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奇迹笔记我的读书生活。 << 古希腊原子论 | 首页 | 与大家交流我的读书经历 >> 2010-07-05 旧文：追随别人的人，大多依赖别人 - [爱智] 这句话是上世纪初的德国哲学家石里克说的，石里克远不是最重要的哲学家，但以石里克为核心的维也纳小组，或石里克小组确实是人才辈出，在哲学史上不得不提。参与石里克小组活动的知名学者包括：卡尔纳普，哥德尔，塔斯基，艾耶尔，内格尔，奎因等等，还有很多很多我们熟悉的名字，包括我国哲学家洪谦。另外还有维特根斯坦虽然与石里克小组保持距离，但石里克与维特根斯坦交往紧密，维特根斯坦也成为对维也纳学派影响最大的人，另一个影响大的人是波兰人塔斯基。可以说在石里克身边汇聚了20世纪上半叶最重要的哲学家和逻辑学家。 石里克为什么有这样大的魅力呢？这或多或少和他的出身和经历有关，石里克生于1882年，出身德国贵族和工业家家庭，这一点和维特根斯坦多少有些类似。石里克生活富裕，在他的青年时代从来不知道何为贫穷和困苦，他的生活是幸福和充实的，生活态度是乐观向上的。石里克是著名物理学家普朗克的学生，并于 1904年在普朗克指导下获得了物理学博士学位。但石里克此后令人“遗憾地”将他的才华转向了哲学研究，特别是认识论和科学哲学问题的研究。 石里克与很多名人交往频繁，除维特根斯坦、罗素等哲学家外，他还和爱因斯坦，玻尔，海森堡等知名物理学家也是互相敬重的好朋友。石里克是一个谦逊，不出风头和慈祥和蔼的人，他总是在维也纳学派的讨论中扮演一种建设性批评的“主持人”和“调解人”的角色而不是一个领导者。用洪谦的话说：“这个学派中的气氛是和谐的。他们之间总是那么彬彬有礼，友爱和诚恳。”石里克愿意耐心听完每个外国学生的发言而不打断他们。 可以想见石里克身上存在着强大的个人魅力，使各种各样的人（有些人的才华和成就其实是超过石里克的）汇聚在他的身边，甚至追随者（就这一点而言，爱因斯坦和玻尔也有著名的追随者）。有意思的是，石里克自己如何看待这些追随者呢？石里克在他的《箴言》里有这样一句话：“追随别人的人，大多依赖别人”，这或多或少反映了德国贵族根深蒂固的傲慢，另外也许石里克本人对此也深有体会，石里克本人就非常受维特根斯坦思想的影响，曾有人就此评论说：“石里克陶醉于维特根斯坦，几乎到了丧失理智的程度。” 我国哲学家洪谦是石里克的忠实弟子和追随者，在哈勒与洪谦的访谈中，洪谦说：“石里克很喜欢我，我们之间关系亲密。可以说，他成了我心中的偶像。凡是他说的，我都照办。因此在一段相当长的时间里我丧失了独立性。后来我在他的《箴言》里读到了这样一句话：‘追随别人的人，大多依赖别人’，这使我感到遗憾。” 应当说石里克还是相当敏锐地指出了学术研究独立性的重要，维特根斯坦刻意保持他与维也纳学派的距离至少客观上保持了他的独立性（话说这厮主要是瞧不上，除石里克外维特根斯坦瞧不上维也纳小组里的大多数成员，尤其瞧不上卡尔纳普这员主将）。 一生乐观幸福的石里克的最终结局却是一场悲剧，1936年7月当石里克站在维也纳大学的楼梯上时，一个他从前的学生走向他并向他开了枪，石里克很快身亡。尽管石里克本人出身德国贵族，但他和犹太学者保持着广泛的联系，因此这个刺杀事件得到了奥地利纳粹党徒们的欢呼，凶手也仅仅被判了10年的徒刑。两年后凶手出狱，并在1938年奥地利与德国合并后成为纳粹党员。 长度是怎样炼成的（一）Comments>>| Tags 标签：原创, 无穷, 测度, 长度, 集合论 木遥 发于 2009-05-06 15:06 写在前面的话： 这篇文章写于三年前，严格说起来，这是我认真写过的第一篇关于数学的文章。 