《弹性波动力学》声辐射、固体中的声场习题讲稿 081210

声辐射 作业：3-5、3-6、3-7、3-8 3-5、有一直径为40厘米的纸盆扬声器嵌在无限大障板上向空气中辐射声波，假定它可以看作是活塞振动，试分别画出其在1000Hz与5000Hz时的指向图。当f=5000Hz时，主声束半角宽度为多少？此扬声器临界距离zg为多少？ 解：已知 cm， m/s 当 Hz，则 (无旁瓣) 辐射声波频率为1000Hz时的指向图如图1所示。 图1 Hz时的指向图 当 Hz，则 因 ，故 Hz时的指向性图有一个主瓣和五个旁瓣(包括四个完整瓣和一个不完整瓣)。辐射声波频率为5000Hz时的指向图如图2所示。 EMBED Origin50.Graph 图2 Hz时的指向图 由 ， 则主声束半角宽度 扬声器临界距离 (m) 3-6、一超声换能器的直径为d=3.0cm，辐射频率为100kHz的简谐波，试求：（1）若在水中使用，求该超声换能器的辐射主瓣半角宽 ；（2）若在空气中使用，主瓣半角宽 又是多少？（3）若声源的频率增加，则对辐射主瓣半角宽有何影响？（4）绘出该换能器在水中使用和在空气中使用时的指向性图。 解：由 ， 已知： cm， KHz， m/s， m/s (1)若在水中使用 (2)若在空气中使用 (3)若声源的频率增加，则对辐射主瓣半角宽要变小，声源的指向性增强。 (4)在水中使用， 因 ，故 KHz时在水中的指向性图有一个主瓣和一个不完整的旁瓣，如图1所示。 图1 kHz时在水中的指向图 在空气中使用， 因 ，故 KHz时在空气中的指向性图有一个主瓣和八个旁瓣(包括七个完整瓣和一个不完整瓣)，如图2所示。 图2 kHz时在空气中的指向图 3-7、什么是圆形活塞式辐射器的远、近场临界距离？绘出活塞式换能器轴线上的声压振幅随距离的变化曲线。 答：圆形活塞式辐射器的轴线上的辐射场有相对简单的分布规律。当场点离辐射器较近时，声压的振幅随场点离开辐射器面的距离振荡变化，但当场点离辐射器较远时，声压的振幅将单调减小。于是，定义离辐射器最远一个声压振幅极大值的位置到辐射面的距离为圆形活塞式辐射器的远、近场临界距离。 ， 为辐射器辐射面的半径。活塞式换能器轴线上的声压振幅随距离的变化曲线如图1所示。 图1 活塞式换能器轴线上的声压振幅随距离的变化曲线 评析：不能简单用“离辐射器最远一个声压振幅极大值的位置到辐射面的距离”来定义，需要分析圆形活塞式辐射器的远、近场各自的特点。 3-8、试写出(1)平面波(2)非均匀波(3)球面波的表达式，并作必要的文字、符号和图形说明。 答：假设 表示介质的声衰减系数， (1)平面波 表示沿x方向传播的平面波； (2)非均匀波 表示沿界面x方向传播、沿y方向有衰减的非均匀波， 为两种介质的分界面、 为波密介质一侧（如图1）。 图1 (3)球面波 固体中的声传播规律 作业：4-1、4-2、4-3、4-4、4-5、4-6、4-7、4-8、4-9、4-10、4-11、4-12、4-18 4-1、什么正应变、主应力、泊松比？ 答：(1)正应变也称为线应变，表示物体的压缩与拉伸，如小体元在x方向上的正应变可定义为该体元在x方向上长度的相对变化量。 小体元沿x方向上的正应变 (2)过一点的任意截面内可以找到其中若干个(三个)特殊的截面，在这三个截面上只作用着正应力，此正应力称之为主应力。 (3)泊松比定义为弹性杆沿长度方向(x方向)受力时其横向(y、z方向)缩短与纵向伸长之比，即 ，其范围为 。 评析：本主要错误在第（2）问，部分同学将正应力与主应力混为一个概念，正确理解是“主应力是正应力在特殊情况下的另一种叫法”。 4-2、假设媒质中P点的位移为 ，试结合示意图分析 中每一个分量的物理意义。 答： 图4-2 如图所示，长方体小体元在 平面内的投影，小体元未发生形变时该投影为一个矩形，小体元发生形变时该投影为一个平行四边形。 考虑到形变量是微量，所以 方向棱边绕 轴的旋转角为 方向棱边绕 轴的旋转角为 于是， 就是小体元在 平面的切形变，称为 平面的切应变。同样从图可知， 就是对角线PR转动角度的二倍。于是， 就相当于小体元绕 轴的旋转角度。 同理， 和 分别表示小体元绕 轴和 轴的旋转角度。 评析：本题主要错误是将 （或 ，或 ）与 （或 ，或 ）的物理意义混淆，误认为 （或 ，或 ）是小体元在 （或 ，或 ）平面的切形变。 4-3、已知P点的应力张量为 ，试求出过P点的外法线方向为 的面元上的应力分量并求该面元上的正应力分量和切应力分量。 解：设 分别与 轴、 轴、和 轴的方向余弦为l、m、n，于是 ，所以 。同理 ， 。 由柯西公式可得外法线方向为 的面元上的应力分量为 于是，该面元上的正应力分量大小为 该面元上的切应力分量大小为 图4-3 设该面元上的切应力分量方向的单位矢量为 ，则该面元上的切应力分量方向为 。根据矢量关系 ，如图4-3所示，且已知该面元上的正应力分量为 ，于是有 故解得该面元上的切应力分量方向为 。 评析：本题大部分同学都能够正确得到该面元上的应力分量，而该面元上的正应力分量和切应力分量几乎没有同学能够得到正确， 主要错误是对应力张量 中的各个元素的物理意义理解错误， 将外法线方向为 的面元上的正应力分量和切应力分量与三个垂直于坐标轴的侧面上的正应力分量和切应力分量混淆了。 4-4、有一自由悬挂的悬杆，杆长为l，截面积为S，杨氏模量为E，密度为。