合力矩定理证明

2•合力矩定理定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。H2-11证明：如图2-11所示，r为矩心0到汇交点A的矢径，Fr为平面汇交力系F1,F2，…Fn的合力，即Fr=Fi+F2+…Fn以r对上式两端作矢积，有rxR=rxF1+rxF2+…+rxFn由于力Fi,F2，…Fn与点0共面，上式各矢积平行，因此上式矢量和可按代数和计算。而各矢量积的大小就是力对点0之矩，于是证得合力矩定理，即nMo(Fr)=Mo(Fi)+Mo(F2)+…+Mo(Fn)=二Mo(Fi)(2-11)按力系等效概念，上式易于理解，且式(2-11)应适用于任何有合力存在的力系。顺便指出，当平面汇交力系平衡时，合力为零；由式(2-11)可知，各力对任一点0之矩的代数和皆为零。即n'Mo(F」=0iW上式说明：可用力矩方程代替投影方程求解平面汇交力系的平衡问题。3.力矩与合力矩的解析达式B2*12如图2-12所示，已知力F，作用点A(x,y)及其夹角a。欲求力F对坐标原点0之矩，可按式(2-11)，通过其分力Fx与Fy对点0之矩而得到，即MQF)=MQFy)+MqFx)=xFsinayFcosa或Mo(F)=xY-yX(2-12)式(2-12)为平面内力矩的解析表达式。其中x、y为力F作用点的坐标;X、Y为力F在x、y轴的投影。计算时应注意它们的代数量代入。若将式(2-12)代入式(2-11)，即可得合力Fr对坐标原点之矩的解析表达式，即nMOFr)八(XiYi-yXi)(2一12)'i=4例2-7图2-14a所示的踏板，各杆自重不计。已知：力F及其与x轴的夹角a,力作用点B坐标(Xb,Yb)，距离I。试求平衡时水平杆CD的拉力Fd。解：取整体为研究对象，其上受三力作用，且F、FD与FA汇交于点E(其中FD为二力杆的拉力)，受力图如图2-14b所示。平衡时应满足aMA(F)=0。设力F对点A的力臂为h则有Fh-FDl=O上式就是熟知的杠杆平衡条件。由于力臂A未知，可用合力矩定理求得力F对点A之矩。得Fcosa•"yb-Fsina•Xb-FDl=0求得拉力FD为FD_FcosayB-Fsina.XB=T