概率论与数理统计练习题(含答案)

第1页，共41页数理统计练习题一、填空题1、设A、B为随机事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B|A)=0.8，则P(A+B)=__0.7__。2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率32。3、设随机变量X服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(XEXD1/3。4、设随机变量X服从参数为λ的泊松（Poisson）分布，且已知)]2)(1[(−−XXE＝1，则=λ___1____。5、一次试验的成功率为p，进行100次独立重复试验，当=p1/2_____时，成功次数的方差的值最大，最大值为25。6、（X，Y）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN，则X的边缘分布为),(211σμN。7、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2yxxyyxf，则E(X)=34。8、随机变量X的数学期望μ=EX，方差2σ=DX，k、b为常数，则有)(bkXE+=,kbμ+；)(bkXD+=22kσ。9、若随机变量X～N(－2，4)，Y～N(3，9)，且X与Y相互独立。设Z＝2X－Y＋5，则Z～N(-2,25)。10、θθθ是常数21ˆ,ˆ的两个无偏估计量，若)ˆ()ˆ(21θθDD<，则称1ˆθ比2ˆθ有效。1、设A、B为随机事件，且P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A∪B)=0.6，则P(BA)=_0.3__。2、设X∼B(2,p)，Y∼B(3,p)，且P{X≥1}=95，则P{Y≥1}=2719。3、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Y=3X-2,则E(Y)=4。4、设随机变量X服从[0,2]上的均匀分布，Y=2X+1，则D(Y)=4/3。5、设随机变量X的概率密度是：⎩⎨⎧<<=其他0103)(2xxxf，且{}784.0=≥αXP，则α=0.6。6、利用正态分布的结论，有∫∞+∞−−−=+−dxexxx2)2(22)44(21π1。第2页，共41页7、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2yxxyyxf，则E(Y)=3/4。8、设（X，Y）为二维随机向量，D(X)、D(Y)均不为零。若有常数a>0与b使{}1=+−=baXYP，则X与Y的相关系数=XYρ-1。9、若随机变量X～N(1，4)，Y～N(2，9)，且X与Y相互独立。设Z＝X－Y＋3，则Z～N(2,13)。10、设随机变量X～N(1/2，2)，以Y表示对X的三次独立重复观察中“2/1≤X”出现的次数，则}2{=YP=3/8。1、设A，B为随机事件，且P(A)=0.7，P(A－B)=0.3，则=∪)(BAP0.6。2、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为61,31,41,51，则密码能被译出的概率是11/24。3、射手独立射击8次，每次中靶的概率是0.6，那么恰好中靶3次的概率是53384.06.0××C＝0.123863。4、已知随机变量X服从[0,2]上的均匀分布，则D(X)=1/3。5、设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且{}{}423===XPXP，则λ=6。6、设随机变量X~N(1,4)，已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332，则{}=<2XP0.6247。7、随机变量X的概率密度函数1221)(−+−=xxexfπ，则E(X)=1。8、已知总体X~N(0,1)，设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，则∑=niiX12~)(2nx。9、设T服从自由度为n的t分布，若{}αλ=>TP，则{}=−<λTP2a。10、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,),(yxxyyxf，则E(X)=4/3。1、设A，B为随机事件，且P(A)=0.6,P(AB)=P(BA),则P(B)=0.4。2、设随机变量X与Y相互独立，且5.05.011PX−，5.05.011PY−，则P(X=Y)=_0.5_。3、设随机变量X服从以n,p为参数的二项分布，且EX=15，DX=10，则n=45。4、设随机变量),(~2σμNX，其密度函数644261)(+−−=xxexfπ，则μ=2。5、设随机变量X的数学期望EX和方差DX>0都存在，令DXEXXY/)(−=，则DY=1。第3页，共41页6、设随机变量X服从区间[0，5]上的均匀分布，Y服从5=λ的指数分布，且X，Y相互独立，则(X,Y)的联合密度函数f(x,y)=⎩⎨⎧≥≤≤−其它00,505yxey。