求t时刻质点的位置坐标和加速度

大学物理学业竞赛讲座力学例题及解答例1一质点沿x轴运动，其速度与位置坐标的关系为位于坐标原点，求t时刻质点的位置坐标和加速度。解：vdx2x1dtxdxt2x1dt001(e2t1)2d2x2ta22edt例2一半径为R的半圆柱体沿水平方向作加速度为a的匀加速运动，如图示。竖直杆只能在竖直方向运动。当半圆柱体的速度为v时，杆与半圆柱体的接触点P的角位置为。求此时竖直杆运动的速度和加速度。解：RsinyRcosvdxRcosddvdtdtdtRcosvpdyRsinddtvtandtdvpvsec2dv2apatanatandtdtRcos3例3如图示合页构件由两个菱形组成，其边长之比为2：1。顶点A2以速度v0l水平移动，求当构件的所有角为直角时，顶点A1、B1、B2的速度A02x1，若t=0时质点PRyxB1B2l/2v0A1A2C2C11解：xA23lcosv0dxA23lsinddv0dtdtdt3lsinxA2lcosvAdxA1d22lsinv011dtdt3xlcosvBxdxB1lsind1v0B1dtdt31yBlsinvBydyB1lcosd1v0ctgdtdt311xB25vB2xdxB25lsind5lcosdt2dtv026yB21lsin2vB2ydyB21d1dtlcosdtv0ctg26例4甲、乙两小孩在做游戏，甲在树上，乙在地上用枪描准甲，乙一开枪，甲就乙从树上跳下（初速度为零）。问：甲是否被击中？若被击中，求出被击中的时间和地点。解：（略）例5一质量为m的质点t=0时自坐标原点以初速中受到空气阻力fmkv，求:甲v0hsvov0i做平抛运动，运动过程1）t时刻质点的速度；2）质点的运动方程。解：1）mgfmaOv0fxmkvxmdvx(1)dtmgmkvydvy(2)mdt由（1）：vxv0ektkvxdvx(k)dtdvxtvxdt0v0vx由（2）：mgy2gkvydvyt(k)dtvydvyvygekt)dt(100vyg/kkvxv0ektvyg(1ekt)k（2）vxdxktxtktv0(1ekt)v0edxv0edtxdt00kvydygktytgktyggktdt(1e)dy(1e)dttk2(1e)k00kkxv0(1ekt)kyggekt)t(1kk2讨论：（1）k0，vxv0xv0t,1gt2——理想平抛运动vygty2vx0xv0（2）tk，,——匀速直线运动vyggg/ktykk2例6一小环A套在半径为a的竖直大圆环上，小环与大环之间的摩擦系数为，证明：当大环以匀角速绕A它自己水平轴O转动时，如果(g/a)1/2(11/2)1/4则小环与大环之间无相对运动。解：Nmgcosma2fmgsinNmgsin(ma2mgcos)gsin1/2cos)(a令f()(sincos)，f'()0tan1/sin1/12,cos/12OafaNmg3(g)1/2(112)1/4a例7如图，设所有的接触面都光滑，求物体m相对于斜面的加速度和M相对于地面的加速度。解1：mMmgsinmaxN1mgcosmayN1sinMa0aa0a'axa0cosa'aya0sinmgsinm(a0cosa')N1mgcosma0sinN1sinMa0a'(Mm)gsinMmsin2a0mgsincosMmsin2解2：mgsinma0cosma'N1mgcosma0sin0N1sinMa0a'(Mm)gsinMmsin2a0mgsincosMmsin2例8一质量为m的质点以初速N1yamgOxN2a0N1MgYyN2N1a0Xma0N1Mgaxmgv0，抛射角作斜抛运动，落地时与地面发生碰撞，而后作第二次斜抛运动。设质点两次斜抛运动的飞行时间相等，而第二次斜抛运动的射程是第一次的一半，求碰撞时地面对质点的冲量。yv01v1xF2v2xt1t2mgmgxss/24解：mgt1jmgt2jIv2xiv1xiIm(v2xv1x)img(t1t2)jt1t2v0sin，v1xv0cos,v2x1v0cosg2I1cosimv0sinjmv02例9一质量为M的圆环用线悬挂着，两质量为m的有孔小珠套在此环上，小珠可在环上无摩擦滑动，如图所示。今将两小珠从环的顶部释放，使之沿相反方向自由滑下。（1）证明：为使小珠下滑过程中大环能升起，m和M必须满足：m3M；22）在满足上述条件下，求大环开始升起时小珠与环中心连线与竖直线的夹角。解：mgR(1cos)1mv2（1）2Nmg(23cos)mm2mgcosNmvR上升条件：2NcosMg，即O2mg(23cos)cosMg22M0Mcoscos36m以上不等式有解：44M0m396mM22）当m3M时，以上不等式的解为：21(113M)cos1(113M)32m32m即开始上升时，cos11(113M)32m例10如图所示，半径为R、质量为M、表面光滑的半球放在光滑的水平面上，在其正上方置一质量为m的小滑块。