写作动机来自于一次在网络上和一个学哲学的朋友的聊天，当时谈到了几个关于长度的哲学问题，那个朋友想知道从一个学数学的人的角度来看，这些问题是怎样被回答的：点没有长度和面积，为什么由点组成的线和面会具有长度和面积？“长度”“面积”这些词汇究竟是在怎样的意义上被使用的？有的时候我们把点的长度叫做零，有的时候叫做无穷小，这两个称呼是不是都有道理？ 当时松鼠会还没有出现，我也并不觉得自己有资格写所谓的科普，但是既然这些问题摆在面前，我也就认认真真地尝试着把自己关于这些问题的理解用尽可能非数学化的语言描述出来。当我最终完成这一组文章的时候所得到的那种满足感，相信很多朋友们也都体会过。 后来有了松鼠会，有这么多朋友们也在兴高采烈地做着同样的事情。现在松鼠会即将迎来自己的周年庆了，我把这组文章发在这里，算是我自己的一点致意。松鼠会，生日快乐。 -------------------------------------------------------------------------------- （一）关于无穷 当我们使用“无穷”这个词的时候，我们必须时刻谨记，这个词有两种截然不同的意义——不，我这里说的不是亚里士多德关于实无穷和潜无穷的那些绕口令，而是某些重要得多的本质问题，对他们的清晰阐释开始于伟大的德国数学家康托Georg Cantor (1845-1918)：当我们说一个集合有无穷多个元素的时候，我们必须指明这里的无穷是哪一种，是“可数无穷”还是“不可数无穷”。虽然都是无穷集合，但是它们会体现出截然不同的性质。 为了说明这一问题，我们引进集合的“势（cardinality）”的概念。简单说来，势就是集合的元素的个数。一个集合有三个元素，我们就称其势为3。两个集合如果元素个数相等，我们就称它们为等势的。——很显然，要判断两个集合是不是等势，只需要看这两个集合之间能不能建立起元素的一一对应即可，如果可以的话，我们就说这两个集合的元素是一样多的。 到这里为止都显得很简单。可是最有趣的部分马上就要出现了：康托指出，不但对于有限个元素的集合我们可以讨论它们的势，对于无穷个元素的集合，我们同样可以讨论它们之间是否等势。换句话说，我们可以讨论两个无穷集合的元素是不是一样多！ 之所以如此，是因为集合之间的“一一对应”本质上只是个数学概念，是可以被精确研究的对象（请回忆高中数学课本关于映射的那一章）。从而，随便拿两个集合来，它们之间是否能建立一一对应只是数学上的问题而已。 以下是一些最基本也是最著名的例子和命题，请尽量耐心的阅读。所有这些陈述都是可以基于最简单的形式逻辑给出严格证明的，证明可以在参考文献[1]上查到： 每一个集合都和它自身等势。 注：废话。 全体正整数的集合和全体正偶数的集合等势。 注：这是第一个有趣然而迷惑人的结果。我们等于是在说：一个集合可以和它的一部分一样多！——但是这并不是一个悖论。我们通常觉得一个集合不能和它的一部分一样多只是针对有限集合而言的，本来就没人说过无限集合不能和它的一部分一样多，只是有时候大家会不自觉地有这个误解而已。 全体正整数的集合和全体有理数的集合等势。（什么是有理数来着？查书去！） 注：这是在数学上很重要的一个例子，说明一个实数中的稠密集可以和一个离散集等势，不过大家看到这里大概已经开始打瞌睡了……跳过这个例子！ 全体正整数的集合和全体实数的集合不等势。 注：睁大眼睛，迄今为止最重要的一句话出现了！你永远不可能在全体正整数的集合和全体实数的集合之间建立起一一对应来。对这个陈述的证明是数学上最有趣也最迷人的证明之一，可惜的是篇幅所限我不能在这里证明给大家看。那么只讨论结论好了：并不是所有的无穷集合都是等势的，有一些无穷集合比另一些无穷集合的元素更多，换句话说，无穷之间也是有大小的。 任给一个无穷集合，我们都能够造出一个集合包含它，而且和它不等势。 注：换句话说，无穷和无穷相比，没有最大，只有更大。