衍射光学555衍射积分的解析解及应用

第5讲 衍射积分的解析解及应用 ——简单孔径的夫琅和费衍射计算 矩形孔菲涅耳衍射的计算、分析及应用 夫琅和费衍射的主要计算是一次傅里叶变换，一些简单函数描述的光波场存在解析形式的变换结果。因此, 本章将主要对这些计算作介绍。通过这些相对简单的衍射图像的计算及分析, 对衍射过程中光波场的变化形成一个清晰的概念。此外, 基于矩形孔菲涅耳衍射的半解析表达式, 本讲导出直边衍射条纹的间距公式，给出相应的应用实例[6]。 5. 1 简单孔径的夫琅和费衍射计算 相对于菲涅耳衍射，夫琅和费衍射的计算比较简单, 一些简单孔径及光栅的傅里叶变换存在解析解。因此, 先对夫琅和费衍射的计算进行讨论。 5.1.1 矩形孔的夫琅和费衍射 设平面光阑上具有中心在坐标原点的矩形孔, wx,wy分别是矩形孔沿坐标x0,y0方向的半宽度。如果光阑被单位振幅平面波垂直于照射, 则紧贴着孔径后方的物平面场分布为 (5-1-1) 观测平面的夫琅和费衍射场为 (5-1-2) 对上式分离变量后作积分运算, 容易得到 于是, 夫琅和费衍射图像强度分布为 (5-1-3) 从上结果可以看出, 夫琅和费衍射图像沿两坐标方向相邻零点的距离分别是 。根据(5-1-3), 令wx = wy = 2mm, ( = 0.532(m, 图 5-1-1a 给出矩形孔经衍射距离d=200mm的夫琅和费衍射图像, 图 5-1-1b是沿x轴的剖面强度曲线。 (a)衍射图像(0.266mm(0.266mm) (b) x轴上归一化曲线 图 5-1-1 矩形孔(wx = wy = 4mm)经衍射距离d=200mm的夫琅和费衍射图像 数字全息的研究中将看到[], 物平面上点源的重建像就是与CCD探测器尺寸相关的夫琅和费衍射图像。在分析数字全息的波面重建质量时, 将使用这个结论。 5.1.2 圆形孔的夫琅和费衍射 若平面光阑上具有中心在坐标原点的圆孔, w是圆孔半径。r0是孔径平面上的径向坐标。 为孔径平面的径向坐标与直角坐标的关系。当光阑被单位振幅平面波垂直于照射时, 紧贴着孔径后方的光波场复振幅分布则为 (5-1-4) 由于孔径具有圆对称性, 直角坐标的傅里叶变换式(5-1-2)改写为傅里叶(贝塞尔变换比较方便[]。于是有 (5-1-5) 其中, 表示空间频率的径向坐标。由于 式中, J1是1阶第一类贝塞尔函数。代入(5-1-5)式得 (5-1-6) 于是, 得到圆孔的夫琅和费衍射场强度分布 (5-1-7) 这个强度分布以首先导出它的科学家爱里的名字命名, 称爱里图样[1]。贝塞尔函数有不同的数学表达式, 例如, n阶(n为整数)贝塞尔函数可以表为[7,8] (5-1-8) 利用数值积分, 不难对贝塞尔函数求值。中央斑点的直径为 (5-1-9) 根据(5-1-7)及(5-1-8), 令w = 2mm, ( = 0.532(m, 图 5-1-2a 给出圆形孔经距离d=200mm的夫琅和费衍射图样或爱里图样的强度图像, 图5-1-2b给出过坐标原点的爱里斑的强度剖面曲线。 (a)爱里图样(0.325mm(0.325mm) (b) x轴上剖面归一化曲线 图5-1-2圆形孔夫琅和费衍射图样或爱里图样的强度图像。 由于平面波通过圆形光瞳的透镜后, 在透镜焦平面上得到的就是爱里斑。而圆形透镜是光学系统中最常用的元件, 在分析光学系统的性质时, 经常会引用这个结论。 5. 2 矩形孔的菲涅耳衍射 5.2.1 矩形孔的菲涅耳衍射 设平面光阑上具有中心在坐标原点的矩形孔, wx,wy分别是矩形孔沿坐标x0,y0方向的半宽度。如果光阑被单位振幅平面波垂直于照射, 则紧贴着孔径后方的物平面场分布为 (5-2-1) 经距离d 的衍射后, 观测平面的光波场由菲涅耳衍射积分表出[] 通过分离变量, 上式可以表示为 (5-2-2) 式中 (5-2-2a) (5-2-2b) 作变量代换 , 容易得到 , 。 其中积分限为 , , 引入菲涅耳函数[5，8] , (5-2-3) 可以将 , 重新写成 代入(5-2-2)得到观测平面的光波场 观测平面衍射图像的强度分布即为 (5-2-4) 不难看出, 只要能够计算菲涅耳函数, 矩形孔的衍射图像就能通过上式得到。