概率统计公式大全

第1章随机事件及其概率(1)排列组合公式Pmn—从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。(mn)!一nm!,,Cm从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。n!(mn)!(2)加法和乘法原理加法原理(两种均能完成此事)：m+n某件事由两种方法来完成，A种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mxn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由mxn种方法来完成。(3)一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题(4)随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件卜XJ以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(5)基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,…表示事件，它们是的子集。为必然事件，？为不可能事件。不可能事件(？)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件(◎)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。(6)事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，(A发生必有事件B发生)：AB如果同时有AB,BA,则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B,A、B中至少有一个发生的事件：AB,或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可表示为A-AB或者AB,它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AB,或者ARAB=①，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互小相容或者互斥。基本事件是互小相容的。◎-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为Ao它表示A不发生的事件。互斥未必对立。②运算：结合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)Ai可____德摩根率：i1i1ABAB,ABAB⑺概率的公理化定义设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足卜列三个条件：1°0WP(A)W1,2P(Q)=13°对于两两互不才目容的事件A1,A2,…有PAiP(Ai)i1i1常称为可列(完全)可加性。则称P(A)为事件A的概率。(8)古典概型1°11,2n，—12P(1)P(2)P(n)一。n设任一事件A,它是由1,2m组成的，则有P(A尸P(1)(2)(m)=P(1)P(2)P(m)mA所包含的基本事件数n基本事件总数(9)几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A,L(A)P(A)一」。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。L()(10)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)=0时，P(A+B)=P(A)+P(B)(11)减法公式P(A-B尸P(A)-P(AB)当BA时，P(A-B尸P(A)-P(B)当A=◎时,P(B)=1-P(B)(⑵条件概率定义设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称P(AB)为事件A发生条件下，事P(A)件B发生的条件概率，记为P(B/A)P(AB)。P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如：P(Q/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB)P(A)P(B/A)P(B)P(A/B)更一般地，对事件A,隧,…A,若P(A1A2…An-1)>0,则有P(A1A2…An)P(A)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(An|A1A2…An1)0(14)独立性①两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB)P(A)P(B)，则称事件a、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且P(A)0,则有P(B|A)kP(A)P(B)P(B)P(A)P(A)若事件A,B相互独立，则可得到入与B,A与B,M与后也都相互独立。必然事件和不可能事件①与任何事件都相互独立。①与任何事件都互斥。②多个事件的独立性设A,B,C是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC尸P(A)P(B)P(C)那么AB、C相互独立。对于n个事件类似。(15)全概率公式设事件B1，B2，，Bn满足1。B1,B2,,Bn相容，P(Bi)0(i1,2,,n),nABi2i1,则有P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)。(16)贝叶斯公式(用于求后验概率)设事件B1，B2,…，Bn及A满足。