——但是请注意，虽然我们能够造出越来越大的无穷集合，但是我们并不真正对那些太大的无穷感兴趣，因为和这个世界没什么关系。 如果两个集合都和第三个集合等势，那么它们彼此也等势。 注：好像也是废话，但是它引出了下面的重要陈述。 有很多集合都和全体正整数的集合等势，从而它们彼此也等势，我们称所有这样的集合为“可数无穷的（countably infinite）”。有很多无穷集合比全体正整数的集合的势更大，我们称所有这样的集合为不可数无穷的（uncountably infinite）。但是，不存在无穷集合的势比全体正整数的集合的势更小。 注：我们待会儿再来讨论为什么起这么两个名字。前面的例子告诉我们，全体正偶数的集合是可数无穷的，全体有理数的集合是可数无穷的，但是全体实数的集合是不可数无穷的。 在不可数无穷集合中间，有些集合是和全体实数的集合等势的，这些集合被称为“连续统（continuum）” 注：好了，现在我们对全体无穷集合建立了一个简单的分类。最小的一类称为可数无穷集。剩下的都叫不可数无穷集。不可数无穷集里面又有特殊的一类叫作连续统，剩下当然还有一些非连续统的不可数无穷集，但是它们几乎和真实世界没有任何关系，所以忽略之。（有人不愿意忽略它们，非要去研究里面的一些麻烦的问题，于是产生了数学中间最让人头晕的一部分结论，比如什么哥德尔不完全性定理之类……这个定理偏偏还特别著名，很多人都问过我它究竟说的是啥。相信我，你不可能弄明白的。） 也就是说，我们真正关心的是两类特殊的无穷集合，一类称为可数无穷集，一类称为连续统。所有的可数无穷集彼此等势，所有的连续统彼此等势，但是任何可数无穷集和连续统之间不等势，后者总是更大一些……真绕嘴阿。 下面是一些可数无穷集和连续统的例子： 可数无穷集： 自然数集，整数集，有理数集。（基本上，如果你在平面上或者直线上随手点无穷个点，并且这些点彼此都不挨着，那么它们的总数就是可数无穷的。但是也存在一些不这么简单的可数无穷集。） 连续统： 实数集，直线上点的个数，平面上点的个数，一个正方形里点的个数，或者简而言之，一切几何对象里的点的个数都是连续统。（这里一个常常被人提到的推论就是直线上的点和平面上的点一样多，——都是连续统那么多。其实证明很简单，但是一言难尽，请查书去。） 好了，现在我们可以讨论这两个名字是怎么来的了。请注意，所有的可数无穷集都是可以和正整数建立起一一对应的，这是什么意思呢？这意味着，我们可以把一个可数无穷集中的每个元素都对应到一个正整数，这相当于给他们编了号码，从而我们可以去数它们（这就是可数这个词的来历）。也就是说，我们可以按照1号、2号、3号这么一直数下去，虽然总数是无穷的，但是只要我们在理论上一直数完所有的自然数，我们就能真正数遍这个集合的所有元素（至少在想像里是这样）。 而连续统集合却不是这样。一个直线上的点是连续统，这就是说，无论怎么巧妙的给这些点编号，我们都是不可能给所有的点都编上号码然后一个一个的数下去把它们都数完的。它们是“不可数”的。 有人会说，这不是自欺欺人么？反正都是无穷个，反正事实上总也不可能数得完，那么在理论上区分“想像中数得完”和“想像中也数不完”有什么实际意义呢？ 有的。正是这一点微妙的差别，使得有些事情我们能够对可数集去做却不能对连续统集合去做，也正是这一点差别，促成了从没有大小的点到有大小的直线和平面之间的巨大的飞跃。 （待续） 中国近代科学为何落后于西方？ 如何提高和表达能力？ 数学有什么用？ 八月 13, 2009 | 7:54 下午分类：教育日记 | 标签：学习教育数学 | 1,760 views |字体:小.中.大.灰.蓝.褐 数学有什么用？我相信绝大多数学习过数学的人都提出过的问题。 数学没什么用。我知道这是许多学习过数学的人给出的的结论。 