小学奥数--分数裂项-精选练习例题-含答案解析(附知识点拨及考点)

分数裂项计算教学目标本讲属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。知识点拨分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。1(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab，ab1111那么有()abbaab(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：11，形式的，我们有：n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)1111[]n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)1111[]n(n1)(n2)(n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：2222abab11ababab（1）（2）abababbaabababba裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。例题精讲11111【例1】。1223344556【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】美国长岛，数学竞赛111111115【解析】原式1223561661111提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：，计算过程就要变为：133557791111111．133557791925【】6111【巩固】......101111125960【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算111111111【解析】原式()()......()1011111259601060121【答案】122222【巩固】109985443【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算11111111117【解析】原式22910894534310157【答案】151111【例2】11212312100【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的112112代入有，，⋯⋯，1(11)11212(12)223222222120099原式2(1)112233410010110110110199【答案】11011111【例3】13355799101【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算111111111150【解析】(1⋯）1335579910123359910110150【答案】1011111【巩固】计算：251335572325【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】迎春杯，初赛，六111111112524【解析】原式2512511223352325225225【答案】12251251251251251【巩固】4881212162000200420042008【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛25111111【解析】原式16122334500501501502251111111111622334501502251501501211516502323221【答案】15323245671【巩固】计算：255771111161622222929【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算11111111111111【解析】原式25577111116162222292921【答案】211111111【例4】计算：()1288244880120168224288【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】101中学1111【解析】原式（）12824466816181111111（）12822446161811（）6421842894【答案】28911111111【巩固】_______612203042567290【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】走美杯，初赛，六年级【解析】根据裂项性质进行拆分为：111111116122030425672901111111123344556677889910112==21052【答案】5111111【巩固】13610152128【考点】分数裂项【难度】6星【题型】计算【关键词】走美杯，6年级，决赛1111【解析】原式1121231234123456722212334781111111222334781721847【答案】4111111111【巩固】计算：＝2612203042567290【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】走美杯，6年级，决赛111111111【解析】原式()2233445566778899101111111()22334910111()22101101【答案】1011111【巩固】。104088154238【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算11111【解析】原式25588111114141711111111111325588111114141711153217345【答案】341111【例5】计算：135357579200120032005【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】华杯赛，总决赛，二试1111111【解析】原式4133535572001200320032005111100400341320032005120480451004003【答案】1204804574.50.161111【例6】1813153563133.753.23【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】仁华学校791611111【解析】原式182901133557791331.2540.83714611111111233579131234631823=244293623【答案】3611111【例7】计算：123420261220420【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】小数报，初赛11111【解析】原式1232026122042011111210122334452021111111121012233420211202101210212120【答案】2102111111【巩固】计算：20082009201020112012=。1854108180270【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】学而思杯，6年级，1试11111【解析】原式200820092010201120123669912121515181111111201059122356510050545【答案】100505411224【巩固】计算：____。26153577【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】学而思杯，6年级1325375117【解析】原式2615357711111111122335577111101111110【答案】111111111【巩固】计算：315356399143195【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算22【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：32113，154135，⋯⋯，21951411315，1111111所以原式13355779911111313151111111112132352131511172115157【答案】151511192997019899【巩固】计算：．2612203097029900【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】四中1111【解析】原式11112612990011199122399100111119912239910019911001981001【答案】98100111【例8】123234789【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算1n1n1111【解析】首先分析出n1nn12n1nn12n1nnn1111111111原式21223233467787889111212893514435【答案】144111【巩固】计算：1232349899100【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算11111111【解析】原式()21223233434989999100111149494949()2129910029900198004949【答案】198001111【巩固】计算：135246357202224【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算11111【解析】原式＝＋＋⋯+++⋯+135357192123246202224111111＝(－)＋(－)4132123424222440652816010465＝＋＝＋483211234003234003238625＝34003238625【答案】3400324444【巩固】......135357939597959799【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算11111111【解析】()()......()()13353557939595979597979911320013979996033200【答案】96039998971【巩固】12323434599100101【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算99100110011001【解析】＝＝－＝－123123123231232398100210021001＝＝－＝－2342342342342343497100310031001＝＝－＝－⋯⋯34534534534534545110099100991001＝＝－＝－9910010199100101991001019910010199100101100101100100100100111原式...(...)1232343459910010123341001011111151100()()242210100210110151【答案】2410111111【例9】123423453456678978910【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算1111111【解析】原式31232342343457898910111119312389102160119【答案】2160333【巩固】......1234234517181920【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算1111111【解析】原式3[(...)]312323423434517181918192011319201113912318192018192068401139【答案】68405719【例10】计算：．1232348910【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，⋯⋯这一公差为2的等差数列(该数列的第n个数恰好为n的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．3234316原式1232348910111128321232348910123234891011111111113221223233489910233491031111111122129102334910311117112322290210460515也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为2n3，所以2n3232，再将每一项的与nn1n2n1n2nn1n2n1n23分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．nn1n223【答案】15571719【巩固】计算：1155（）234345891091011【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】迎春杯，初赛，五年级571719【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：．这个算式不同234345891091011于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．观察可知523，734，⋯⋯即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以57171923434589109101123349102343459101111111134244535101191111111134451011243591111111111111111111344510112243546810911111111181283131122103113325335531所以原式1155651．