B1,B2,…，Bn两两互/、相容,P(Bi)>0,i1,2,…，n,nABii1，且P(A)外则P(Bi/A)ngHA/Bi)，i=1,2，.noP(Bj)P(A/Bj)j1此公式即为贝叶斯公式。P(Bi),(i1,2,…，n),通常叫先验概率。P(Bi/A),(i1,2,…，n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果溯因”的推断。(17)我们作了门次试验，且满足伯努利概型每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互/、影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验a发生的概率，则a发生的概率为1pq,用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0kn)次的概率，c/1\k^k_k—nkPn(k)Cnpq,k0,1,2,,no第二章随机变量及其分布(1)离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的可能取值为X(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=Xk)=pk,k=1,2,…，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：X|X1,x2,,xk,P(Xxk)p1,p2,,pk,o显然分布律应满足卜列条件：pk1(1)pk0,k1,2,,(2)k1。(2)连续型随机变量的分布密度设F(X)是随机变量X的分布函数，力存在非负函数f(x),对任意实数x,有XF(x)f(x)dx1?则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有卜面4个性质：1。f(x)0,f(x)dx1乙,乂23P(x1XxJf(x)dx,x14。若f(x)在点x处连续，则有F'(x)f(x)。(3)离散与连续型随机变量的关系P(Xx)P(xXxdx)f(x)dx积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(Xxk)pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。(4)分布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x)P(Xx)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(aXb)F(b)F(a)可以彳#到X落入区间(a,b］的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间(-8,x］的概率。分布函数具有如下性质：1°0F(x)1,x;F(x)是单调/、减的函数，即xix2时，有F(xi)F(x2)；F()limF(x)0,F()limF(x)1;xx。F(x0)F(x),即F(x)是右连续的；°P(Xx)F(x)F(x0)。对于离散型随机变量，F(x)pk；xkxx对于连续型随机变量，F(x)f(x)dx。0-1分布即B(1,p)P(X=1)=p,P(X=0)=q(5)八大分布二项分布即B(n,p)在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为po事件A发生的次数是随机变量，设为X,则X可能取值为0,1,2,,n。_kknkP(Xk)Pn(k)Cnpq,其中q1p,0p1,k0,1,2,,n,则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为X~B(n,p)。当n1时，P(Xk)pkq1k,k0.1,这就是0-1分布，所以0-1分布是二项分布的特例。泊松分布即P()设随机变量X的分布律为kP(Xk)—e,0k!则称随机变量X服从参数为的者P()。k=0,1泊松分布,,2…，记为X~()或泊松分布是二项分布的极限分布(np=入,n一8)o超几何分布CM?CnMk0,1,2,lP(Xk)——n^N-M,CNlmin(M,n)随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布P(Xk)qk1p,k1,2,3,,其中P>0,q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量X的值只器，一1上为常数，即ba，af(x)ba,0,则称随机变量X在［a,分布函数为xb。M在区间(xi，x2)内的概率为Xioa指数分布xee,x0,f(x)(^^F(x)ke2dt2参数0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为X~N(0,1)，其密度函数记为(x)；—e22,x,分布函数为x-(x)—e2dt。22(x)是不可积函数，其函数值，已编制成表可供查用。①(-x)=1-①(x)且①(0)=1/2V-M/2\X如果X~N(,)，则N(0,1)oP(x1Xx2)。(6)分位数下分位表：P(X)=;上分位表：P(X)=。⑺函数分布离散型已知X的分布列为Xx1,x2,,xn,P(Xxi)p1,p2,,pn,'Yg(X)的分布列(yig(xi)互不相等)如下：Yg(x1),g(x2),,g(xn),P(丫yi)p1,p2,,pn,若用某些g(xi)相等，则应将对应的pi相加作为g(xi)的概率。连续型先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)=P(g(X)0(i,j=1,2,…)；Pj1.对于f(X,y)(维随机向分别平行于坐标轴的有P{(X,Y)D}(X,Y),如果存在非负函数y),使对任意一个其邻边矩形区域D,即D={(X,Y)|a0;f(x,y)dxdy1.