菲涅耳函数通常只能求数值解[8], 存在不同形式的近似计算公式[6,9], 这里引用文献[9]的近似式 (5-2-5a) (5-2-5b) 其中, , 令wx =wy = 2mm, ( = 0.532(m, 基于(5-2-4)及相关表达式的计算, 图 5-2-1 分别给出衍射距离d = 100mm, 1000mm及 20000mm的0~255灰度等级的归一化衍射图像, 在每一图像上方绘出x轴上的剖面强度曲线。为便于与原透光孔的几何光学投影作比较, 图中还用同一尺寸给出d = 0的物面光场强度图像。此外, 在每个剖面曲线中用虚线给出不考虑衍射效应的几何光学结果。 (a) d = 0 (b) d = 100mm (c) d =1000mm (d) d = 20000mm 图 5-2-1 矩形孔在不同衍射距离的衍射图像。 可以看出, 由于衍射, 实际图像与几何光学预计的结果有很大差别。虽然这些衍射图像只是一些计算特例, 但能够反映由不同形状衍射孔产生的衍射图像随衍射距离逐步变化的基本规律。即, 当衍射距离较小时, 衍射图像能够保持衍射孔的基本形状, 但在图像边沿产生了衍射条纹, 图像中央还能保持较均匀的强度分布。随着衍射距离的增加, 衍射条纹逐渐加宽，影响向中央延伸, 衍射图像中央强度分布的均匀性被破坏。当衍射距离进一步增大时, 原孔径的基本形状不能分辨, 逐渐形成中央有极大并在周围有次极大出现的衍射图像。 5.2.2 直边衍射条纹的间距公式 衍射条纹的出现在许多情况下对光信息的处理形成不便。因此, 研究衍射条纹的分布具有实际意义。对于一些特殊形状的孔径, 我们可以得到条纹间距公式。例如, 当矩形孔较大时, 由边沿向中央延伸的菲涅耳衍射条纹间距公式可根据菲涅耳函数的研究获得[10]。为此, 图 5-2-2给出 , , S(z)及C(z)的图像。 图 5-2-2 , , S(x)及C(x)的图像。 参照所绘函数图像, 根据菲涅耳函数的定义(2-4-36)及积分的几何意义, 菲涅耳函数取极大值时分别满足[4]： ： ， 即 ( ) ： ， 即 ( ) 而取极小值时分别满足： ： ， 即 ( ) ： ， 即 ( ) 并且, 随自变量z取值增加, 首先出现C(z)的极值, 此后, S(z)及C(z)的极值交替出现, 并且其数值在1/2上下摆动并与1/2的差逐渐减小。当z((时, S(z)及C(z)均趋于1/2[8]。 考虑矩形孔沿x方向的边长2wx足够大以及x= -wx + x' 的情况。注意到S(z)及C(z)均是奇函数, 可以将(5-2-4)式近似写成 (5-2-6) 其中, 。 根据菲涅耳函数的性质, 虽然 及 不在同一位置x' 达到极值，但可以认为衍射亮纹及暗纹的位置是两函数相邻极大位置的算术平均值以及相邻极小位置的算术平均值。这样，从x = -wx的几何投影边界算起，第n个衍射亮纹到投影边界的距离为 ( ) (5-2-7) 而从几何投影边界算起，第n个衍射暗纹到投影边界的距离为 ( ) (5-2-8) 到此，我们导出了简明的菲涅耳直边衍射条纹的分布公式。由于公式建立了衍射条纹分布与衍射距离及波长的关系。在实验研究中, 条纹间隔容易测量。当光波长准确给定后, 便能根据衍射图样确定衍射距离。衍射条纹的间距分布公式可以在光学检测及光学仪器的调整中获得应用[9]。 作业: 根据所提供的狭缝菲涅耳衍射的程序编写矩形孔的菲涅耳衍射程序，并将结果与文内图像相比较。 思考题: 5-1, 图1中, 图(a)是直径为60mm的圆孔光阑, 圆孔上有十字叉丝。在半径7mm，波长10.6(m的基横模CO2激光垂直照射下，图(b)给出光阑后某距离d放置热敏纸采样得到的图像。由实验测得图(b)所示两衍射条纹极大值间隔D=3.62mm，试估算衍射距离d。 图1 光阑及穿过光阑的CO2激光经距离d后的热敏纸采样图像 5-2, 图2是对一组合反射镜倾角检测的示意图. 一束经准直的CO2激光自下而上射向组合反射镜中心, 反射镜由四个平面镜构成, 反射光被分割为四束光沿水平方向(图中z轴方向)传播. 