0 的点( x0 , y0,z0)处的切线方程为 法平面方程为 2 .曲面的切平面与法线 曲面∑: F (x,y , z ) = 0 在其上一点 M ( x0 , y0 , z0 )处的切平面方程为 法线方程是 (以上要会) 4 .多元函数的极值 设 z = f ( x ,y)在点( x0 , y0 )具有偏导数,则它在点( x0, y0 )取得极值的必要条件是 (非充分条件) 设 z = f ( x ,y)在点( x0 , y0 )的某邻域内具有二阶连续偏导数,且 则有 (不要求) (1)当 AC-B2 > 0 时,具有极值f(x0,y0),且当 A < 0 时,f(x0,y0)为极大值,当 A > 0 时, f(x0,y0)为极小值; (2)当 AC-B 2< 0 时,f(x0,y0)不是极值。 (四)例题 【 例 1 - 2 - 46 】 求曲线 x = t , y=t2, z=t3在点( 1 , 1 , 1 )处的切线及法平面方程。 【 解 】 因 x ' t = 1 , y' t = 2t , z 't= 3t2,点(1, 1 ,1)所对应的参数 t = 1 ,故曲线的切向量: τ= ( 1 , 2 , 3 )。于是,切线方程为 法平面方程为 ( x - 1 ) + 2(y - 1 ) + 3 ( z - 1 ) = 0 即 x+2 y+3z - 6 =0 【 例 1 - 2 - 47 】 球面x2 + y2 + z2 = 14 在点( 1 , 2 , 3 )处的切平面方程是 ( A ) ( x - l ) + 2(y - 2 )-( z - 3 ) = 0 ( B )(x + 1 ) + 2 ( y + 2 ) + 3 ( z + 3 ) = 0 ( C ) ( x - 1 ) + 2 (y - 2 ) + 3 ( z - 3 ) = 0 ( D ) ( x + l ) + 2 (y+2 )- ( z + 3 ) = 0 【 解 】 F(x,y,z)=x2 +y2+z2 - 14 ,曲面的法向量n= ( Fx,Fy,Fz)=( 2x,2y , 2z ) , n|( 1, 2 , 3 ) = ( 2 , 4 , 6 ) ,故曲面在点( 1 , 2 , 3 )处的切平面方程是 ( C )。 3页 _1276442834.unknown _1276442929.unknown _1276443174.unknown _1276442732.unknown
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