(2)二维随机变量的本质(Xx,Yy)(XxYy)(3)联合分布函数设(X,Y)为二维随机向量，对于任意实数x,y,二元函数F(x,y)P{Xx,Yy}称为二维随机向量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件{(1,2)|X(1)x,Y(2)y}的概率为函数值的一个实值函数。联合分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：0F(x,y)1;F(x,y)分别对x和y是非减的，即当x2>x1时,有F(x2,y)>F(x1,y);当y2>y1时,有F(x,y2)>F(x,y1);F(x,y)分别对x和y是右连续的，即F(x,y)F(x0,y),F(x,y)F(x,y0);F(,)F(,y)F(x,)0,F(,)1.(5)对于x1x2,y1y2,F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1，、2)F(x［，y1)0.(4)离散型与连续型的关系P(Xx,Yy)P(xXxdx,yYydy)f(x,y)dxdy(5)边缘分布密度离散型X的边缘分布为Pi?P(Xxi)Pj(i,j1,2,)；Y的边缘分布为P?jP(Yyj)Pj(i,j1,2,)。连续型X的边缘分布.密度为fX(x)f(x,y)dy;Y的边缘分布密度为fY(y)f(x,y)dx.(6)条件分布离散型在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为PjP(Yyj|Xx。」；Pi?在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为PijP(XXi|Yyj)—,P?j连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为f(x|y)f(x,y)；fY(y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为f(y|x)3fX(x)⑺独立性一般型F(X,Y)=Fx(x)FY(y)离散型PijPi?P?j后零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：①联合概率密度函数可分离交量。②正概率密度区间为矩形。二维正态分布221x12(x1)(y2)y212(12)1122f(x，y),——re，212V1其中1，2,10,20,||1是5个参数随机变量的函数若X1,X2，…X叫Xm+1,…X4目互独立，h,g为连续函数，则：h(X1,X2,…儿)和g(Xm+1,…Xn)相互独立。特例：若X与丫独立，则：h(X)和g(Y)独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。(9)二维正态分布设随机向量(X,Y)的分布密度函数为221x12(xi)(y2)y22(12)1122f(x,y)^=re,12M2其中1，2,10，20,111是5个参数，则称(X,口服从二维正态分布，记为(X,Y)〜N(1，2,12,2,).由边缘密度的

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，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，X-N(1,12),y~n(2,2).但是，若X〜N(1,12),Y~N(2,2),(X,Y)未必是二维正态分布。(10)关于随机变量的函数的分布Z=X+Y根据定义计算：FZ(z)P(Zz)P(XYz)对于连续型，fz(z)=f(x,zx)dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布(12,122)。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。_2_22Cii,CiiZ=max,min(X1,X2，…Xn)若Xi,X2Xn相互独立，其分布函数分别为Fxi(x),Fx(x)Fxn(x),则Z=max,min(X1,X2,・Xn)的分布函数为：Fmax(x)Fxi(X)FX2(x)Fxn(x)Fmin(x)1[1Fxi(x)][1Fx2(x)][1Fxn(x)]2分布设n个随机变量X1,X2,,Xn相互独立，且服从标准止态分布，可以证明它们的平方和n2WXii1的分布密度为1n1u-u2e2u0,f(u)22n2Qu0.我们称随机变量W］艮从自由度为n的2分布，记为M2(n),其中nnin2cx」x2edx.20所谓自由度是指独立止态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。2分布满足可加性：设Yi2(n)则kr、，2，、ZYi~(nin2nk).i1t分布设X,Y是两个相互独立的随机变量，且X~N(0,1),Y〜2(n),可以证明函数T看vY/n的概率密度为n1n12t2丁f(t)21t(t)./nn、n一2我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T〜t(n)。L(n)t(n)F分布设X~2(njY~2伯2),且X与丫独立，可以证明lX/ni…一,,F的概率号度函数为Y/n2nin2ninin22ni23]ni2八f(v)yiy，y0f(y)nin2n2n2220,y0我们称随机变量F服从A个自由度为ni,第二个自由度为n2的F分布，记为F〜f(ni,n2).L，、iFi(ni,n2)F(n2,ni)第四章随机变量的数字特征离散型连续型期望(期望就是平均值)设X是离散型随机变量，其分布律为P(Xxk)=pk,k=i,2,…,n,nE(X)XkPkki(