在距反射镜中心距离d处平面xy上放置热敏纸采样. 采样图像示于图2右侧. 若激光波长为10.6(m, 实验得四个衍射斑极大值的水平距离为3.5mm, 垂直距离为4.2mm,距离 d=1800mm, 求组合反射镜各镜面的法线方向. 开卷考试题目 下图中, 复振幅为 的光束沿光轴z垂直照射开口为方形的平面光阑. 若光波长为10.6(m, w=5mm, 用下面指定的两种计算方法编程模拟研究在图中透镜后垂直于光轴平面上的衍射场. 开卷考试要求: 形成WORD文本的研究, 包含下述内容: 1、写出物平面到观测屏的光学系统的ABCD矩阵参数； 2、用柯林斯公式表示观测平面的光波复振幅； 3、通过整理，让柯林斯公式变换为与菲涅耳衍射积分相似的形式，求出等效方形孔的宽度及等效衍射距离，利用矩形孔菲涅耳衍射的解析公式写出观测平面的强度分布。编程绘出强度分布图像，对计算的关键程序段加注释说明。 4、利用角谱衍射公式追迹计算法，编程绘出强度分布图像，对计算的关键程序段加注释说明。 5、以角谱衍射公式追迹计算为, 讨论解析近似的相对误差。 物平面 薄透镜 观测屏 光阑宽度10mm 焦距 f=100mm 方孔宽度6mm 勤工作 z d0=100mm d=150mm 照射平面波 y 组合反射镜 y z x 激光 d 图2 组合反射镜反射面倾角测量示意图 PAGE 69 _1252715665.unknown _1252966856.unknown _1252975049.unknown _1254400689.unknown _1321611065.unknown _1321696714.unknown _1321611057.unknown _1321573605.unknown _1253239025.unknown _1254400666.unknown _1252975238.unknown _1252975696.unknown _1252975711.unknown _1252975232.unknown _1252966935.unknown _1252970267.unknown _1252970581.unknown _1252975039.unknown _1252970876.unknown _1252970377.unknown _1252970393.unknown _1252970401.unknown _1252970383.unknown _1252970318.unknown _1252970331.unknown _1252970293.unknown _1252970159.unknown _1252970216.unknown _1252970233.unknown _1252970193.unknown _1252968108.unknown _1252968815.unknown _1252966952.unknown _1252966891.unknown _1252966914.unknown _1252966868.unknown _1252736968.unknown _1252737706.unknown _1252792910.unknown _1252966783.unknown _1252791158.unknown _1252737263.unknown _1252737348.unknown _1252737043.unknown _1252716293.unknown _1252733892.unknown _1252716393.unknown _1252716250.unknown _1252715849.unknown _1252715259.unknown _1252715541.unknown _1252715322.unknown _1252714997.unknown _1022079310.unknown _1252714402.unknown _1022079306.unknown _1022079303.unknown