坐标选取如图所示，试求杆中的应力分布和杆的总伸长量。 解：由于杆仅受到重力作用，则坐标为x的截面处受到的作用力为 于是，坐标为x的截面处的应力为 又因 ，则 ，故细杆的总伸长量为 评析：本题仅个别同学能够得到正确答案，绝大多数同学没有采用微积分的思想，而得到错误的答案 ，主要原因是对 的理解错误， 不是常数，而是x的函数，即 。 4-5、已知某弹性介质的纵横波波速分别为3600m/s和1950m/s，求这种介质的泊松比。按关系式 计算并绘出 曲线。 解：已知Vp=3600m/s，Vs=1950m/s，将其代入泊松比计算公式，则该介质的泊松比为 关系曲线如图所示。 图 关系曲线图 评析：本题主要错误是部分同学在徒手绘制 曲线时，误将曲线纵坐标的范围标注为 ，即泊松比 的变化范围，而实际上泊松比 的范围应为 。 补充题：试证明各向同性固体介质的泊松比 与该介质的纵横比速度的比值 ，有如下关系： 证明：已知 ， ，则 而又知 ， ，将其代入上式得 即得证。 4-6、忽略体力作用，试推导弹性细杆中纵波的波动方程。 解：取一长为 ，密度为 ，横截面积为 的均匀细杆，如图所示。在细杆上取一小元段 ，假设该元段发生了纵向形变，这时在 点杆的位移为 ，在 点杆的位移为 。因而，该元段杆的总伸缩应为 图 均匀细杆 设邻段对该元段 点的作用力为 ，则在此应力 作用下，元段产生的相对伸缩 根据弹性体的虎克定律，应力与应变成线性关系，即有 从而有 。 同样，元段 点受到的作用力为 ，于是作用在元段 上的合力为 根据牛顿第二定律可得 整理可得细杆的波动方程为 其中， 为细杆的纵波波速。 评析：本题主要错误类型有： （一）、大部分同学对细杆中的“细”没有理解，所谓“细”的意思是指杆的横向比长度要小，而在同一截面上各点的运动可以看成是均匀的，因而仅需考虑一维问题，而不应该从三维的角度去考虑。 （二）、相当一部分同学对泊松比 的定义没有理解透彻，在仅 方向受力作用时，误认为 ，因而也得到错误的结论 ，最终导致细杆的纵波波速求解错误。 4-7、设均匀弹性固体中声标势为，声矢势只存在y方向分量 ，所有的量与y无关，试用和 表示虎克定律(即把各应力用和 的导数表示出来)。 解：设固体中某点的位移矢量为： ，引入标量势 和矢量势 ，则有 矢量势 只有y方向分量，则 又，因所有的量与y无关，则 ，所以 即 ， ， 于是有 ， ， ， 再由广义虎克定律可知： 评析：本题主要问题在于绝大多数同学没有充分利用 “所有的量与y无关” 的条件，致使最终结果没有充分化简。 4-10、试分析声波传播过程中引起声波幅度变化的各种可能原因。 答：（1）、由于波阵面扩展发生的能量分散，会使声波幅度减小；（2）、由于介质的内摩擦、粘滞、热传导产生的衰减（即经典衰减），会使声波幅度减小；（3）、声场中某一点的声波幅度与该点上声波干涉和衍射情况有关、与波的反射和折射有关；（4）、声场中某一点的声波幅度与场点到声源的距离有关、与传播路径的声阻抗分布有关、与声波频率等因素有关。 评析：本题大部分同学的答案不够完整全面，仅仅回答了某一点或两点，反映出大部分同学没有学会将前后的知识融合贯通。 补充题：试写出(1)有衰减的平面波(2)有衰减的各向均匀的球面波(3)Rayleigh波的表达式，并作必要的符号和图形说明。 答：假设 表示介质的声衰减系数， (1)平面波 表示沿x方向传播的有衰减的平面波； (2) 有衰减的各向均匀的球面波 ； (3) Rayleigh波 其中 ，且 ， 为Rayleigh波波速（如图1）。 图1 4-12、流体与固体界面如图4-12所示，已知V1p=1500m/s，V2p=5000m/s，V2s=2700m/s，入射波的频率为f，试写出入射波、反射波和折射波的波函数表达式。 图4-12 答：入射波的波函数表达式为： 反射波的波函数表达式为： 其中 。 折射纵波的波函数表达式为： 其中 。 折射横波的波函数表达式为： 其中 ，在以上所有波函数表达式中均略去了时间因子 。 评析：本题主要问题在于各个波函数的表示方式不，一般用标量势 描述纵波，用矢量势 描述横波。另外部分同学在忽略了公共因子 时，并不注明“忽略了公共因子 ”。 4-18、坐标如图4-18所示，设P波自固体一侧以角度 入射于固体与流体界面(x=0),试写出固体、流体中的势函数表达式，叙述推导反射、透射系数的思路。 图4.18 答：假设固体中纵、横波速度分别为 、 ，流体中纵波速度为 。 在固体介质中 入射波的波函数： ，其中 反射纵波的波函数： 反射横波的波函数： ，其中 在流体介质中 折射波的波函数： ，其中 推导反射、透射系数的思路为： (1)写出固体与流体界面的边界条件(a)法向(x方向)位移连续，(b)法向应力连续，(c)切向应力为零； (2)写出两种介质中位移势函数和应力表达式； (3)令x=0并把两种介质中位移势函数和应力的表达式代入边界条件； (4)定义和求解反射系数和透射系数； (5)对所得反射系数和透射系数进行分析讨论。 评析：本题主要问题在于各个波函数的表示方式不规范，一般用标量势 描述纵波，用矢量势 描述横波。 练习题：写出以下不同介质组合情况下，界面处的边界条件的表达式，要求画出坐标系。（1）、固体-固体界面；（2）、流体-固体界面；（3）、自由固体界面，即固体-真空；（4）流体-流体界面。 