1.4 习
与上机题解答题1图解: x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)-δ(n+1)+2δ(n)+δ(n-1) +2δ(n-2)+4δ(n-3)+0.5δ(n-4)+2δ(n-6) 2.给定信号: 2n+5 -4≤n≤-1 6 0≤n≤4 0其它 (1)画出x(n)序列的波形,标上各序列值; (2)试用延迟的单位脉冲序列及其加权和
示x(n)序列;(x(n)= (3)令x1(n)=2x(n-2),试画出x1(n)波形; (4)令x2(n)=2x(n+2),试画出x2(n)波形; (5)令x3(n)=x(2-n),试画出x3(n)波形。 解:(1)x(n)序列的波形如题2解图(一)所示。(2)x(n)=-3δ(n+4)-δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n)+6δ(n-1)+6δ(n-2)+6δ(n-3)+6δ(n-4) (3)x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位,再乘以2,画出图形如题2解图(二)所示。 (4)x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位,再乘以2,画出图形如题2解图(三)所示。 (5)画x3(n)时,先画x(-n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°),然后再右移2位,x3(n)波形如题2解图(四)所示。题2解图(一)题2解图(二)题2解图(三)题2解图(四) 3.判断下面的序列是否是周期的;若是周期的,确定其周期。(1)(2) 解:(1)因为ω= π,所以 ,这是有理数,因此是周期序列,周期T=14。 (2)因为ω= ,所以 =16π,这是无理数,因此是非周期序列。 4.对题1图给出的x(n)
: (1)画出x(-n)的波形; (2)计算xe(n)= [x(n)+x(-n)],并画出xe(n)波形; (3)计算xo(n)= [x(n)-x(-n)],并画出xo(n)波形; (4)令x1(n)=xe(n)+xo(n),将x1(n)与x(n)进行比较,你能得到什么结论? 解:(1)x(-n)的波形如题4解图(一)所示。 (2)将x(n)与x(-n)的波形对应相加,再除以2,得到xe(n)。毫无疑问,这是一个偶对称序列。xe(n)的波形如题4解图(二)所示。 (3)画出xo(n)的波形如题4解图(三)所示。题4解图(一)题4解图(二)题4解图(三) (4)很容易证明: x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n) 上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。偶对称序列可以用题中(2)的公式计算,奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。 5.设系统分别用下面的差分方程描述,x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出,判断系统是否是线性非时变的。 (1)y(n)=x(n)+2x(n-1)+3x(n-2) (2)y(n)=2x(n)+3 (3)y(n)=x(n-n0) n0为整常数 (4)y(n)=x(-n) (5)y(n)=x2(n) (6)y(n)=x(n2) (7)y(n)= (8)y(n)=x(n)sin(ωn) 解:(1)令输入为 x(n-n0)输出为y′(n)=x(n-n0)+2x(n-n0-1)+3x(n-n0-2)y(n-n0)=x(n-n0)+2x(n—n0—1)+3(n-n0-2)=y′(n)故该系统是非时变系统。因为y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=ax1(n)+bx2(n)+2[ax1(n-1)+bx2(n-1)]+3[ax1(n-2)+bx2(n-2)] T[ax1(n)]=ax1(n)+2ax1(n-1)+3ax1(n-2) T[bx2(n)]=bx2(n)+2bx2(n-1)+3bx2(n-2)所以T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x1(n)]+bT[x2(n)]故该系统是线性系统。 (2)令输入为 x(n-n0)输出为 y′(n)=2x(n-n0)+3 y(n-n0)=2x(n-n0)+3=y′(n)故该系统是非时变的。由于 T[ax1(n)+bx2(n)]=2ax1(n)+2bx2(n)+3 T[ax1(n)]=2ax1(n)+3 T[bx2(n)]=2bx2(n)+3 T[ax1(n)+bx2(n)]≠aT[x1(n)]+bT[x2(n)]故该系统是非线性系统。 (3)这是一个延时器,延时器是线性非时变系统,下面证明。令输入为 x(n-n1)输出为 y′(n)=x(n-n1-n0) y(n-n1)=x(n-n1-n0)=y′(n)故延时器是非时变系统。由于 T[ax1(n)+bx2(n)]=ax1(n-n0)+bx2(n-n0) =aT[x1(n)]+bT[x2(n)]故延时器是线性系统。 (4)y(n)=x(-n) 令输入为 x(n-n0)输出为 y′(n)=x(-n+n0) y(n-n0)=x(-n+n0)=y′(n)因此系统是线性系统。由于 T[ax1(n)+bx2(n)]=ax1(-n)+bx2(-n) =aT[x1(n)]+bT[x2(n)]因此系统是非时变系统。 (5)y(n)=x2(n) 令输入为x(n-n0) 输出为 y′(n)=x2(n-n0) y(n-n0)=x2(n-n0)=y′(n)故系统是非时变系统。由于T[ax1(n)+bx2(n)]=[ax1(n)+bx2(n)]2≠aT[x1(n)]+bT[x2(n)]=ax21(n)+bx22(n)因此系统是非线性系统。 (6)y(n)=x(n2) 令输入为 x(n-n0)输出为 y′(n)=x((n-n0)2) y(n-n0)=x((n-n0)2)=y′(n)故系统是非时变系统。由于 T[ax1(n)+bx2(n)]=ax1(n2)+bx2(n2) =aT[x1(n)]+bT[x2(n)]故系统是线性系统。(7)y(n)= x(m) 令输入为 x(n-n0) 输出为 y′(n)= =0[DD)]x(m-n0) y(n-n0)= x(m)≠y′(n)故系统是时变系统。由于 T[ax1(n)+bx2(n)]= [ax1(m)+bx2(m)] =aT[x1(n)]+bT[x2(n)]故系统是线性系统。 (8)y(n)=x(n)sin(ωn) 令输入为 x(n-n0) 输出为 y′(n)=x(n-n0)sin(ωn) y(n-n0)=x(n-n0)sin[ω(n-n0)]≠y′(n)故系统不是非时变系统。由于 T[ax1(n)+bx2(n)]=ax1(n)sin(ωn)+bx2(n)sin(ωn) =aT[x1(n)]+bT[x2(n)]故系统是线性系统。 6.给定下述系统的差分方程,试判定系统是否是因果稳定系统,并说明理由。(1)y(n)= x(n-k)(2)y(n)=x(n)+x(n+1)(3)y(n)= x(k)(4)y(n)=x(n-n0)(5)y(n)=ex(n) 解:(1)只要N≥1,该系统就是因果系统,因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。 如果|x(n)|≤M,则|y(n)|≤M,因此系统是稳定系统。 (2)该系统是非因果系统,因为n时间的输出还和n时间以后((n+1)时间)的输入有关。如果|x(n)|≤M,则|y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M,因此系统是稳定系统。 (3)如果|x(n)|≤M,则|y(n)|≤ |x(k)|≤|2n0+1|M,因此系统是稳定的;假设n0>0,系统是非因果的,因为输出还和x(n)的将来值有关。 (4)假设n0>0,系统是因果系统,因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。如果|x(n)|≤M,则|y(n)|≤M,因此系统是稳定的。 (5)系统是因果系统,因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果|x(n)|≤M,则|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM,因此系统是稳定的。 7.设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示,要求画出y(n)输出的波形。 解:解法(一)采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)= x(m)h(n-m)题7图y(n)={-2,-1,-0.5,2,1,4.5,2,1;n=-2,-1,0,1,2,3,4,5} 解法(二) 采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为 x(n)=-δ(n+2)+δ(n-1)+2δ(n-3) h(n)=2δ(n)+δ(n-1)+ δ(n-2)由于 x(n)*δ(n)=x(n) x(n)*Aδ(n-k)=Ax(n-k)故 y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*[2δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)]=2x(n)+x(n-1)+ x(n-2)将x(n)的表示式代入上式,得到y(n)=-2δ(n+2)-δ(n+1)-0.5δ(n)+2δ(n-1)+δ(n-2)+4.5δ(n-3)+2δ(n-4)+δ(n-5) 8.