他们会说：我上街买菜，用不着三角公式图像；我在厨房做饭用不到计算曲面面积；我上班工作不用积分求导……数学除了应付考试还有什么用处？！ 对于人类自己创造出的，人类文化中少数的几个精华之一的数学，许多人竟然是反感的，是不屑的。这是我们的教育出了问题，但数学的作用是却不是以我们的无知能否认得了的。 一位数学爱好者王广平收集了一篇文章，从一方面探寻了数学的用处，大家参考参考。 -------------------------------------------------------------------------------- 有 这样一个传说，一次，数学家欧几里得教一个学生学习某个定理，结束后这个年轻人问欧几里得，他学了能得到什么好处。欧几里得叫过一个奴隶，对他说：“给他 3个奥波尔，他说他学了东西要得到好处。”在数学还非常哲学化的古希腊，探究世界的本原、万物之道，而要得到什么“好处”，受到鄙视是可以理解的。这就像 另一个：在巴黎的一个酒吧里，一个姑娘问她的情人迟到的原因，那年轻人说他在赶做一道数学题，姑娘摇着脑袋，不解地问：“我真不明白，你花那么多时间 搞数学，数学到底有什么用啊？”那年轻人长久地看着她，然后说：“宝贝儿，那么爱情，到底有什么用啊？” 世界上有些东西比较可信，有些则不那么可信。这里说的信不是诚信，诚信诉诸道德，解决“说真话”的问题，至于“真话”是否可信，是否正确，那是另一回事。 什么东西可信呢？我看见一个人在那里，我拿着一件东西感到它的重量，这都是很确凿的经验，不好否认。但是经验靠不住也是常识，两个小孩辩论太阳的远近， 一个说太阳早晚冷中午热，所以早晚远中午近，另一个说太阳早晚大中午小，所以早晚近中午远，各执一词，把孔夫子都难倒了，古人用日常的直接经验没法解释这 样的矛盾。 由经验构成的分散的知识，显然没有成体系的知识可信，我们历来都对知识的体系更有信任感。例如牛顿的力学体系，可以精 确地计算物体的运动，即使推测1亿年的日食也几乎丝毫不差；达尔文以物种进化和自然选择为核心的进化论，把整个生物世界统括为一个有序的、有机的系统，使 得我们知道不同物种之间的关系。 但是，即使是经典的知识体系，也不足以始终承载我们的全部信任，因为新的经验、新的研究会调整、 更新旧的知识体系，新理论会替代旧理论。爱因斯坦相对论的出现，使得牛顿的力学体系成为一种更广泛理论中的特例；基因学说的发展和化石证据的积累，使得达 尔文进化论中渐变的思想受到挑战，这样的事例充满了整个科学发展的历史，让我们不时用怀疑的眼光打量一下那些仿佛无懈可击的知识体系，对它们心存警惕。 不过，在人们追求确定性、可靠性的时候，还有一块安宁的绿洲，那就是数学。数学是我们最可信赖的科学，什么东西一经数学的证明，便板 上钉钉，确凿无疑。另外，新的数学理论开拓新的领域，可以包容但不会否定已有的理论。数学是惟一一门新理论不推翻旧理论的科学，这也是数学值得信赖的明 证。 数学追求什么？我们称古希腊的贤哲泰勒斯是古代数学第一人，是因为他不像埃及或巴比伦人那样，对任意一个规则物体求数值解， 他的雄心是揭示一个系列的真理。比如圆，他的答案不是关于一个特殊圆，而是任意圆，他对全世界所有的圆感兴趣，他创造的理想的圆可以断言：任何经过圆心的 直线都将圆分割为两等分，他找到的真理揭示了圆的性质。 数学要求普遍的确定性。 数学要划清结果和证明的界限。 世界再变幻不定，我们也总要有所凭信，有所依托，把这种凭信的根据推到极致，我们能体会到数学的力量。数学之大用也在于此。 我们的先人很早就开始用数学来解决具体的工程问题，在这方面，各古文明都有上佳的表现，但是古希腊人对数学的理解更值得我们敬佩。首先是毕达哥拉斯学 派，他们把数看作是构成世界的要素，世上万物的关系都可以用数来解析，这绝不是我们现代“数字地球”之类的概念可以比拟的，那是一种世界观，万物最终可以 归结为数，由数学说明的东西可以成为神圣的信仰，我想，持这样想法的人，一定对自然常存敬畏，不会专横自欺的。 