数学分析(信阳师范学院)习题库第五章 微商与微分

第五章 微商与微分 1 微商概念及其计算 1．求抛物线 在 点和 点的切线方程和法线方程． 2．若 ，求 （1）在 之间的平均速度（设 ）； （2）在 的瞬时速度． 3．试确定曲线 在哪些点的切线平行于下列直线： （1） ； （2） ． 4．设 试确定 的值，使 在 处可导． 5．求下列曲线在指定点P的切线方程和法线方程： （1） ； （2） ． 6．求下列函数的导函数. （1） ； （2） 7．设函数 （m为正整数）． 试问：（1）m等于何值时， 在 连续； （2）m等于何值时， 在 可导； （3）m等于何值时， 在 连续． 8．设 ， 求 ． 9．：若 存在，则 ． 10．设 是定义在 上的函数，且对任意 ，有 . 若 ，证明任意 ，有 ． 11．设 是偶函数，且 存在，证明： ． 12．设 是奇函数，且 ，求 . 13．用定义证明：可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数． 14．求下列函数的导函数： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） ； （10） ； （11） ； （12） ； （13） ； （14） ； （15） ； （16） ； （17） ； （18） ； （19） ； （20） ． 15．求下列复合函数的导函数： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） ； （10） ； （11） ； （12） ； （13） ； （14） ； （15） ； （16） ； （17） ； （18） ； （19） ； （20） ． 16．用对数求导法求下列函数的导函数： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ． 17．设 是对 可导的函数，求 ： （1） ； （2） ； （3） ． 18．设 和 是对 可求导的函数，求 ： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 19．求下列函数的导函数： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） ； （10） ． 2 微分概念及其计算 1．求下列函数在指定点的微分： （1） ，求 ； （2） ，求 和 ； （3） ，求 ； （4） ，求 ． 2．求下列函数的微分： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 3．设 是 的可微函数，求 ： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 4．求下列函数的微分 ： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 3 隐函数与参数方程微分法 1.求下列隐函数的导数 ： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） ； （10） ． 2．求下列参数方程的导数： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 3．求函数 在指定点的导数： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 4．一个圆锥型容器，深度为10m，上面的顶圆半径为4m. （1）灌入水时，求水的体积V对水面高度 的变化率； （2）求体积V对容器截面圆半径R的变化率． 5．设 ． （1）求 ； （2）证明曲线的切线被坐标轴所截的长度为一个常数． 6．证明：曲线 上任一点的法线到原点的距离恒等于 ． 4 高阶微商与高阶微分 1.求下列函数在指定点的高阶导数： （1） ，求 ； （2） 求 ． 2．求下列函数的高阶导数： （1） ，求 ； （2） ，求 ； （3） 求 ； （4） ，求 ； （5） ，求 ； （6） ，求 ． 3．求下列函数的n阶导数： （1） ； （2） ． 4．求下列函数的n阶导数： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 5．设 的各阶导数存在，求 及 ． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 6．若 ，证明 ． 7．求下列函数的二阶微分： （1） ； （2） ； （3） ． 8．求下列函数的三阶微分： （1）设 求 ； （2）设 ，求 ． 9．求下列参数方程的二阶导数： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 10．求下列隐函数的二阶导数 ： （1） ； （2） ； （3） ． 11．设函数 在点 二阶可导，且 ，若 存在反函数 ，试求 ． 12．设 ，证明y满足方程 ． 13．设 ． （1）证明y满足方程 ； （2）求 ． 14．设 存在反函数，且满足方程 ． 证明：反函数 满足 ，并且由此求出一个 ． _1124400248.unknown _1124400882.unknown _1124481631.unknown _1124481915.unknown _1124482441.unknown _1124482544.unknown _1124482628.unknown _1124482675.unknown _1124482696.unknown _1124482711.unknown _1124484100.unknown _1124482704.unknown _1124482683.unknown _1124482657.unknown _1124482668.unknown _1124482645.unknown _1124482590.unknown _1124482602.unknown _1124482565.unknown _1124482505.unknown _1124482519.unknown _1124482527.unknown _1124482513.unknown _1124482498.unknown _1124482499.unknown _1124482442.unknown _1124482497.unknown _1124482232.unknown _1124482322.unknown _1124482346.unknown _1124482347.unknown _1124482323.unknown _1124482345.unknown _1124482234.unknown _1124482235.unknown _1124482321.unknown _1124482233.unknown _1124482101.unknown _1124482197.unknown _1124482198.unknown _1124482231.unknown _1124482177.unknown _1124482196.unknown _1124481946.unknown _1124481953.unknown _1124481916.unknown _1124481779.unknown _1124481828.unknown _1124481913.unknown _1124481914.unknown _1124481911.unknown _1124481912.unknown _1124481829.unknown 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