7、随机变量X与Y相互独立，且D(X)=4，D(Y)=2，则D(3X－2Y)＝44。8、设nXXX,,,21L是来自总体X~N(0,1)的简单随机样本，则∑=−niiXX12)(服从的分布为)1(2−nx。9、三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为31,41,51，则目标能被击中的概率是3/5。10、已知随机向量(X,Y)的联合概率密度⎩⎨⎧>≤≤=−其它00,10,4),(2yxxeyxfy，则EY=1/2。1、设A,B为两个随机事件，且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3，则P(AB)=__0.6__。2、设随机变量X的分布律为212110pX，且X与Y独立同分布，则随机变量Z＝max{X,Y}的分布律为434110PZ。3、设随机变量X～N(2，2σ)，且P{2<X<4}＝0.3，则P{X<0}＝0.2。4、设随机变量X服从2=λ泊松分布，则{}1≥XP=21−−e。5、已知随机变量X的概率密度为)(xfX，令XY2−=，则Y的概率密度)(yfY为)2(21yfX−。6、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则=)(XD2.4。7、X1，X2，…，Xn是取自总体()2,σμN的样本，则212)(σ∑=−niiXX～)1(2−nx。8、已知随机向量(X,Y)的联合概率密度⎩⎨⎧>≤≤=−其它00,10,4),(2yxxeyxfy，则EX=2/3。9、称统计量θθ为参数ˆ的无偏估计量，如果)(θ)E=θ。10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为小概率事件原理。1、设A、B为两个随机事件，若P(A)=0.4，P(B)=0.3，6.0)(=∪BAP，则=)(BAP0.3。2、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则=)(2XE18.4。第4页，共41页3、设随机变量X～N(1/4，9)，以Y表示对X的5次独立重复观察中“4/1≤X”出现的次数，则}2{=YP=5/16。4、已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=2)=P(X=4)，则λ=32。5、称统计量θθ为参数ˆ的无偏估计量，如果)(θ)E=θ。6、设)(~),1,0(~2nxYNX，且X，Y相互独立，则~nYXt(n)。7、若随机变量X～N(3，9)，Y～N(－1，5)，且X与Y相互独立。设Z＝X－2Y＋2，则Z～N(7，29)。8、已知随机向量(X,Y)的联合概率密度⎩⎨⎧>≤≤=−其它00,10,6),(3yxxeyxfy，则EY=1/3。9、已知总体nXXXNX,,,),,(~212Lσμ是来自总体X的样本，要检验202σσ=：oH，则采用的统计量是202)1(σSn−。10、设随机变量T服从自由度为n的t分布，若{}αλ=>TP，则{}=<λTP21a−。1、设A、B为两个随机事件，P(A)=0.4,P(B)=0.5，7.0)(=BAP，则=)(BAPU0.55。2、设随机变量X~B(5,0.1)，则D(1－2X)＝1.8。3、在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为6437，则每次射击击中目标的概率为1/4。4、设随机变量X的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======XPXPXP，则X的期望EX=2.3。5、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于－1。6、设(X,Y)的联合概率分布列为YX－104－21/91/32/911/18ab若X、Y相互独立，则a=1/6，b=1/9。7、设随机变量X服从[1，5]上的均匀分布，则{}=≤≤42XP1/2。8、三个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为31,41,51，则密码能被译出的概率是3/5。9、若nXXXNX,,,),,(~2121Lσμ是来自总体X的样本，2,SX分别为样本均值和样本方差，则第5页，共41页SnX)(μ−~t(n-1)。10、θθθ是常数21ˆ,ˆ的两个无偏估计量，若)ˆ()ˆ(21θθDD<，则称1ˆθ比2ˆθ有效。1、已知P(A)=0.8，P(A－B)=0.5，且A与B独立，则P(B)＝3/8。2、设随机变量X～N(1，4)，且P{X≥a}=P{X≤a}，则a＝1。3、随机变量X与Y相互独立且同分布，21)1()1(=−==−=YPXP，21)1()1(====YPXP，则()0.5PXY==。4、已知随机向量(X,Y)的联合分布密度⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它010,104),(yxxyyxf，则EY=2/3。