糖水不等式

二、不等式的证明方法一、糖水不等式(调日术，插值定理)若,a,b,c,d,m,n＞0,则附录23糖水不等式三、糖水不等式的简单应用一、糖水不等式(调日术，插值定理)若,a,b,c,d,m,n＞0,则特例2：若,a,b,m＞0,则特例1：若,a,b,m＞0,则用化学溶液的浓度：解释此不等式，是显然成立的用数学知识，如何证明此不等式成立？2.综合法二、不等式的证明方法1.比较法3.分析法5.放缩法4.数学归纳法7.辅助函数法……作差比较法作商比较法证明：若,a,b,m＞0,则用化学溶液的浓度：解释此不等式，是显然成立的文字语言：小于1的比值，分子分母加同一正数后放大6.反证法形法数法注：作差比较法简介：A-B=…=x1·x2·x3···xnx21+x22+···+x2nO法1：比较法作差变形三判断不是化简是变形变到显然与O比因式分解及配方因所以又a,b,m＞0,且b-a＞0证明：法2：综合法：即故分析法2：∵a、b、m均为正数，∴要证eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)只需证(a＋m)b＞a(b＋m)，只需证ab＋bm＞ab＋am，只要证bm＞am，要证bm＞am，只需证b＞a，又已知b＞a，∴原不等式成立．分析法2：∵a、b、m均为正数，∴要证eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)只需证(a＋m)b＞a(b＋m)，只需证ab＋bm＞ab＋am，只要证bm＞am，要证bm＞am，只需证b＞a，又已知b＞a，∴原不等式成立．分析法2：∵a、b、m均为正数，∴要证eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)只需证(a＋m)b＞a(b＋m)，只需证ab＋bm＞ab＋am，只要证bm＞am，要证bm＞am，只需证b＞a，又已知b＞a，∴原不等式成立．分析法2：∵a、b、m均为正数，∴要证eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)分析法2：∵a、b、m均为正数，∴要证eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)只需证(a＋m)b＞a(b＋m)，只需证ab＋bm＞ab＋am，只要证bm＞am，要证bm＞am，只需证b＞a，又已知b＞a，∴原不等式成立．分析法2：∵a、b、m均为正数，∴要证eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)只需证(a＋m)b＞a(b＋m)，只需证ab＋bm＞ab＋am，只要证bm＞am，要证bm＞am，只需证b＞a，又已知b＞a，∴原不等式成立．分析法2：∵a、b、m均为正数，∴要证eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)只需证(a＋m)b＞a(b＋m)，只需证ab＋bm＞ab＋am，只要证bm＞am，要证bm＞am，只需证b＞a，又已知b＞a，∴原不等式成立．法3：分析法：欲证而此式显然成立分析法2：∵a、b、m均为正数，∴要证eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)只需证(a＋m)b＞a(b＋m)，只需证ab＋bm＞ab＋am，只要证bm＞am，要证bm＞am，只需证b＞a，又已知b＞a，∴原不等式成立．分析法2：∵a、b、m均为正数，∴要证eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)只需证(a＋m)b＞a(b＋m)，只需证ab＋bm＞ab＋am，只要证bm＞am，要证bm＞am，只需证b＞a，又已知b＞a，∴原不等式成立．分析法2：∵a、b、m均为正数，∴要证eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)只需证(a＋m)b＞a(b＋m)，只需证ab＋bm＞ab＋am，只要证bm＞am，要证bm＞am，只需证b＞a，又已知b＞a，∴原不等式成立．分析法2：∵a、b、m均为正数，∴要证eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)只需证(a＋m)b＞a(b＋m)，只需证ab＋bm＞ab＋am，只要证bm＞am，要证bm＞am，只需证b＞a，又已知b＞a，∴原不等式成立．