答：（1）、如图（1）所示两种固体介质界面，其边界条件为： 法向位移连续： 切向位移连续： 法向应力连续： 切向应力连续： （2）、如图（2）所示流体与固体界面，其边界条件为： 法向位移连续： 法向应力连续： 切向应力为零： （3）、如图（3）所示自由固体界面，其边界条件为： 法向应力为零： 切向应力为零： （4）、如图（4）所示流体与流体界面，其边界条件为： 声压连续： 法向质点速度连续： _1287342203.unknown _1287482764.vsd du dv   u dx v dy P S R Q P' S' R' Q' x y _1288120534.unknown _1290338058.unknown _1290340204.unknown _1290342677.unknown _1290344226.vsd 固体2 图（1） o 固体1 _1290689567.unknown _1290753930.vsd _1290344749.unknown _1290345004.vsd 固体 图（3） o 真空 _1290344922.vsd 图（4） o 流体1 流体2 _1290344269.vsd 固体2 图（2） o 流体1 _1290344748.unknown _1290342827.unknown _1290344157.unknown _1290344158.unknown _1290343870.unknown _1290342742.unknown _1290340561.unknown _1290340562.unknown _1290342430.unknown _1290340330.unknown _1290339760.unknown _1290339925.unknown _1290340155.unknown _1290339812.unknown _1290339274.unknown _1290339693.unknown _1290338923.unknown _1290276619.bin _1290277054.bin _1290338057.unknown _1290338056.unknown _1290276708.bin _1288188104.unknown _1290270920.bin _1290276593.bin _1288716139.unknown _1288811262.unknown _1290270798.bin _1288811090.unknown _1288552552.unknown _1288552571.unknown _1288187926.unknown _1288188017.unknown _1288120722.unknown _1287512705.unknown _1288026283.unknown _1288026502.unknown _1288027593.unknown _1288027877.unknown _1288120448.unknown _1288027771.unknown _1288026834.unknown _1288027481.unknown _1288027592.unknown _1288027003.unknown _1288026833.unknown _1288026322.unknown _1288026432.unknown _1288026284.unknown _1288025085.unknown _1288025810.unknown _1288026201.unknown _1288026282.unknown _1288026093.unknown _1288025753.unknown _1288025047.unknown _1287511303.unknown _1287511481.unknown _1287512491.unknown _1287512550.unknown _1287512587.unknown _1287511510.unknown _1287511332.unknown _1287511249.unknown _1287510793.unknown _1287510794.unknown _1287510109.unknown _1287509535.unknown _1287424220.unknown _1287427757.unknown _1287429065.unknown _1287429812.unknown _1287481073.unknown _1287429995.unknown _1287429706.unknown _1287428047.unknown _1287428280.unknown _1287428003.unknown _1287424247.unknown _1287425084.unknown _1287424229.unknown _1287342927.unknown _1287422139.unknown _1287422167.unknown _1287342928.unknown _1287342764.unknown _1287342926.unknown _1287342762.unknown _1287342763.unknown _1287342759.unknown _1257258691.unknown _1286799718.unknown _1286800541.unknown _1287342089.unknown _1287342140.unknown _1287342194.unknown _1287342202.unknown _1287342127.unknown _1287341574.unknown _1287342058.unknown _1287340958.unknown _1286799875.unknown _1286799982.unknown _1286800501.unknown _1286800525.unknown _1286800493.unknown _1286799909.unknown _1286799936.unknown _1286799908.unknown _1286799838.unknown _1286799874.unknown _1286799837.unknown _1286799836.unknown _1286799077.unknown _1286799197.unknown _1286799501.unknown _1286799717.unknown _1286799499.unknown _1286799500.unknown _1286799198.unknown _1286799129.unknown _1286799196.unknown _1286799195.unknown _1286799079.unknown _1258288235.unknown _1277621634.unknown _1277622355.unknown _1285426537.vsd 波疏介质 波密介质 y x _1277647778.unknown _1277622333.unknown _1258288505.unknown _1258288544.unknown _1258288921.vsd z x o 真空 固体 _1258288408.unknown _1257837920.unknown _1257838236.unknown _1257838296.unknown _1257838303.unknown _1257838269.unknown _1257838290.unknown _1257838279.unknown _1257838254.unknown _1257838210.unknown _1257838222.unknown _1257838174.unknown _1257258758.unknown _1257258785.unknown _1257258717.unknown _1257258732.unknown _1255502675.unknown _1256217705.unknown _1257258492.unknown _1257258636.unknown _1257258651.unknown _1257258493.unknown _1257255597.unknown _1257258178.unknown _1256817618.vsd x 0 l 4.4题图 _1255705927.unknown _1255707487.bin _1256135253.unknown _1255706247.unknown _1255504463.unknown _1255504502.unknown _1255502734.unknown _1255504256.unknown _1004728757.unknown _1225910384.unknown _1227250173.unknown _1255374006.unknown _1255501929.unknown _1255374005.unknown _1228113848.unknown _1225911162.unknown _1225915914.unknown _1225954461.vsd X dx 0 _1225915828.unknown _1225915903.unknown _1225915575.unknown _1225910665.unknown _1225911056.unknown _1225910583.unknown _1225909867.unknown _1225910091.unknown _1225910350.unknown _1225909968.unknown _1009084753.unknown _1013408661.unknown _1009645956.vsd _1009084737.unknown _1008483857.unknown _1003432927.unknown _1003433107.unknown _1003434414.unknown _1003469211.unknown _1003434401.unknown _1003433045.unknown _1003415924.unknown _1003432049.unknown _1003432857.unknown _1003432011.unknown _1003415921.vsd _1003415923.unknown _995628894.unknown