设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况,分别求出输出y(n)。 (1)h(n)=R4(n),x(n)=R5(n) (2)h(n)=2R4(n),x(n)=δ(n)-δ(n-2) (3)h(n)=0.5nu(n),xn=R5(n) 解:(1)y(n)=x(n)*h(n)= R4(m)R5(n-m)先确定求和域。由R4(m)和R5(n-m)确定y(n)对于m的 非零区间如下: 0≤m≤3 -4≤m≤n根据非零区间,将n分成四种情况求解:①n<0时,y(n)=0②0≤n≤3时,y(n)= 1=n+1③4≤n≤7时,y(n)= 1=8-n④n>7时,y(n)=0最后结果为0n<0或n>7n+10≤n≤38-n 4≤n≤7y(n)的波形如题8解图(一)所示。 (2)y(n)=2R4(n)*[δ(n)-δ(n-2)]=2R4(n)-2R4(n-2) =2[δ(n)+δ(n-1)-δ(n+4)-δ(n+5)]y(n)的波形如题8解图(二)所示y(n)=题8解图(一)题8解图(二)(3)y(n)=x(n)*h(n)= R5(m)0.5n-mu(n-m) =0.5n R5(m)0.5-mu(n-m)y(n)对于m的非零区间为 0≤m≤4, m≤n ①n<0时,y(n)=0 ②0≤n≤4时,=-(1-0.5-n-1)0.5n=2-0.5n③n≥5时最后写成统一表达式:y(n)=(2-0.5n)R5(n)+31×0.5nu(n-5) 9.证明线性卷积服从交换律、结合律和分配律,即证明下面等式成立: (1)x(n)*h(n)=h(n)*x(n) (2)x(n)*(h1(n)*h2(n))=(x(n)*h1(n))*h2(n) (3)x(n)*(h1(n)+h2(n))=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) 证明:(1)因为令m′=n-m,则(2)利用上面已证明的结果,得到交换求和号的次序,得到 10.设系统的单位脉冲响应h(n)=(3/8)0.5nu(n),系统的输入x(n)是一些观测数据,设x(n)={x0,x1,x2,…,xk,…},试利用递推法求系统的输出y(n)。递推时设系统初始状态为零状态。解:n=0时,n≥0n=1时,n=2时,最后得到11.设系统由下面差分方程描述:设系统是因果的,利用递推法求系统的单位脉冲响应。解:令x(n)=δ(n),则n=0时,n=1时,n=2时,n=3时,归纳起来,结果为 12.设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述,初始条件y(-1)=0,试分析该系统是否是线性非时变系统。 解:分析的方法是让系统输入分别为δ(n)、δ(n-1)、δ(n)+δ(n-1)时,求它的输出,再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。 (1)令x(n)=δ(n),这时系统的输出用y1(n)表示。该情况在教材例1.4.1中已求出,系统的输出为 y1(n)=anu(n) (2)令x(n)=δ(n-1),这时系统的输出用y2(n)表示。n=0时,n=1时,n=2时,任意n时,最后得到 (3)令x(n)=δ(n)+δ(n-1),系统的输出用y3(n)表示。n=0时,n=1时,n=2时,n=3时,任意n时,最后得到由(1)和(2)得到 y1(n)=T[δ(n)],y2(n)=T[δ(n-1)] y1(n)=y2(n-1)因此可断言这是一个时不变系统。情况(3)的输入信号是情况(1)和情况(2)输入信号的相加信号,因此y3(n)=T[δ(n)+δ(n-1)]。观察y1(n)、y2(n)、y3(n),得到y3(n)=y1(n)+y2(n),因此该系统是线性系统。最后得到结论:用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n),0
2对应的原序列x(n)。解: (1)收敛域0.5<|z|<2: n≥0时,c内有极点0.5, x(n)=Res[F(z),0.5]=0.5n=2-nn<0时,c内有极点0.5、0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2, x(n)=-Res[F(z),2]=2n最后得到x(n)=2-nu(n)+2nu(-n-1)=2-|n| ∞2: n≥0时,c内有极点0.5、2, n<0时,c内有极点0.5、2、0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没有极点,因此 x(n)=0最后得到 x(n)=(0.5n-2n)u(n) 19.