微分方程公式运用表

微分方程公式运用表一、一阶微分方程判断特征：dy=f(x,y)dx类型一：dy=g(x)h(y)(可分离变量的方程)dx解法(分离变量法)：然后两边同时积分h(y)类型二：dy+P(x)y=Q(x)(—阶线性方程)dx解法(常数变易法)：y二e」P(x皿(C+JQ(x)e『P(x)dxdx)类型三：空=f(x,y)=f(tx,ty)(一阶齐次性方程)dx解法(换元法)：令u=兰n类型一x类型四：:Q(x)yn(伯努利方程)dx解法(同除法)：y-ndy+P(x)yi-n=Q(x)n类型二dx二、可降阶的高阶微分方程类型一：y(n)二f(x)解法(多次积分法)：令u=y(n-Dndu=f(x)n多次积分求/(x)dx类型二：y''=f(x,y')解法：令p=y'n=f(x,p)n一阶微分方程dx类型三：y''=f(y,y')解法：令p=y'ndP=业=p冬nf(y,p)n类型二dxdydxdy三、线性微分方程类型一：y''+P(x)y'+Q(x)y=0(二阶线性齐次微分方程)解法：找出方程的两个任意线性不相关特解：y(x),y(x)12则：y(x)cy(x)cy(x)1122类型—：y''P(x)y'Q(x)yf(x)(—阶线性非齐次微分方程)解法：先找出对应的齐次微分方程的通解：y(x)cy(x)cy(x)31122再找出非齐次方程的任意特解y(x)，则：y(x)y(x)cy(x)cy(x)pp1122pP24q解法(特征方程法)类型三：y''py'q0(—阶线性常系数齐次微分方程)一)p24q0yce1xce2x1212—)0y(ccx)ex1212三)01i,2iyex(ccosxcsinx)121,22类型四：y''py'qf(x)(—阶线性常系数非齐次微分方程)解法(待定系数法)：f(x)P(x)・ex型：先找出对应齐次微分方程的通解y(x)m3其中令Q(x)AXmBxm1…，将y(x)带入方程求出A,B,Cmpf(x)exP(x)cosxP(x)sinx型：先找出对应齐次微分方程的ml通解y(x)3利用待定系数求出y(x),则：yy(x)y(x)pp3