11909025420

实变函数与泛函第六章习题01-17 第六章习题第一部分01-17 1. 设M是线性赋范空间X的闭子空间，若对任意的f ( X *，f(M) = 0蕴涵 f( X ) = 0，则M = X． [证明]　若不然M是X的真闭子空间，由Hann-Banach定理， 存在f (X *，使f(M) = 0，并且|| f || = 1，这与题目的假设相矛盾． 2. 设X是线性赋范空间，M是X的子集，x0 (X，且x0 ( (．证明x0(cl(span M)的充分必要条件为：对任意的f ( X *，f(M) = 0蕴涵f(x0) = 0． [证明]　(必要性) 对任意的f ( X *，由f(M) = 0及f是线性的， 可推出f(span M) = 0；而f又是连续的，所以又可进一步得到f(cl(span M)) = 0； 所以对x0 ( cl(span M)，有f(x0) = 0． (充分性)若x0 ( cl(span M)，由Hann-Banach定理，存在f ( X *，使得 f(cl(span M)) = 0，但f(x0) = || x0 || ( 0，这与题目的假设相矛盾． 3. 设X是线性赋范空间，x1, x2, ..., xn是X中n个线性无关的元素，a1, a2, ..., an是n个数，M > 0．证明：存在满足条件：f(xk) = ak，k = 1, 2, ..., n，且|| f || ( M的有界线性泛函f的充要条件为： 对于任意的n个数c1, c2, ..., cn都有 ． [证明]　 (() 对于任意的n个数c1, c2, ..., cn，令 ． 由于| f (x)| ( M || x ||，以及f(xk) = ak，k = 1, 2, ..., n， 得到 ． (() 考虑X的线性子空间S = Span{ x1, x2, ..., xn }， 对于任意的n个数c1, c2, ..., cn，在S上定义 ． 则g是S上的有界线性泛函，满足条件g(xk) = ak，k = 1, 2, ..., n，且|| g || ( M． 由Hann-Banach定理，存在X上的有界线性泛函f使f |S = g，且|| f || = || g ||． 事实上，此f即为满足条件的泛函． [第4题到第9题只需要直接验证，它们应该是“集合论”而非“泛函分析”中的题目．此处略去] 10. 设X是Banach空间．证明X自反的充要条件为X *自反． [证明]　必要性：设X自反，即X上的典则映射J : X ( X **，满足J (X) = X **． 为证明X *自反，我们要证明X *上的典则映射J* : X * ( X ***为满射． (x ***(X ***，令x * = x *** ◦ J．容易看出x *　: X ( (是 上的线性泛函． 由于| x *(x) | = | x *** (J (x)) | ( || x *** || · || J || · || x ||，所以x *( X *． 注意到J (X) = X **，故(x **(X **，存在x(X使得J (x) = x **． 则(J* x *) x ** = x **( x *) = x * ( x) = (x *** ◦ J ) ( x) = x *** ( J ( x)) = x *** (x **)， 所以J* x * = x ***，即J*为满射，故X *自反． 充分性：设X *自反，即X *上的典则映射J* : X * ( X ***满足J* (X *) = X ***． 假若X不自反，即J (X) ( X **． 则由于X是Banach空间，且X上的典则映射J : X ( X **是保范的线性单射， 容易看出J (X)是X **的真闭子空间． 由Hann-Banach定理，存在x ***(X ***，使得x ***( J (X)) = 0，|| x *** || = 1． 由于J* (X *) = X ***，存在x *( X *，使得J* x * = x ***． 显然对(x(X有x * ( x) = (J (x)) x * = x ***(J (x)) = 0， 所以x * = (，这与|| x * || = || J* x * || = || x *** || = 1相矛盾． 11. 设X为线性赋范空间，X *可分．证明X可分． [证明]　由于X *可分，不妨设X *\{( }中子集F = { f1, f2, ...}在X *中稠密， 令gi = fi /|| fi ||，用S *表示X *中的单位球面． 对(f ( S *，(( > 0，存在某fi(F，使得|| fi ( f || < min {( /4, 1/2}． 则| (|| fi || ( 1) | = | (|| fi || ( || f ||) | ( || fi ( f || < 1/2，故|| fi || > 1/2．对应的gi满足 || gi ( f || = || ( fi /|| fi || ( f ) || ( || ( fi /|| fi || ( f /|| fi ||) || + || ( f /|| fi || ( f ) || = || fi ( f || /|| fi || + | 1/|| fi || ( 1 | · || f || = || fi ( f || /|| fi || + | 1/|| fi || ( 1 | = || fi ( f || /|| fi || + | (1 ( 1/|| fi ||) | / || fi || ( 2 || fi ( f || /|| fi || < 4 || fi ( f || < (． 所以S *中的可数集G = { g1, g2, ...}在S *中稠密． 对任意i，由于|| gi || = sup{ | gi (x) | | || x || = 1 }， 故存在X的单位球面S中的点xi，使得| gi (xi) | > 1/2． 记A = { x1, x2, ...}．