用部分分式法求以下X(z)的反变换:(1)(2)解:(1)(2)20.设确定性序列x(n)的自相关函数用下式表示:试用x(n)的Z变换X(z)和x(n)的傅里叶变换X(ejω)分别表示自相关函数的Z变换Rxx(z)和傅里叶变换Rxx(ejω)。解:解法一令m′=n+m,则解法二因为x(n)是实序列,X(e-jω)=X*(ejω),因此 21.用Z变换法解下列差分方程: (1)y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n),y(n)=0n≤-1 (2)y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n),y(-1)=1,y(n)=0 n<-1 (3)y(n)-0.8y(n-1)-0.15y(n-2)=δ(n)y(-1)=0.2,y(-2)=0.5,y(n)=0,当n≤-3时。 解: (1)y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n),y(n)=0 n≤-1n≥0时,n<0时,y(n)=0最后得到y(n)=[-0.5·(0.9)n+1+0.5]u(n) (2)y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n),y(-1)=1,y(n)=0n<-1n≥0时,n<0时,y(n)=0最后得到y(n)=[0.45(0.9)n+0.5]u(n) (3)y(n)-0.8y(n-1)-0.15y(n-2)=δ(n) y(-1)=0.2,y(-2)=0.5,y(n)=0,当n<-2时Y(z)-0.8z-1[Y(z)+y(-1)z]-0.15z-2[Y(z)+y(-1)z+y(-2)z2]=1n≥0时,y(n)=-4.365·0.3n+6.375·0.5nn<0时,y(n)=0最后得到y(n)=(-4.365·0.3n+6.375·0.5n)u(n)22.设线性时不变系统的系统函数H(z)为 (1)在z平面上用几何法证明该系统是全通网络,即|H(ejω)|=常数; (2)参数a如何取值,才能使系统因果稳定?画出其极零点分布及收敛域。 解:(1)极点为a,零点为a-1。 设a=0.6,极零点分布图如题22解图(a)所示。我们知道|H(ejω)|等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度,按照题22解图(a),得到因为角ω公用,,且△AOB~△AOC,故,即故H(z)是一个全通网络。 或者按照余弦定理证明:题22解图 (2)只有选择|a|<1才能使系统因果稳定。设a=0.6,极零点分布图及收敛域如题22解图(b)所示。 23.设系统由下面差分方程描述: y(n)=y(n-1)+y(n-2)+x(n-1) (1)求系统的系统函数H(z),并画出极零点分布图; (2)限定系统是因果的,写出H(z)的收敛域,并求出其单位脉冲响应h(n); (3)限定系统是稳定性的,写出H(z)的收敛域,并求出其单位脉冲响应h(n)。 解: (1)y(n)=y(n-1)+y(n-2)+x(n-1) 将上式进行Z变换,得到 Y(z)=Y(z)z-1+Y(z)z-2+X(z)z-1因此零点为z=0。令z2-z-1=0,求出极点:极零点分布图如题23解图所示。题23解图 (2)由于限定系统是因果的,收敛域需选包含∞点在内的收敛域,即 。求系统的单位脉冲响应可以用两种方法,一种是令输入等于单位脉冲序列,通过解差分方程,其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应;另一种方法是求H(z)的逆Z变换。我们采用第二种方法。式中,令n≥0时,h(n)=Res[F(z),z1]+Res[F(z),z2]因为h(n)是因果序列,n<0时,h(n)=0,故 (3)由于限定系统是稳定的,收敛域需选包含单位圆在内的收敛域,即|z2|<|z|<|z1|,n≥0时,c内只有极点z2,只需求z2点的留数, n<0时,c内只有两个极点:z2和z=0,因为z=0是一个n阶极点,改成求圆外极点留数,圆外极点只有一个,即z1,那么最后得到 24.已知线性因果网络用下面差分方程描述: y(n)=0.9y(n-1)+x(n)+0.9x(n-1) (1)求网络的系统函数H(z)及单位脉冲响应h(n); (2)写出网络频率响应函数H(ejω)的表达式,并定性画出其幅频特性曲线; (3)设输入x(n)=ejω0n,求输出y(n)。 解: (1)y(n)=0.9y(n-1)+x(n)+0.9x(n-1) Y(z)=0.9Y(z)z-1+X(z)+0.9X(z)z-1令n≥1时,c内有极点0.9,n=0时,c内有极点0.9,0,最后得到 h(n)=2·0.9nu(n-1)+δ(n)(2) 极点为z1=0.9,零点为z2=-0.9。极零点图如题24解图(a)所示。