55（法二）上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为and，其中d为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将a与nd分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．5717192343458910910111221321821922343458910910111221321821922342343453458910891091011910111111222223434589109101134459101011111111111111122233434459101011344510111111122231011311112234131，1222031142205531所以原式1155651．55（法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：571719234345891091011511711171119112233423445289910291010115175197119171191223223422452291021011511111912233445910210115111931123102205531所以原式1155651．55（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：2n1an（n2，3，⋯⋯，9）n(n1)(n2)如果将分子2n1分成2n和1，就是上面的法二；如果将分子分成n和n1，就是上面的法一．【答案】65134512【巩固】计算：12452356346710111314【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：222234512原式1234523456345671011121314现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，222可以用平方差公式：3154，4264，5374⋯⋯222234512原式1234523456345671011121314154264374101441234523456345671011121314111123434545611121344441234523456345671011121314111111122334344511121213111111123423452345345610111213111213141111122312131234111213141111177111117512212132411121314811121314821114830861675【答案】61612349【例11】223234234523410【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算12349【解析】原式2232342345234102131411012232342341011111111222323234234923491013628799123491036288003628799【答案】3628800123456【例12】121231234123451234561234567【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算13141516171【解析】原式12123123412345123456123456711111112121231231234123456711112121234567150391504050405039【答案】50402399【巩固】计算：.3!4!100!【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．2399原式1231234123100314110011231234123100111111121231231234123991231001111121231002100!11【答案】2100!23450【例13】1(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250)【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算234550【解析】原式＝＋＋＋＋⋯＋1336610101512251275111111111274＝（）＋（）＋（）＋（）＝13366101225127512751274【答案】1275234100【巩固】1(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算211311【解析】，，⋯⋯，1(12)112(12)(123)1212310011，所以(1299)(12100)1299121001原式112100150491505050505049【答案】50502310【巩固】11（12）(12)(123)(1239)(12310)【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算23410【解析】原式1()133661045551111111113366104555111155551【答案】5511111114.【例】22222231517191111131【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】仁华学校22【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：ab(ab)(ab)，111111原式()()()()()()244668810101212141111111111111()2446688101012121421113()2142143【答案】14111111【巩固】计算：(12)(12)(12)(12)(12)(12)23454849【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算1111311124【解析】12(1)(1)，12(1)(1)，⋯⋯所以，22222333331324485015025原式223349492494925【答案】4935715【巩固】计算：2222222212233478【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算2222222221324387【解析】原式222222221223347811111111222222222334781631286463【答案】64222223151711993119951【巩固】计算：22222．3151711993119951【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算22222【解析】原式1212121212315171199311995122299724461994199611111199724461994199611997997997219961996997【答案】99719962222222213243598100【巩固】计算：2222．213141991【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算222222131024203534104204344【解析】2，2，2，⋯⋯由于2，2，2，2133184115338815154444可见原式22222222213141991111129841324359810011111111196412324359810011119621299100199196329900475119849504751【答案】1984950222212350【巩固】计算：．13355799101【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为222221，41，61，⋯⋯，1001，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．22221246100原式422142162110021111111212121242141611001111115041335579910111111111150142335579910111115063501501242101410110163【答案】1210156677889910【例15】56677889910【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算56677889910111111113【解析】()...()566778899105667910510103【答案】10365791113【巩固】57612203042【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中36233445566736111111【解析】原式=...=457233445566757233467【答案】4132579101119【巩固】计算：3457820212435【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算1325711111121【解析】原式1111153457845373857【答案】512379111725【巩固】3571220283042【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算1231111112113【解析】原式3573445475667111121231311133336655577744443【答案】34111112010263827【巩固】2330314151119120123124【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算111111111111111【解析】原式23303141317717430341431111111112233743471【答案】27354963779110531【巩固】16122030425688【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算5791113153【解析】原式718612203042568111111117823347881111788288211110【答案】105791113151719【巩固】计算：1612203042567290【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算23344556677889910【解析】原式12334455667788991011111111111111111()()()()()()()()23344556677889910113121053【答案】511798175【巩固】451220153012【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算111111112111【解析】原式4534453556461111245233456【答案】322222222122318191920【例16】122318191920【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算1232341918192021919【解析】原式...21736212343181920191202019【答案】362011112007111【巩固】(......)(......)120072200620062200712008120062200520061【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算2008111200711【解析】原式=(...)(...)2008120072200620071200812006200612008111200711=(...)(...)2008120072200620071200812006200611200820082008120072007=(...)(...)20081200722006200712008120062006111111111111=[(...)(...)]2008120072200620071120062006111111111111=[(...)(...)]200812007220062007112006200611111=()20082007200720150281【答案】2015028111111【例17】计算：23459899515299【考点】分数裂项【难度】5星【题型】计算111111111【解析】原式24983599515299111111111【解析】224503549525498111111111【解析】245035492627491111111111【解析】224243525262848501111111111【解析】242435251314245011111111111【解析】224123511141624502511111111111【解析】24123511781250251111111111【解析】2246358101250251111111111【解析】2463545650251149【解析】150255049【答案】5024612【例18】计算：335357357911【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算315171131【解析】原式33535735791113111111【解析】1335357911335357911131【解析】135791113135134【解析】135135135134【答案】1351351222282324211【例19】计算：1335571719135357171921【考点】分数裂项【难度】5星【题型】计算341199222224422【解析】13535717192113353557171919218922422【解析】1335571719192112282242829【解析】所以原式1335171913355717191921921512133379【解析】192113399399379【答案】399