5、设随机变量X～N(1，4)，则{}2>XP＝0.3753。（已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332）6、若随机变量X～N(0，4)，Y～N(－1，5)，且X与Y相互独立。设Z＝X＋Y－3，则Z～N(－4，9)。7、设总体X～N(1，9)，nXXX,,,21L是来自总体X的简单随机样本，2,SX分别为样本均值与样本方差，则∑=−niiXX12~)(912(8)χ；；∑=−niiX12~)1(9129χ（）。8、设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且{}{}423===XPXP，则λ=6。9、袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，从中随机一次抽取2只，则此两球颜色不同的概率为4/7。10、在假设检验中，把符合H0的总体判为不合格H0加以拒绝，这类错误称为一错误；把不符合H0的总体当作符合H0而接受。这类错误称为二错误。1、设A、B为两个随机事件，P(A)=0.8，P(AB)=0.4，则P(A－B)=0.4。2、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则=)(XD2.4。3、设随机变量X的概率分布为X－1012P0.10.30.20.4则{}12≥XP=0.7。4、设随机变量X的概率密度函数1221)(−+−=xxexfπ，则)(XD=21。5、袋中有大小相同的黑球7只，白球3只，每次从中任取一只，有放回抽取，记首次抽到黑球时抽取的次数为X，则P{X＝10}＝0.39*0.7。6、某人投篮，每次命中率为0.7，现独立投篮5次，恰好命中4次的概率是14453.07.0××C。第6页，共41页7、设随机变量X的密度函数2)2(221)(+−=xexfπ，且{}{}cXPcXP≤=≥，则c=-2。8、已知随机变量U=4－9X，V=8＋3Y，且X与Y的相关系数XYρ＝1，则U与V的相关系数UVρ＝－1。9、设)(~),1,0(~2nxYNX，且X，Y相互独立，则~nYXt(n)10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为小概率事件原理。1、随机事件A与B独立，===)(5.0)(,7.0)(BPAPBAP则，U0.4。2、设随机变量X的概率分布为X－2－1012p0.20.10.30.20.2则X2的概率分布为3、设随机变量X服从[2，6]上的均匀分布，则{}=<<43XP0.25。4、设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，且每次命中率为0.4，则2EX=_18.4__。5、随机变量)4,(~μNX，则~2μ−=XYN(0,1)。6、四名射手独立地向一目标进行射击，已知各人能击中目标的概率分别为1/2、3/4、2/3、3/5，则目标能被击中的概率是59/60。7、一袋中有2个黑球和若干个白球，现有放回地摸球4次，若至少摸到一个白球的概率是8180，则袋中白球的个数是4。8、已知随机变量U=1＋2X，V=2－3Y，且X与Y的相关系数XYρ＝－1，则U与V的相关系数UVρ＝1。9、设随机变量X～N(2，9)，且P{X≥a}=P{X≤a}，则a＝2。10、称统计量θθ为参数ˆ的无偏估计量，如果)(θ)E=θ二、选择题1、设随机事件A与B互不相容，且0)()(>>BPAP，则（D）。Ａ.)(1)(BPAP−=B.)()()(BPAPABP=Ｃ.1)(=∪BAPＤ.1)(=ABP2、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（A）。X2014P0.30.30.4第7页，共41页A.2242B.2412CCC.24!2PD.!4!2３、已知随机变量X的概率密度为)(xfX，令XY2−=，则Y的概率密度)(yfY为（D）。A.)2(2yfX−B.)2(yfX−C.)2(21yfX−−D.)2(21yfX−４、设随机变量)(~xfX，满足)()(xfxf−=，)(xF是x的分布函数，则对任意实数a有（B）。A.∫−=−adxxfaF0)(1)(B.∫−=−adxxfaF0)(21)(C.)()(aFaF=−D.1)(2)(−=−aFaF５、设)(xΦ为标准正态分布函数，100,,2,1,0A,1L=⎩⎨⎧=iXi否则；，发生；事件且8.0)(=AP，10021XXX，，，L相互独立。令∑==1001iiXY，则由中心极限定理知Y的分布函数)(yF近似于（B）。A.)(yΦB．)480(−ΦyC．)8016(+ΦyD．)804(+Φy１、设A，B为随机事件，0)(>BP，1)|(=BAP，则必有（A）。A.)()(APBAP=∪B.BA⊃C.)()(BPAP=D.)()(APABP=２、某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为43，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是（C）。