分析法2：∵a、b、m均为正数，∴要证eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)分析法2：∵a、b、m均为正数，∴要证eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)只需证(a＋m)b＞a(b＋m)，只需证ab＋bm＞ab＋am，只要证bm＞am，要证bm＞am，只需证b＞a，又已知b＞a，∴原不等式成立．分析法2：∵a、b、m均为正数，∴要证eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)只需证(a＋m)b＞a(b＋m)，只需证ab＋bm＞ab＋am，只要证bm＞am，要证bm＞am，只需证b＞a，又已知b＞a，∴原不等式成立．证明：若,a,b,m＞0,则法4：辅助函数法设，且因，且故f(x)在R+上为增函数,即f(0)≤f(x)在R+上恒成立所以法5：放缩法①＞法6：放缩法②eq\f(a＋m,b＋m)＝eq\f(a＋m＋b－b,b＋m)＝1＋eq\f(a－b,b＋m)＝1－eq\f(b－a,b＋m)＞1－eq\f(b－a,b)＝eq\f(a,b).eq\f(a＋m,b＋m)＝eq\f(a＋m＋b－b,b＋m)＝1＋eq\f(a－b,b＋m)＝1－eq\f(b－a,b＋m)＞1－eq\f(b－a,b)＝eq\f(a,b).eq\f(a＋m,b＋m)＝eq\f(a＋m＋b－b,b＋m)＝1＋eq\f(a－b,b＋m)＝1－eq\f(b－a,b＋m)＞1－eq\f(b－a,b)＝eq\f(a,b).eq\f(a＋m,b＋m)＝eq\f(a＋m＋b－b,b＋m)＝1＋eq\f(a－b,b＋m)＝1－eq\f(b－a,b＋m)＞1－eq\f(b－a,b)＝eq\f(a,b).eq\f(a＋m,b＋m)＝eq\f(a＋m＋b－b,b＋m)＝1＋eq\f(a－b,b＋m)＝1－eq\f(b－a,b＋m)＞1－eq\f(b－a,b)＝eq\f(a,b).eq\f(a＋m,b＋m)＝eq\f(a＋m＋b－b,b＋m)＝1＋eq\f(a－b,b＋m)＝1－eq\f(b－a,b＋m)＞1－eq\f(b－a,b)＝eq\f(a,b).法7：形法：如图eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(b>a>0,m>0))⇒bm>am>0⇒ab＋bm>ab＋am⇒b(a＋m)>a(b＋m)⇒eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b).eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(b>a>0,m>0))⇒bm>am>0⇒ab＋bm>ab＋am⇒b(a＋m)>a(b＋m)⇒eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b).朒数：朔日月亮……盈数：望日月亮……朒数=3.1415926盈数=3.1415927正数（圆周率）在盈朒二限之间祖冲之，在世界数学史上第一次将圆周率值计算到小数点后七位，即3.1415926到3.1415927之间三、糖水不等式的简单应用1.调日术:约率密率①②③用糖水不等式逐步调整π的精确度到小数点后七位练习1．比较的大小解：即因故因故析：小于1的比值，分子分母加同一正数后放大试比较M与N的大小练习2.设解：故因故住宅的采光条件是变好了练习3．建筑学：民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光，窗户面积与地板面积的比应不小于10%。并且这个比例越大，采光条件越好问同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？解：设窗户面积为a,地板面积为b,增加的面积为m显然有a,b,m＞0,且b＞a由题设及“糖水不等式”可得练习4．一只口袋里装有m个红球和n个白球。(1)从口袋里任意摸出一个球，恰是红球的概率是多少？(2)再向口袋里放入2个红球，则从口袋里任意摸出一个球恰好是红球的概率是变大还是变小？说明理由。解:(1)由古典概型可得所求概率(2)由古典概型定义可得所求概率由“糖水不等式”可知，该事件的概率变大了证明：在△ABC中，练习5.已知△ABC的三边长是a,b,c,且m为正数求证：由“糖水不等式”得又因故附加作业：要求：用糖水不等式(真分数的性质)解决下列问题1