2004至2005年江苏专转本高数真题附答案

2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）x3x3,01、f(x)，是：（）x3x0,2A、有界函数B、奇函数C、偶函数2、当x0时，x2sinx是关于x的A、高阶无穷小B、同阶但不是等价无穷小C、低阶无穷小3、直线L与x轴平行且与曲线yxex相切，则切点的坐标是A、1,1B、1,1C、0,14、x2y28R2设所围的面积为22R2x2dx的值为S，则8RS0SA、SB、C、425、设u(x,y)xlnx2y2，则下列等式成立的是arctan、v(x,y)yuvuvuvA、B、C、xyxxyxuvyy6、微分方程y''3y'2yxe2x的特解y的（）D、周期函数（）D、等价无穷小（）D、0,1（）D、2S（）D、形式应为A、Axe2xB、(AxB)e2xC、Ax2e2xD、x(AxB)e2x二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）xx7、设f(x)，则limf(x)3xx8、过点M(1,0,2)且垂直于平面4x2y3z2的直线方程为9、设f(x)x(x1)(x2)(xn)，nN，则f'(0)10、求不定积分arcsin3xdx1x212x11、交换二次积分的次序0dxx2f(x,y)dy(x1)n12、幂级数2n的收敛区间为n1三、解答题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）x13、求函数f(x)的间断点，并判断其类型.sinxx14、求极限lim0(tantsint)dt2.x0(ex1)ln(13x2)15、设函数yy(x)由方程yxey1所确定，求d2yx0的值.dx2xe16、设f(x)的一个原函数为，计算xf'(2x)dx.x1dx.17、计算广义积分2xx118、设zf(xz、2zy,xy)，且具有二阶连续的偏导数，求.xxy19、计算二重积分sinydxdy，其中D由曲线yx及y2x所围成.yD120、把函数f(x)展开为x2的幂级数，并写出它的收敛区间.x2四、综合题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）21、证明：sinx.20f(sinx)dx，并利用此式求0x1cos2xdx0xf(sinx)dxx1f(x)，求f(x).22、设函数f(x)可导，且满足方程tf(t)dtx2023、甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元。问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管道的费用最省？2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、x0是f(x)xsin1的x（）A、可去间断点B、跳跃间断点C、第二类间断点D、连续点12、若x2是函数yxln(ax)的可导极值点，则常数a2（）A、11B、23、若f(x)dxF(x)C（）1C、D、12，则sinxf(cosx)dxA、F(sinx)CB、F(sinx)CC、F(cos)CD、F(cosx)C4、设区域D是xoy平面上以点A(1,1)、B(1,1)、C(1,1)为顶点的三角形区域，区域D1是D在第一象限的部分，则：(xycosxsiny)dxdyD（）A、2(cosxsiny)dxdyB、2xydxdyD1D1C、4(xycosxsiny)dxdyD、0D15、设x，v(x,y)lnx2y2，则下列等式成立的是u(x,y)arctany（）uvuvuuvA、B、C、vD、xyxxyxyy6、正项级数(1)un、(2)un3，则下列说法正确的是n1n1（）A、若（1）发散、则（2）必发散B、若（2）收敛、则（1）必收敛C、若（1）发散、则（2）可能发散也可能收敛D、（1）、（2）敛散性相同二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、limexex2x；x0xsinx8、函数f(x)lnx在区间1,e上满足拉格郎日中值定理的；1x1；9、1x210、设向量3,4,2、2,1,k；、互相垂直，则k；0dx1x211、交换二次积分的次序f(x,y)dy；1x112、幂级数(2n1)xn的收敛区间为；n1三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）f(x)2sinx0、f'(0)6，13、设函数F(x)xx0在R内连续，并满足：f(0)ax0求a.xcost14、设函数yy(x)由方程ysinttcost2所确定，求dy、dy.dxdx215、计算tan3xsecxdx.116、计算arctanxdx017、已知函数zf(sinx,y2)，其中f(u,v)有二阶连续偏导数，求z、2zxxy18、求过点A(3,1,x4y3z2)且通过直线L:的平面方程.52119、把函数f(x)x2展开为x的幂级数，并写出它的收敛区间.2xx220、求微分方程xy'yex0满足yx1e的特解.四、证明题（本题8分）21、证明方程：x33x10在1,1上有且仅有一根.