A.343）（B.41432×）（C.43412×）（D.22441C）（3、设12,XX是来自总体X的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是(A)。A.121122XXμ=+)B.121233XXμ=+)C.121344XXμ=+)D.122355XXμ=+)4、设)(xΦ为标准正态分布函数，100,,2,1,0A,1L=⎩⎨⎧=iXi否则。，发生；事件且()0.1PA=，10021XXX，，，L相互独立。令∑==1001iiXY，则由中心极限定理知Y的分布函数)(yF近似于（B）。第8页，共41页A.)(yΦB．10()3y−ΦC．(310)yΦ+D．(910)yΦ+5、设),,,(21nXXXL为总体)2,1(2N的一个样本，X为样本均值，则下列结论中正确的是（D）。A.)(~/21ntnX−；B.)1,(~)1(4112nFXnii∑=−；C.)1,0(~/21NnX−；D.)(~)1(41212nXniiχ∑=−；１、已知A、B、C为三个随机事件，则A、B、C不都发生的事件为（A）。A.CBAB.ABCC.A+B+CD.ABC２、下列各函数中是随机变量分布函数的为（B）。A.∞<<−∞+=xxxF,11)(2B.⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0100)(xxxxxFC.∞<<−∞=−xexFx,)(D.∞<<∞−+=xarctgxxF,2143)(π3、),(YX是二维随机向量，与0),(=YXCov不等价的是（D）A.)()()(YEXEXYE=B.)()()(YDXDYXD+=+C.)()()(YDXDYXD+=−D.X和Y相互独立4、设)(xΦ为标准正态分布函数，100,,2,1,0A,1L=⎩⎨⎧=iXi否则，发生事件且()0.2PA=，10021XXX，，，L相互独立。令∑==1001iiXY，则由中心极限定理知Y的分布函数)(yF近似于（B）。A.)(yΦB．20()4y−ΦC．(1620)yΦ−D．(420)yΦ−5、设总体)2,(~2μNX，其中μ未知，nXXX,,,21L为来自总体的样本，样本均值为X，样本方差为2s，则下列各式中不是统计量的是（C）。A.X2B.22σsC.σμ−XD.22)1(σsn−1、若随机事件A与B相互独立，则)(BAP+＝（B）。A.)()(BPAP+B.)()()()(BPAPBPAP−+C.)()(BPAPD.)()(BPAP+2、设总体X的数学期望EX＝μ，方差DX＝σ2，X1，X2，X3，X4是来自总体X的简单随机样本，则下列μ第9页，共41页的估计量中最有效的是（D）1233123123412341111111A.B.663333334111111C.D.55554444XXXXXXXXXXXXXXX++++++−−+++3、设)(xΦ为标准正态分布函数，100,,2,1,0A,1L=⎩⎨⎧=iXi否则，发生事件且()0.3PA=，10021XXX，，，L相互独立。令∑==1001iiXY，则由中心极限定理知Y的分布函数)(yF近似于（B）。A.)(yΦB．30()21y−ΦC．30()21y−ΦD．(30)yΦ−4、设离散型随机变量的概率分布为101)(+==kkXP，3,2,1,0=k，则)(XE＝（B）。A.1.8B.2C.2.2D.2.45、在假设检验中,下列说法错误的是（C）。A.1H真时拒绝1H称为犯第二类错误。B.1H不真时接受1H称为犯第一类错误。C.设α=}|{00真拒绝HHP，β=}|{00不真接受HHP，则α变大时β变小。D.α、β的意义同（C），当样本容量一定时，α变大时则β变小。1、若A与B对立事件，则下列错误的为（A）。A.)()()(BPAPABP=B.1)(=+BAPC.)()()(BPAPBAP+=+D.0)(=ABP2、下列事件运算关系正确的是（A）。A.ABBAB+=B.ABBAB+=C.ABBAB+=D.BB−=13、设)(xΦ为标准正态分布函数，100,,2,1,0A,1L=⎩⎨⎧=iXi否则，发生事件且()0.4PA=，10021XXX，，，L相互独立。令∑==1001iiXY，则由中心极限定理知Y的分布函数)(yF近似于（B）。A.)(yΦB．40()24y−ΦC．(40)yΦ−D．40()24y−Φ第10页，共41页4、若)()()(YEXEXYE=，则（D）。A.X和Y相互独立B.X与Y不相关C.)()()(YDXDXYD=D.)()()(YDXDYXD+=+5、若随机向量（YX,）服从二维正态分布，则①YX,一定相互独立；②若0=XYρ，则YX,一定相互独立；③X和Y都服从一维正态分布；④若YX,相互独立，则Cov(X,Y)=0。几种说法中正确的是（B）。A.①②③④B.②③④C.①③④D.①②④1、设随机事件A、B互不相容，qBPpAP==)(,)(，则)(BAP＝（C）。A.qp)1(−B.pqC.qD.p2、设A，B是两个随机事件，则下列等式中（C）是不正确的。A.)()()(BPAPABP=，其中A，B相互独立B.)()()(BAPBPABP=，其中0)(≠BPC.)()()(BPAPABP=，其中A，B互不相容D.)