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绝对收敛)设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x),E(X)xf(x)dx(要求绝对收敛)(1)一维随机变量的数字特征一维随机变量的函数的期望Y=g(X)Y=g(X)nE(Y)g(Xk)Pkk1E(Y)g(x)f(x)dx力差———2D(X尸E[X-E(X)],标准差(X)VDW，__2D(X)[XkE(X)]pkk2D(X)[xE(X)]2f(x)dx矩①对于正整数k,称随机变量X的k次哥的数学期望为X的k阶原点矩，记为Vk,即Vk=E(Xk)=XikPi,k=1,2,….②对于正整数k,称随机变量X与E(X)差的k次哥的数学期望为X的k阶中心矩，记为k,即kkE(XE(X)).=(XiE(X))kPi,k=1,2,….①对于正整数k,称随机变量X的k次哥的数学期望为X的k阶原点矩，记为Vk,即kkvk=E(X)=xf(x)dx,k=1,2,②对于正整数k,称随机变量X与E(X)差的k次哥的数学期望为X的k阶中心矩，记为k,即kE(XE(X))k.k=(xE(X))f(x)dx,k=1,2,切比雪夫不等式设随机变量X的数学期望E(X)=小方差D(X)=/,则对于任意正数£,后卜列切比雪夫不等式2P(X|)—切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率P(X)的一种估计，它在理论上启重要忌义。(2)期望的性质E(C尸CE(CX尸CE(X)nnE(X+Y尸E(X)+E(Y),E(GXi)CiE(Xi)i1i1E(XY)=E(X)E(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。(3)方差的性质D(C)=0;E(C)=CD(aX)=a2D(X);E(aX)=aE(X)D(aX+b)=a2D(X);E(aX+b)=aE(X)+bD(X)=E(X2)-E2(X)D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(X±Y尸D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。(4)常见分布的期望和力差期望力差0-1分布B(1,p)Pp(1p)二项分布B(n,p)npnp(1p)泊松分布P()几何分布G(p)1p1p2p超几何分布H(n,M,N)nMNnMMNn1NNN1均匀分布U(a,b)ab2(ba)212指数分布e()112止态分布N(,2)22分布n2nt分布0n/c、(n>2)n2(5)二维随机变量的数字特征期望nE(X)XiPi?i1nE(Y)yjP?jjiE(X)xfX(x)dxE(Y)yfY(y)dy二维随机变量的函数的期望E[G(X,Y)]=G(Xi,yj)pjE[G(X,Y)]=G(x,y)f(x,y)dxdy——、、..、.广.力左_—2D(X)[XiE(X)]Pi?2D(Y)[XjE(Y)]2p?jD(X)[xE(X)]2fx(x)dxD(Y)[yE(Y)]2fY(y)dy协力差对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩ii为X与Y的协方差或相关矩，记为xy或cov(X,Y),即xyiiE[(XE(X))(YE(Y))].=E(XY)-E(X)E(Y)与记号XY相对应，X与Y的方差D(X)与D(Y)也可分别记为XX与YY0协方差矩阵对于随机变量X与Y,如果D(X)>0,D(Y)>0,则称XYD(X).D(Y)为X与Y的相关系数，XY有时可简记为，且||01当||二1|时，称X与Y完全相关：P(XaYb)1完全相关正相关，当1时(a0),兀王伯大负相关，当i时g0),而当0时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的：①XY0；②cov(X,Y)=0;E(XY尸E(X)E(Y);D(X+Y尸D(X)+D(Y);⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).XXXYYXYY对于随机变量X与Y,如果有E(XkYl)存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为h；k+l阶混合中心矩记为：UkiE[(XE(X))、(YE(Y)),](6)协方差的性质(i)cov(X,Y)=cov(Y,X);cov(aX,bY)=abcov(X,Y);cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).⑺独立和不相关(i)若随机变量X与Y相互独立，则xy0；反之不成立(ii)若(X,Y)-N(1,2,12,2则X与Y相互独立等价于X和Y不相关第五章大数定律和中心极限定理(1)大数定律(2)中心极限定理2XN(,——)n切比雪夫大数定律设随机变量X1,X…相互独立，均具有有限方差,即D(X)0,有1n1nlimP—Xi-E(Xi)1.nni1ni1特殊情形：若X,X2,…具肩相同的数学期望E(X)=“则卜式一广)一/八1nlimP-Xinni11.伯努利大数定律设n是n次独立ii在每次试验中发生的相limn伯努利大数定律设发生的频率与概率有茏limPn这就以严格的数学形为R验中号》率，贝1P—n州，叱i大判另-pnt描述1昌件A发生的次数，p是事件AU对于任意的正数c,有p1.i试验次数n很大时，事件A用勺可能性很小，即0./频率的稳定性。辛钦大数定律设X,X2,…、X,且E(X)=仙，则对二limPn•是相互独立同分布的随机变量序列，于任意的正数£有1n-Xi1.ni1林德伯格一列维定理设随机变量X1,X,…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：E(Xk),D(Xk)20(k1,2,)，则随机变量nXknYnk^-^Jn的分布函数Fn(x)对任意的实数X,有nXknt2-1xlimFnxlimPk1厂x(x)j—e2dt.此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗一拉普拉斯定理设随机变量Xn服从B(n,p)(0规定

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