其次，古希腊人把 数学用于辩论，他们要求数学提供关于政治、法律、哲学论点的论据，要求绝对可靠的证据，要求“不可驳斥性”；他们也不满足于（例如埃及、巴比伦前辈那样 的）经验性的证据，而是进一步要求证明，要求普遍的确定性。多么可爱、严正的要求！有这样要求的人，必定明达事理，光明磊落。 为 了保证思想的可靠，古希腊的思想家制定了思想的规则，在人类历史上，思想第一次成为思想的对象，这些规则我们称之为逻辑。比如不可同时承认正命题和反命 题，换句话说，一个论点和它的反论点不能同时为真，即矛盾律；比如一正论点与反论点不可同时为假，即排中律。所有这些努力，都特别体现着人类对确定、可靠 的知识的追求，一部数学史，就是人类不断扩大确知领域的历史。 法国作家德尼·盖之撰写的《鹦鹉的定理》是一部通俗的数学史。这本 书首先要打破的，是人们对于数学抽象、枯燥的偏见，它用一个生动的故事贯穿始终，其间穿插着“可以和最好的小说家的小说相媲美的故事”，像数学家的故事， 比如波斯人欧玛尔·海亚姆，突斯人奈绥尔丁，意大利人塔尔塔利亚，法国人费马，瑞士人欧拉，等等；像数学的故事，比如位置记数法，球面三角，“0”的产 生，“＝”的产生，虚数的产生，等等。《鹦鹉的定理》在写作手法上颇像乔斯坦·贾德的小说《苏菲的世界》，尽量通俗地向公众，主要是中学以上文化程度的读 者普及数学史的知识，这两本书，一本谈哲学，一本谈数学，恰巧是我们通常认为晦涩高深的学问，然而通过他们深入浅出的叙述，学问依然是学问，面目已经和蔼 可亲多了，这是莫大的功德。而最为重要的是，这样的史书弥漫着一团清正睿智之气，引人倾听无声之音，观照无形之象，体察无用之用。 我们可以疏于计算，但是，不能没有数学的滋养。再回到那些最好的数学猜想，几个世纪以来最伟大的数学家们曾为之殚精竭虑的猜想，像费马猜想、哥德巴赫猜 想、欧拉猜想等等。想想吧，全世界的人都知道那道理存在，任何人在它们面前都束手无策，这就是所谓的数学猜想！要知道，它绝对简单，极容易断定，一个中等 智力的中学生明白起来也不费吹灰之力。这种断定人人都承认其正确性，然而又没有人能证明其真理性。你知道我们为之陶醉、被它激励的原因究竟是什么吗？ -------------------------------------------------------------------------------- 我来讲几个数学家的故事，你会和数学走得更进些！ 也许数学家们的研究是我们难于理解的，但数学家们的故事我们不妨看看。 ●“文%革”中，批斗陈景润的人宣布：让哥德巴赫猜想见鬼去 吧!1+2有什么了不起!1+2不就等于3么?吃着农民种的粮食，住着工人盖的房子，有解放军战士保护着，还领着国家的工资，研究什么1+2=3，什么玩 艺儿？伪科学!陈腾地跳上桌子，一步便迈向洞开的窗户，纵身往下一跳!命不该绝。他从三楼窗口往下跳，伸出的屋沿挡了他一下，一个罕见的奇迹!跳楼的陈景 润安然无恙，只是大腿上擦破了点皮，有涔涔的鲜血冒出来。一个造反派干将，见到跳楼后平安无事的陈景润，说：“真不愧是个知名的数学家，连跳楼都懂得选择 角度!” ●一次，数学家欧基里德教一个学生学习某个定理。结束后这个年轻人问欧基里德，他学了能得到什么好处。欧基里德叫过一个奴隶，对他 说：“给他3个奥波尔，他说他学了东西要得到好处。”在数学还非常哲学化的古希腊，探究世界的本原、万物之道，而要得到什么“好处”，受到鄙视是可以理解 的。 ●一次拓扑课，Minkowski向学生们自负的宣称：“这个定理没有证明的最要的原因是至今只有一些三流的数学家在这上面花过时间。下面我就来证明它。 ”…….