()()(ABPAPABP=，其中0)(≠AP3、设)(xΦ为标准正态分布函数，100,,2,1,0A,1L=⎩⎨⎧=iXi否则，发生事件且()0.5PA=，10021XXX，，，L相互独立。令∑==1001iiXY，则由中心极限定理知Y的分布函数)(yF近似于（B）。A.)(yΦB．50()5y−ΦC．(50)yΦ−D．50()25y−Φ4、设随机变量X的密度函数为f(x)，则Y=5—2X的密度函数为（B）1515A.()B.()22221515C.()D.()2222yyffyyff−−−−−++−−−5、设xxxn12,,,L是一组样本观测值，则其标准差是（B）。A.∑=−−niixxn12)(11B.∑=−−niixxn12)(11C.∑=−niixxn12)(1D.∑=−niixxn1)(11、若A、B相互独立，则下列式子成立的为（A）。第11页，共41页A.)()()(BPAPBAP=B.0)(=ABPC.)|()|(ABPBAP=D.)()|(BPBAP=2、若随机事件AB,的概率分别为6.0)(=AP，5.0)(=BP，则A与B一定（D）。A.相互对立B.相互独立C.互不相容D.相容3、设)(xΦ为标准正态分布函数，100,,2,1,0A,1L=⎩⎨⎧=iXi否则，发生事件且()0.6PA=，10021XXX，，，L相互独立。令∑==1001iiXY，则由中心极限定理知Y的分布函数)(yF近似于（B）。A.)(yΦB．60()24y−ΦC．(60)yΦ−D．60()24y−Φ4、设随机变量X～N(μ，81)，Y～N(μ，16)，记}4{},9{21+≥=−≤=μμYpXPp，则（B）。A.p1<p2B.p1＝p2C.p1>p2D.p1与p2的关系无法确定5、设随机变量X的密度函数为f(x)，则Y=7—5X的密度函数为（B）1717A.()B.()55551717C.()D.()5555yyffyyff−−−−−++−−−1、对任意两个事件A和B，若0)(=ABP，则（D）。A.φ=ABB.φ=BAC.0)()(=BPAPD.)()(APBAP=−2、设A、B为两个随机事件，且1)(0<<AP，1)(0<<BP，)|()|(ABPABP=，则必有（B）。A.)|()|(BAPBAP=B.)()()(BPAPABP=C.)()()(BPAPABP≠D.A、B互不相容3、设)(xΦ为标准正态分布函数，100,,2,1,0A,1L=⎩⎨⎧=iXi否则，发生事件且()0.7PA=，10021XXX，，，L相互独立。令∑==1001iiXY，则由中心极限定理知Y的分布函数)(yF近似于（B）。A.)(yΦB．70()21y−ΦC．(70)yΦ−D．70()21y−Φ4、已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在区间[－1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则=)(XYE第12页，共41页（A）。A.3B.6C.10D.125、设随机变量X～N(μ，9)，Y～N(μ，25)，记}5{},3{21+≥=−≤=μμYpXPp，则（B）。A.p1<p2B.p1＝p2C.p1>p2D.p1与p2的关系无法确定1、设21,AA两个随机事件相互独立，当21,AA同时发生时，必有A发生，则（A）。A.)()(21APAAP≤B.)()(21APAAP≥C.)()(21APAAP=D.)()()(21APAPAP=2、已知随机变量X的概率密度为)(xfX，令32+−=XY，则Y的概率密度)(yfY为（A）。A.)23(21−−−yfXB.)23(21−−yfXC.)23(21+−−yfXD.)23(21+−yfX3、两个独立随机变量YX,，则下列不成立的是（C）。A.EXEYEXY=B.EYEXYXE+=+)(C.DXDYDXY=D.DYDXYXD+=+)(4、设)(xΦ为标准正态分布函数，100,,2,1,0A,1L=⎩⎨⎧=iXi否则，发生事件且()0.9PA=，10021XXX，，，L相互独立。令∑==1001iiXY，则由中心极限定理知Y的分布函数)(yF近似于（B）。A.)(yΦB．90()3y−ΦC．(90)yΦ−D．90()9y−Φ5、设总体X的数学期望EX＝μ，方差DX＝σ2，X1，X2，X3是来自总体X的简单随机样本，则下列μ的估计量中最有效的是（B）123123123123111111A.B.424333342121C.D.555662XXXXXXXXXXXX+++++−++1、若事件321,,AAA两两独立，则下列结论成立的是（B）。A.321,,AAA相互独立B.321,,AAA两两独立C.)()()()(321321APAPAPAAAP=D.321,,AAA相互独立2、连续型随机变量X的密度函数f(x)必满足条件（C）。A.0()1B.C.()1D.lim()1xfxfxdxfx+∞−∞→+∞≤≤==∫在定义域内单调不减第13页，共41页3、设21,XX是任意两个互相独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为)(1xf和)(2xf，分布函数分别为)(1xF和)(2xF，则（B）。A.)