注意到A是可数的， 故它的所有的有限的有理系数线性组合构成的集合也是可数的， 并把这个可数集合记为B， 容易看出B在span(A)中稠密，因而B也在cl(span(A))中稠密． 下面证明cl(span(A)) = X． 若不然，存在x(X \ cl(span(A))．则由Hann-Banach定理知 存在f ( S *，使得f(cl(span(A))) = 0． 而G = { g1, g2, ...}在S *中稠密，故存在gi ( S *，使|| gi ( f || < 1/2． 这就得到下面的矛盾： 1/2 < | gi (xi) | = | gi (xi) ( f(xi) | ( || gi ( f || · || xi || = || gi ( f || < 1/2． 故cl(span(A)) = X．因此X有可数稠子集B，所以X可分． 12. 设H为复Hilbert空间， ．证明： ， ， ， ，， ． [证明]　对任意的 ， . 　　　　　　　　 ． 　　　　　　　 ． ． 因为 ，故 ，所以 ． 因为 ，故 ，所以 ． 13. 设H为Hilbert空间，A, B为H上的两个线性算子，对于任意的x, y(H有 < Ax, y > = < x, By >．证明：A为有界线性算子． [证明]　对(x(S = { x(H | || x || = 1 }，考虑fx : H ( (，fx(y) = < By, x >． 由于| fx(y) | = | < By, x > | = | | ( || y || · || Ax ||， 故fx为H上的有界线性泛函，且|| fx || ( || Ax ||． 因fx(y) = < By, x > = ，故fx(Ax) = < Ax, Ax > = || Ax ||2． 所以，|| Ax ||2 = | fx(Ax) | ( || fx || · || Ax ||， 故|| Ax || ( || fx ||．所以|| fx || = || Ax ||． 有界线性泛函族{ fx | x(S }在H的每一点y处， | fx(y) | = | < By, x > | ( || By || · || x || = || By ||， 由共鸣定理知存在M > 0，使得(x(S有|| fx || ( M． 即(x(S有|| Ax || ( M．所以A为有界线性算子． 14. 设 为 上的有界线性算子，对于 ， ，其中 ， ．又设 ，而 ．证明： ． [证明]　 　　　　　　　 ， 而 ，故 ， ， 所以 ， ． 15. 设X为Banach空间，Y为线性赋范空间，Tn( B(X, Y)，n = 1, 2, ...，且 sup {|| Tn || } = +(．证明：存在x0 (X使得sup {|| Tn x0 || } = +(． [证明]　这只是共鸣定理的逆否命题． 16. 举例说明：在共鸣定理中，X的完备性是不可缺少的． [例]　考虑m空间的子空间X = { x = (( i ) | 只有有限个( i不为0}． Tn : X ( (，Tn(x) = n( n，(x = (( i )(X． 显然Tn是线性算子，可以证明Tn有界，且|| Tn || = n． 显然{|| Tn || }无界，但对(x = (( i )(X，{ Tn(x) }有界． 17. 设S : ℓ2 ( ℓ2为S((1, (2, ... ) = ((3, (4, ... )，Tn = Sn．求sup { || Tnx || }，|| Tn ||，以及sup { || Tn || }． [解]　显然Tn((1, (2, ... ) = ((2n+1, (2n+2, ... )， 故sup { || Tnx || } = sup { || ((2n+1, (2n+2, ... ) || } = || x ||． 因|| Tnx || = || ((2n+1, (2n+2, ... ) || ( || x ||．故|| Tn || ( 1． 若取x使得其第2n+1个坐标为1而其余皆为0， 则|| x || = 1，且|| Tnx || = 1，故|| Tn || ( 1． 所以|| Tn || = 1．sup { || Tn || } = 1． 13 13 _1002785975.unknown _1003059223.unknown _1003059901.unknown _1003060542.unknown _1003060576.unknown _1003060680.unknown _1003060797.unknown _1003060661.unknown _1003060428.unknown _1003060041.unknown _1003059423.unknown _1003059448.unknown _1003059301.unknown _1003059025.unknown _1003059077.unknown _1003059137.unknown _1003059034.unknown _1002905074.unknown _1002905416.unknown _1002904582.unknown _1002786080.unknown _1002784632.unknown _1002785387.unknown _1002785719.unknown _1002785781.unknown _1002785661.unknown _1002785111.unknown _1002785196.unknown _1002784734.unknown _1002783782.unknown _1002784116.unknown _1002784462.unknown _1002783942.unknown _1002783441.unknown _1002783511.unknown _1002783584.unknown _1002783781.unknown _1002783447.unknown _1002036676.unknown