按照极零点图定性画出的幅度特性如题24解图(b)所示。 (3)题24解图 25.已知网络的输入和单位脉冲响应分别为 x(n)=anu(n), h(n)=bnu(n)0max(r,|a|),且n<0时,y(n)=0,故c包含三个极点,即a、z1、z2。 27.如果x1(n)和x2(n)是两个不同的因果稳定实序列,求证:式中,X1(ejω)和X2(ejω)分别表示x1(n)和x2(n)的傅里叶变换。 解:FT[x1(n)*x2(n)]=X1(ejω)X2(ejω)进行IFT,得到令n=0,则由于x1(n)和x2(n)是实稳定因果序列,因此(1)(2)(3)由(1)、(2)、(3)式,得到 28.若序列h(n)是因果序列,其傅里叶变换的实部如下式:求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejω)。解:求上式的Z的反变换,得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)为 因为h(n)是因果序列,he(n)必定是双边序列,收敛域取:a<|z|规定循环卷积的输出序列ym(n)的序列标号为n=0,1,2,…,127。 先以h(n)与各段输入的线性卷积ylm(n)分析问题,因为当h(n)的50个样值点完全与第m段输入序列xm(n)重叠后,ylm(n)才与真正的滤波输出y(n)相等,所以,ylm(n)中第0点到第48点(共49个点)不正确,不能作为滤波输出,第49点到第99点(共51个点)为正确的滤波输出序列y(n)的第m段,即B=51。 所以,为了去除前面49个不正确点,取出51个正确的点连接,得到不间断又无多余点的y(n),必须重叠100-51=49个点,即V=49。 下面说明,对128点的循环卷积ym(n),上述结果也是正确的。我们知道因为ylm(n)长度为N+M-1=50+100-1=149所以n从21到127区域无时域混叠,ym(n)=ylm(n),当然,第49点到第99点二者亦相等,所以,所取出的51点为从第49点到第99点的ym(n)。 综上所述,总结所得结论: V=49, B=51选取ym(n)中第49~99点作为滤波输出。 读者可以通过作图来理解重叠保留法的原理和本题的解答。 22.证明DFT的频域循环卷积定理。 证:DFT的频域循环卷积定理重写如下: 设h(n)和x(n)的长度分别为N和M, ym(n)=h(n)x(n) H(k)=DFT[h(n)]L,X(k)=DFT[X(n)]L则LX(k)其中,L≥max[N,M]。 根据DFT的惟一性,只要证明ym(n)=IDFT[Ym(k)]=h(n)x(n),就证明了DFT的频域循环卷积定理。 教材第4章习题与上机题解答 快速傅里叶变换(FFT)是DFT的快速算法,没有新的物理概念。FFT的基本思想和方法教材中都有详细的叙述,所以只给出教材第4章的习题与上机题解答。 1.如果某通用单片计算机的速度为平均每次复数乘需要4μs,每次复数加需要1μs,用来计算N=1024点DFT,问直接计算需要多少时间。用FFT计算呢?照这样计算,用FFT进行快速卷积对信号进行处理时,估计可实现实时处理的信号最高频率。 解:当N=1024=210时,直接计算DFT的复数乘法运算次数为 N2=1024×1024=1048576次复数加法运算次数为 N(N-1)=1024×1023=1047552次直接计算所用计算时间TD为 TD=4×10-6×10242+1047552×10-6=5.241856s用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为 快速卷积时,需要计算一次N点FFT(考虑到H(k)=DFT[h(n)]已计算好存入内存)、N次频域复数乘法和一次N点IFFT。所以,计算1024点快速卷积的计算时间Tc约为所以,每秒钟处理的采样点数(即采样速率)由采样定理知,可实时处理的信号最高频率为 应当说明,实际实现时,fmax还要小一些。这是由于实际中要求采样频率高于奈奎斯特速率,而且在采用重叠相加法时,重叠部分要计算两次。重叠部分长度与h(n)长度有关,而且还有存取数据和指令周期等消耗的时间。 2.如果将通用单片机换成数字信号处理专用单片机TMS320系列,计算复数乘和复数加各需要10ns。请重复做上题。 解:与第1题同理。 直接计算1024点DFT所需计算时间TD为TD=10×10-9×10242+10×10-9×1047552=20.96128ms用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为快速卷积计算时间Tc约为可实时处理的信号最高频率fmax为≤··由此可见,用DSP专用单片机可大大提高信号处理速度。所以,DSP在数字信号处理领域得到广泛应用。机器周期小于1ns的DSP产品已上市,其处理速度更高。 3.已知X(k)和Y(k)是两个N点实序列x(n)和y(