()(21xfxf+必为密度函数B.)()(21xFxF⋅必为分布函数C.)()(21xFxF+必为分布函数D.)()(21xfxf⋅必为密度函数4、设随机变量X,Y相互独立，且均服从[0，1]上的均匀分布，则服从均匀分布的是（B）。A.XYB.（X,Y）C.X—YD.X+Y5、设)(xΦ为标准正态分布函数，,,2,1,0A,1niXiL=⎩⎨⎧=否则，发生事件且()PAp=，12nXXXL，，，相互独立。令1niiYX==∑，则由中心极限定理知Y的分布函数)(yF近似于（B）。A.)(yΦB．()(1)ynpnpp−Φ−C．()ynpΦ−D．()(1)ynpnpp−Φ−三（1）、已知5%的男性和0.25%的女性是色盲，假设男性女性各占一半。现随机地挑选一人，求此人恰好是色盲者的概率。设A：表示此人是男性；B：表示此人是色盲。则所求的概率为()()(|)()(|)PBPAPBAPAPBA=+0.50.050.50.00250.02625=×+×=答：此人恰好是色盲的概率为0.02625。三（2）、已知5%的男性和0.25%的女性是色盲，假设男性女性各占一半。若随机地挑选一人，发现此人不是色盲，问此人是男性的概率。设A：表示此人是男性；B：表示此人是色盲。则所求的概率为()(|)()(|)(|)()1()PAPBAPAPBAPABPBPB==−()(|)1[()(|)()(|)]PAPBAPAPBAPAPBA=−+0.50.950.487810.02625×=≈−答：此人是男人的概率为0.4878。。三（3）、一袋中装有10个球，其中3个白球，7个红球。现从中采用不放回方式摸球两次，每次一个，求第14页，共41页第二次取得白球的概率。解设iA表示表示第i次取得白球，i=1,2。则所求事件的概率为2121121()()(|)()(|)PAPAPAAPAPAA=+3273931091093010=×+×==答：第二次取得白球的概率为3/10。三（4）、一袋中装有10个球，其中3个白球，7个红球。现从中采用不放回方式摸球两次，每次一个，若第二次取得白球，则第一次也是白球的概率。解设iA表示表示第i次取得白球，i=1,2。则所求事件的概率为12121122121121()()(|)(|)=()()(|)()(|)PAAPAPAAPAAPAPAPAAPAPAA=+3221093910×==答：第二次摸得白球，第一次取得也是白球的概率为2/9。三（5）、市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的两倍，第二、第三厂家相等，且第一、第二、第三厂家的次品率依次为2％，2％，4％。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率为多少？解设iA表示产品由第i家厂家提供，i=1,2,3；B表示此产品为次品。则所求事件的概率为1111112233(|)()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)PABPAPBAPABPBPAPBAPAPBAPAPBA==++＝10.0220.41110.020.020.04244×=×+×+×答：该件商品是第一产家生产的概率为0.4。三（6）、甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%、35%、40%，次品率分别为0.03、0.02、0.01。现从所有的产品中抽取一个产品，试求（1）该产品是次品的概率；（2）若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少？解：设1A，2A，3A表示甲乙丙三车间加工的产品，B表示此产品是次品。（1）所求事件的概率为第15页，共41页112233()()(|)()(|)()(|)PBPAPBAPAPBAPAPBA=++0.250.030.350.020.40.010.0185=×+×+×=（2）221()(|)0.350.02(|)=0.38()0.0185PAPBAPABPB×=≈答：这件产品是次品的概率为0.0185，若此件产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率为0.38。三（7）、一个机床有1/3的时间加工零件A，其余时间加工零件B。加工零件A时停机的概率是0.3，加工零件A时停机的概率是0.4。求（1）该机床停机的概率；（2）若该机床已停机，求它是在加工零件A时发生停机的概率。解：设1C，2C，表示机床在加工零件A或B，D表示机床停机。（1）机床停机夫的概率为1122()().(|)().(|)PBPCPDCPCPDA=+12110.30.43330=×+×=（2）机床停机时正加工零件A的概率为11110.3().(|)33(|)=11()1130PCPDCPCDPD×==三（8）、甲、乙、丙三台机床加工一批同一种零件，各机床加工的零件数量之比为5：3：2，各机床所加工的零件合格率依次为94％，90％，95％。现从加工好的整批零件中随机抽查一个，发现是废品，判断它是由甲机床加工的概率。解设1A，2A，3A表示由甲乙丙三机床加工，B表示此产品为废品。