这节课结束的时候，没有证完，到下一次课的时候，Minkowski继续证明，一直几个星期过去了……一个阴霾的早上，Minkowski跨入教 室，那时候，恰好一道闪电划过长空，雷声震耳，inkowski很严肃的说：“上天被我的骄傲激怒了，我的证明是不完全的……。 ● Hilbert曾有一个学生，给了他一篇论文来证明Riemann猜想，尽管其中有个无法挽回的错误，Hilbert还是被深深地吸引了。第二年，这个学 生不知道怎么回事死了，Hilbert要求在葬礼上做一个演说。那天，风雨瑟瑟，这个学生的家属们哀不胜收。Hilbert开始致词，首先指出，这样的天 才这么早离开我们实在是痛惜呀，众人同感，哭得越来越凶。接下来，Hilbert说，尽管这个人的证明有错，但是如果按照这条路走，应该有可能证明 Riemann猜想，再接下来，Hilbert继续热烈的冒雨讲道：“事实上，让我们考虑一个单变量的复函数…..”众人皆倒。 ●贝塞克维奇（Abram S．Besicovich，1891－1970年）是具有非凡创造力的几何分析学家，生于俄罗斯，一战时期在英国剑桥大学。他很快就学会了英语，但水平并 不怎么样。他发音不准，而且沿习俄语的习惯，在名词前不加冠词。有一天他正在给学生上课，班上学生在下面低声议论教师笨拙的英语。贝塞克维奇看了看听众， 郑重地说：“先生们，世上有5000万人说你们所说的英语，却有两亿俄罗斯人说我所说的英语。”课堂顿时一片肃静。 ● 德国女数学家爱米·诺德，虽已获得博士学位，但无开课“资格”，因为她需要另写论文后，教授才会讨论是否授予她讲师资格。当时，著名数学家希尔伯特十分欣 赏爱米的才能，他到处奔走，要求批准她为哥廷根大学的第一名女讲师，但在教授会上还是出现了争论。 一位教授激动地说：“怎么能让女人当讲师呢？如果让她当讲师，以后她就要成为教授，甚至进大学评议会。难道能允许一个女人进入大学最高学术机构吗？”另一 位教授说：“当我们的战士从战场回到课堂，发现自己拜倒在女人脚下读书，会作何感想呢？” 希尔伯特站起来，坚定地批驳道：“先生们，候选人的性别绝不应成为反对她当讲师的理由。大学评议会毕竟不是洗澡堂！” ●波兰伟大的数学家伯格曼（Stefan Bergman，1898－1977年）离开波兰后，先后在美国布朗大学、哈佛大学和斯坦福大学工作。他不大讲课，生活支出主要靠各种课题费维持。由于很 少讲课，他的外语得不到锻炼，无论口语还是书面语都很晦涩。但伯格曼本人从不这样认为。他说：“我会讲12种语言，英语最棒。”事实上他有点口吃，无论讲 什么话别人都很难听懂。有一次他与波兰的另一位分析大师用母语谈话，不一会对方提醒他：“还是说英语吧，也许更好些。” 1950年国际数 学大会期间，意大利一位数学家西切拉（Sichera）偶然提起伯格曼的一篇论文可能要加上“可微性假设”，伯格曼非常有把握地说：“不，没必要，你没看 懂我的论文。”说着拉着对方在黑板上比划起来，同事们耐心地等着。过了一会西切拉觉得还是需要可微性假设。伯格曼反而更加坚定起来，一定要认真解释一下。 同事们插话：“好了，别去想它，我们要进午餐了。”伯格曼大声嚷了起来：“不可微—不吃饭。”（No differentiability, no lunch）最终西切拉留下来听他一步一步论证完。 还有一次伯格曼去西海岸参加一个学术会议，他的一个研究生正好要到那里旅行结婚，他们恰好 乘同一辆长途汽车。这位学生知道他的毛病，事先商量好，在车上不谈数学问题。伯格曼满口答应。伯格曼坐在最后一排，这对要去度蜜月的年轻夫妇恰巧坐在他前 一排靠窗的位置。10分钟过后，伯格曼脑子里突然有了灵感，不自觉地凑上前去，斜靠着学生的座位，开始讨论起数学。再过一会，那位新娘不得不挪到后排座 位，伯格曼则紧挨着他的学生坐下来。一路上他们兴高采烈地谈论着数学。幸好，这对夫妇婚姻美满，有一个儿子，还成了著名数学家。 ● 哥德尔（Kurt Godel，1906－1978年）的举止以“新颖”和“古怪”著称，爱因斯坦是他要好的朋友，他们当时都在普林斯顿。他们经常在一起吃饭，聊着非数学话 题，常常是政治方面的。麦克阿瑟将军从朝鲜战场回来后，在麦迪逊大街举行隆重的庆祝游行。第二天哥德尔吃饭时煞有介事地对爱因斯坦说，《纽约时报》封面上 的人物不是麦克阿瑟，而是一个骗子。证据是什么呢？哥德尔拿出麦克阿瑟以前的一张照片，又拿了一把尺子。他比较了两张照片中鼻子长度在脸上所占的比例。结 果的确不同：证毕。 哥德尔一生花了很大精力想搞清楚连续统假设（CH）是否独立于选择公理（AC）。在60年代早期，一个初出茅庐的年轻 数学家柯恩（Paul J．Cohen），与斯坦福大学的同事们聊天时扬言：他也以通过解决某个希尔伯特（Hilbert）问题或者证明CH独立于AC而一举成名。实话说， 柯恩当时只是傅里叶分析方面的行家，对于逻辑和递归函数，他只摆弄过不长时间。柯恩果然去专攻逻辑了，大约用了一年的时间，真的证明了CH与AC独立。这 项成果被认为是20世纪最伟大的智力成就之一，他因此获得菲尔兹奖（Fieids Medal，比自然科学界的诺贝尔奖还难获得）。柯恩的技术是“力迫”（forcing）法，现已成为现代逻辑的一种重要工具。 当初的情形是：柯恩拿着证明手稿去高等研究院找哥德尔，请他核查证明是否有漏洞。 哥德尔起初自然很怀疑，因为柯恩早已不是第一个向他声明解决了这一难题的人了。在哥德尔眼里，柯恩根本就不是逻辑学家。柯恩找到哥德尔家，敲了门。门只 开了6英寸的一道缝，一支冷冰冰的手伸出来接过手稿，随后门“砰”地关上了。柯恩很尴尬，悻悻而去。不过，两天后，哥德尔特别邀请柯恩来家里喝茶。柯恩的 证明是对的：大师已经认可了。 ●维纳（1894－1964年）是最早为美洲数学赢得国际荣誉的大数学家，关于他的轶事多极了。维纳早期 在英国，有一次遇见英国著名数学家李特尔伍德（Littlewood）时说：“噢，还真有你这么个人。我原以为Littlewood只是哈代 （Hardy）为写得比较差的文章署的笔名呢。”维纳本人对这个笑话很懊恼，在自传中极力否认此事。此故事的另一种版本说的是朗道（Edmund Laudau）：朗道很怀疑李特尔伍德的存在性，为此专程去英国亲自看了这个人。 维纳后来赴美国麻省理工学院任职，长达25年。他是校园 中大名鼎鼎的人物，人人都想与他套点近乎。有一次一个学生问维纳怎样求解一个具体问题，维纳思考片刻就写出了答案。实际上这位学生并不想知道答案，只是问 他“方法”。维纳说：“可是，就没有别的方法了吗？”思考片刻，他微笑着随即写出了另一种解法。维纳最有名的故事是有关搬家的事。一次维纳乔迁，妻子熟悉 维纳的方方面面，搬家前一天晚上再三提醒他。她还找了一张便条，上面写着新居的地址，并用新居的房门钥匙换下旧房的钥匙。第二天维纳带着纸条和钥匙上班去 了。白天恰有一人问他一个数学问题，维纳把答案写在那张纸条的背面递给人家。晚上维纳习惯性地回到旧居。他很吃惊，家里没人。从窗子望进去，家具也不见 了。掏出钥匙开门，发现根本对不上齿。于是使劲拍了几下门，随后在院子里踱步。突然发现街上跑来一小女孩。维纳对她讲：“小姑娘，我真不走运。我找不到家 了，我的钥匙插不进去。”小女孩说道：“爸爸，没错。妈妈让我来找你。” 有一次维纳的一个学生看见维纳正在邮局寄东西，很想自我介绍一 番。在麻省理工学院真正能与维纳直接说上几句话、握握手，还是十分难得的。但这位学生不知道怎样接近他为好。这时，只见维纳来来回回踱着步，陷于沉思之 中。这位学生更担心了，生怕打断了先生的思维，而损失了某个深刻的数学思想。但最终还是鼓足勇气，靠近这个伟人：“早上好，维纳教授！”维纳猛地一抬头， 拍了一下前额，说道：“对，维纳！”原来维纳正欲往邮签上写寄件人姓名，但忘记了自己的名字……。