五、综合题（本大题共4小题，每小题10分，满分30分）22、设函数yf(x)的图形上有一拐点P(2,4)，在拐点处的切线斜率为3，又知该函数的二阶导数y''6xa，求f(x).23、已知曲边三角形由y22x、x0、y1所围成，求：（1）、曲边三角形的面积；（2）、曲边三角形饶X轴旋转一周的旋转体体积.uu24、设f(x)为连续函数，且f(2)1，F(u)dyf(x)dx，(u1)1y1）、交换F(u)的积分次序；2）、求F'(2).2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考1、A2、B3、C4、B5、A6、D7、e18、x1yz29、n!10、1arcsin4xC42341yf(x,y)dx22y1,311、dydyf(x,y)dx12、001013、间断点为xk，kZ，当x0时，limf(x)limx1，为可去间断点；xx0x0sinx当xk，k0，kZ时，lim，为第二类间断点.0sinx14、原式limx(tantsint)dtlimtanxsinxlimtanx(1sinx)limx1x2.021x03x4x012x3x012x3x012x32415、x0代入原方程得y(0)1，对原方程求导得y'eyxeyy'0，对上式求导并将x0、y1代入，解得：y''2e2.'1)ex16、因为f(x)的一个原函数为ex，所以f(x)ex(x，xxx2xf'(2x)dx1xf'(2x)d(2x)1xdf(2x)1xf(2x)1f(2x)dx22221xf(2x)1f(2x)d(2x)x(2x1)e2xe2xCx1e2xC248x28x4x17、1dxtx12tdt21dt2arctant12xx11t(t21)1t212zf1'f2'y；18、x2z''''x'''(1)''xf11(1)f12f2yf21f22xyf''(xy)f'''''1112xyf22f2siny1ysiny119、原式Dydxdy0dyy2ydx0(1y)sinydy(y1)cosy11cosydy1sin10020、f(x)1111(1)n(x2)n，(24x241x24n04n421、证明：令tx，xf(sinx)dx0t)f(sin(t)dt(00f(sinx)dx0xf(sinx)dx故xf(sinx)dx2f(sinx)dx，证毕.00xsinxdxsinxdxarctan(cosx)02201cosx201cosx222、等式两边求导的xf(x)2xf'(x)即f'(x)xf(x)2x且q2x，pdxx2e2，ex2，pdxpdx2pdxx2x2qedx2xq2dx2e2x2x2x2所以f(x)(2e2C)e22Ce2，由f(0)1，x2，3e2解得C3f(x)223、设污水厂建在河岸离甲城x公里处，则x6)(t)f(sint)dt024f(0)1，px，M(x)500x700402(50x)2，0x50，M'12(x50)05007002402(50x)2500解得x50（公里），唯一驻点，即为所求.62005年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、A2、C3、D4、A5、A6、C7、28、e19、10、521y111、0dy1y2f(x,y)dx12、(1,1)13、因为F(x)在x0处连续，所以limF(x)F(0)，x0limF(x)limf(x)2sinxlimf(x)f(0)2f'(0)2628，x0x0xx0xF(0)a，故a8.dyd2y(y')t'14、dydtcostcosttsint1t.dxdxsintt，xt'sintdx2cscdt15、原式1sec3tan2xtanxsecxdx(sec2x1)dsecxsec2xdsecxsecxxsecxC3.、原式xarctanx11x11d(1x2)0012dx1ln(1x4201x24x2)1021ln24217、z'，2z''2y)''cosxf1cosx(f122ycosxf12xxy18、l5,2,1，B4,3,0，AB1,4,2ijklAB5218,9,22142平面点法式方程为：8(x3)9(y1)22(z2)0，即8x9y22z59.19、f(x)x211)x21x21(32x1x6x31x12x2(1)n1xn，收敛域为1x1.3n02n1'1ex20、yy，通解为xxye1ex1xdxCCxxeedxdxxxxex因为y(1)e，eeC，所以C0，故特解为y.x21、证明：令f(x)x33x1，x1,1，且f(1)30，f(1)10，f(1)f(1)0，由连续函数零点定理知，f(x)在(1,1)上至少有一实根.22、设所求函数为yf(x)，则有f(2)4，f'(2)3，f''(2)0.由y''6xa，y''(2)0得a12，即y''6x12.因为y''6x12，故y'3x212xC1，由y'(2)3，解得C19.故yx36x29xC2，由y(2)4，解得C22.所求函数为：yx36x29x2.23、（1）S112131102ydyy06611（2）Vx222x)dx2)20(1(xx4024、解：积分区域D为：1yu，yxu（1）F(u)f(x)duxudxf(x)dy(x1)f(x)dx；D111（2）'()(1)()，'.FuufuF(2)(21)f(2)f(2)1