（2分）则所求事件的概率为111131(|)()(|)(|)()()(|)iiiPABPAPBAPABPBPAPBA===∑＝10.06320.50.060.30.100.20.057×=×+×+×答：此废品是甲机床加工概率为3/7。三（9）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5％、15％、30％、50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％、70％、60％、90％。已知该人误期到达，求他是乘坐火车的概率。（10分）解：设1A，2A，3A，4A分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表示误期到达。第16页，共41页则222241(|)()(|)(|)()()(|)iiiPABPAPBAPABPBPAPBA===∑＝0.150.30.2090.0500.150.30.30.40.50.1×=×+×+×+×答：此人乘坐火车的概率为0.209。三（10）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5％、15％、30％、50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％、70％、60％、90％。求该人如期到达的概率。解：设1A，2A，3A，4A分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表示如期到达。则41()()(|)iiiPBPAPBA==∑0.0510.150.70.30.60.50.90.785=×+×+×+×=答：如期到达的概率为0.785。四（1）设随机变量X的概率密度函数为,01()0Axxfx≤≤⎧=⎨⎩，其它求（1）A；（2）X的分布函数F(x)；（3）P(0.5<X<2)。解：121001()|1222AAfxdxAxdxxA+∞−∞=====∫∫（）2020()()001()()21()()xxxxxFxftdtxFxftdttdtxxFxftdt−∞−∞−∞<==≤<===≥==∫∫∫∫（）当时，当时，当时，102210,0(),011,1tdtxFxxxx=<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩∫故(3)P（1/2<X<2）=F(2)—F(1/2)=3/4四（2）、已知连续型随机变量X的概率密度为求（1）k；（2）分布函数F(x)；（3）P(1.5<X<2.5)解：22200(1)()(1)()|22121/2kfxdxkxdxxxkk+∞−∞=+=+=+==−∫∫⎩⎨⎧≤≤+=其它,020,1)(xkxxf第17页，共41页2020()()002()()(0.51)42()()1xxxxxFxftdtxxFxftdttdtxxFxftdt−∞−∞−∞<==≤<==−+=−+≥==∫∫∫∫（）当时，当时，当时，20,0(),0241,2xxFxxxx<⎧⎪⎪=−+≤<⎨⎪≥⎪⎩故(3)P（1.5<X<2.5）=F(2.5)—F(1.5)=1/16四（3）、已知连续型随机变量X的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,010,)(xxaxf求（1）a；（2）X的分布函数F(x)；（3）P(X>0.25)。解：102(1)()133/2fxdxaxdxaa+∞−∞====∫∫3/232020()()001()()1()()1xxxxxFxftdtxFxftdttdtxxFxftdt−∞−∞−∞<==≤<===≥==∫∫∫∫（）当时，当时，当时，3/20,0(),011,1xFxxxx<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩故(3)P（X>1/4）=1—F(1/4)=7/8四（4）、已知连续型随机变量X的概率密度为⎩⎨⎧∈=其它,0),0(,2)(Axxxf求（1）A；（2）分布函数F(x)；（3）P(－0.5<X<1)。）解：20(1)()211AfxdxxdxAA+∞−∞====∫∫第18页，共41页2020()()001()()21()()1xxxxxFxftdtxFxftdttdtxxFxftdt−∞−∞−∞<==≤<===≥==∫∫∫∫（）当时，当时，当时，20,0(),011,1xFxxxx<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩故(3)P（-0.5<X<1）=F(1)—F(-0.5)=1四（5）、已知连续型随即变量X的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤−=其它,01,1)(2xxcxf求（1）c；（2）分布函数F(x)；（3）P(-0.5<X<0.5)。解：11121(1)()arcsin|11-1/cfxdxdxcxcxcππ+∞−−∞−=====∫∫12121()()01111()()arcsin|11(arcsin2xxxxxFxftdtxFxftdtdtttxππππ−∞−−∞−<−==−≤<===−=+∫∫∫（）当时，当时，)1()()10,11()(arcsin),12xxFxftdtxFxxxππ−∞≥==<−=+≤<∫当时，故－11,1x⎧⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩(3)P（-0.5<X<0.5）=F(0.5)—F(-0.5)=1/3四（6）、已知连续型随机变量X的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>+=−其它,00,)(22xBeAxFx求（1）A，B；（2）密度函数f(x)；（3）P(1<X<2)。解：0(1)lim()1lim()01xxFxAFxABB+→+∞→===+==−第19页，共41页2/22,0()()0,0xxexfxFxx−⎧>⎪′==⎨≤⎪⎩（）(3)P（1<X<2）=F(2)—F(1)=22/1−−−ee四（7）、已知连续型随机变量X的分布函数为xBAxFarctan)(+=求（1）A，B；（2）密度函数f(x)；（3）P(1<X<2)。解：(1)lim()12lim()02A1/2,1/xxFxABFxABBπππ→+∞→−∞=+==−===221()()(1)fxFxxπ′==+（）(3)P（0<X<2）=F(2)—F(0)=2arctan1π四（8）、已知连续型随机变量X的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,0,0)(xxxAxxF求（1）A；（2）密度函数f(x)；（3）P(0<X<0.25)。解：1(1)lim()11xFxAA→===21,01()()20,xfxFxx⎧<<⎪′==⎨⎪⎩（）其他(3)P（0<X<0.25）=1/2四（9）、已知连续型随机变量X的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>−=2,02,1)(2xxxAxF第20页，共41页求（1）A；（2）密度函数f(x)；（3）P(0≤X≤4)。、解：2(1)lim()1/404xFxAA→=−==328,2()()0,2xfxFxxx⎧>⎪′==⎨⎪≤⎩（）(3)P（0<X<4）=3/4四（10）、已知连续型随机变量X的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0),0(,2)(2axxxfπ求（1）a；（2）分布函数F(x)；（3）P(－0.5<X<0.5)。解：202(1)()1axfxdxdxaππ+∞−∞===∫∫222020()()020()()()()1xxxxxFxftdttxxFxftdtdtxFxftdtππππ−∞−∞−∞<==≤<===≥==∫∫∫∫（）当时，当时，当时，220,0(),01,xxFxxxπππ<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩故(3)P（-0.5<X<0.5）=F(0.5)—F(-0.5)=241π五（1）、设系统L由两个相互独立的子系统L1，L2并联而成，且L1、L2的寿命分别服从参数为)(,βαβα≠的指数分布。求系统L的寿命Z的密度函数。解：令X、Y分别为子系统L1、L2的寿命，则系统L的寿命Z＝max(X,Y)。显然，当z≤0时，FZ(z)＝P(Z≤z)＝P(max(X,Y)≤z)＝0；当z>0时，FZ(z)＝P(Z≤z)＝P(max(X,Y)≤z)＝P(X≤z,Y≤z)＝P(X≤z)P(Y≤z)＝dyedxezyzx∫∫−−00βαβα＝)1)(1(zzeeβα−−−−。因此，系统L的寿命Z的密度函数为第21页，共41页fZ(z)＝⎩⎨⎧≤>+−+=+−−−00,0,)()()(zzeeezFdzdzzzZβαβαβαβα五（2）、已知随机变量X～N（0，1），求随机变量Y＝X2的密度函数。解：当y≤0时，FY(y)＝P(Y≤y)＝P(X2≤y)＝0；当y>0时，FY(y)＝P(Y≤y)＝P(X2≤y)＝)(yXyP≤≤−＝dxedxexyxyy2/02/2221221−−−∫∫=ππ因此，fY(y)＝⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−0.0,0,,2)(2/yyyeyFdydyYπ五（3）、设系统L由两个相互独立的子系统L1、L2串联而成，且L1、L2的寿命分别服从参数为)(,βαβα≠的指数分布。求系统L的寿命Z的密度函数。解：令X、Y分别为子系统L1、L2的寿命，则系统L的寿命Z＝min(X,Y)。显然，当z≤0时，FZ(z)＝P(Z≤z)＝P(min(X,Y)≤z)＝0；当z>0时，FZ(z)＝P(Z≤z)＝P(min(X,Y)≤z)＝1－P(min(X,Y)>z)＝1－P(X>z,Y>z)＝1－P(X>z)P(Y>z)＝dyedxezyzx∫∫+∞−+∞−−βαβα1＝ze)(1βα+−−。因此，系统L的寿命Z的密度函数为fZ(z)＝⎩⎨⎧≤>+−=+−00,0,)()()(zzezFdzdzZβαβα五（4）、已