当小滑块从顶部无初速地下滑后，在图示的角位置处开始脱离半球，已知cos＝0.7，求M/m。5解：mmvxMV01MV21m(vx2vy2)mgR(1cos)VMRv22vVv'vxv'cosVvyv'sinm(v'cosV)MV01MV21m[(v'cosV)2v'2sin2]mgR(1cos)22v'2(Mm)gR(1cos)Mmsin2Vm2gR(1cos)cos(Mm)(Mmsin2)脱离球面的条件：N＝0，则mgcosv22(Mm)mg(1cos)mMmsin2RMcos33cos22.43Fm3cos2m1例11用一弹簧把质量各为m1和m2的两木块连起来，一起放在地面上，弹簧的质量可不计，而m2>m1，问：对上面的木块必须施加多大的压力Ｆ，以便在Ｆ突然撒去而上面的木块跳起来m2时，恰能使下面的木块提离地面？解：Fm1gkx1（1）x2m2刚好能被提起的条件：Fx＝0m1x1m2gkx2（2）机械能守恒：1212m2kx1m1gx1kx2m1gx2（3）22根据（1）～（3）可得F(m1m2)g例12如图，求当人从小车的一端走到另一端时，小车相对与地面移动的距离。6解：ymxC1mlMl/2MmMxxC2msM(sl/2)lmM由xC1xC2得：ysmlxMmsl例13如图，质量为m的小球，拴于不可伸长的轻绳上，在光滑水平桌面上作匀速圆周运动，其半径为R，角速度为，绳的另一端通mR过光滑的竖直管用手拉住，如把绳向下拉R/2时角速度为多少？解：FLmvRmR2L'mv'R1mR2'24LL''4例14如图所示，质量为m的小球B放在光滑的水平槽内，现以一长为l的细绳连接另一质量为m的小球A，开始时细绳处于松弛状态,A与B相距为l/2。球A以初速度v0在光滑的水平地面上向右运动。当A运动到图示某一位置时细绳被拉紧，试求B球开始运动时速度vB的大小。解：Bmv0l/2mvAlmv0mvBmvAcos600mvA||cos300l/2lvBcos300vA||3v0vAvBAA7例15固定在一起的两个同轴均匀R圆柱体可绕其光滑的水平对称轴rOO转动，设大小圆柱的半径分别为R和r，质量分别为M和m，绕在两柱体上的细绳分别与物体m2m1m17和物体m2相连，m1和m2则挂在圆柱体的两侧，如图所示，设R=0.20m，r=0.10m，m=4kg，M=10kg，m1=m2=2kg，求柱体转动时的角加速度及两侧绳中的张力。m1gT1m1a1Rrm2gT2m2a2T1RT2rJa1R,a2rT211T1m1R22T2Jm2rT1226.13rad/s2T117.2NT220.8Nm2gm1g例16如图，滑轮质量为M，半径为R，物体质量m，弹簧屈强系数k，斜面倾角均为已知。开始时扶住物体m，使系统保持静止，弹簧无伸缩，然后放开。求：（1）物体下滑距离为x时的速度为多少？（2）下滑距离x为多大时，物体的速度为最大，最大速度为多少？（3）物体下滑的最大距离为多大？（设绳子与滑轮间无相对滑动）解：M01mv21I21kx2mgxsinR222m（1）vR1MR22kv2mgxsinkx2mM/2dvdvdxdvmgsinkxavdtdxdtdxmM/2（2）dv0xmmgsin,vmaxmgxsindxxxmkmM/2（3）vxxmax0xmax2mgsink例17如图，长为l，质量为m的匀质细棒的两端Al/2Ol/2B分别连着质量均为m的小球A和质量为2m的小m2m球B。整个系统绕过细棒的中点O的水平轴自水平位置以零初速自由下摆，求：8（1）系统摆到某一角位置时，细棒的角速度和角加速度；2）此时细棒对小球A、B的作用力。解：0mglsin2mglsin1J2（1）222TAnTAtJm(l)22m(l)21ml25ml2A221266gsin5lmgOdddd3gcosdtddtd5lTBnTBtl3l3gsin（2）aBtgcos，aBn221025B3gcos2mgcosTBt2maBt2m10TBn2mgsin2maBn2m3图112mggsin5TBt7mgcos5TBn16mgsin5TAt13mgcos同理：102TAnmgsin5例18水平面内有一静止的长为l，质量为m的细棒，可绕通过棒一端O点的铅直轴旋转。今有一质量为m/2、速率为v0的子弹在水平面内沿棒的垂直方向射击棒的中点，子弹穿出时速率减为v0/2。当棒转动后，设棒上各点单位长度受到的阻力正比于该点的速率（比例系数为k）。试求：（1）子弹穿击瞬时，棒的角速度0为多少？（2）当棒以角速度转动时，受到的阻力矩Mf为多少？（3）棒的角速度从0变为0/2时，经历的时间为多少？lml/2v0l/2m/292）例19如图，圆柱体A上绕着轻绳，绳子跨RRB过一定滑轮B与物体C相连。设A、B、CA的质量均为为m，圆柱体和定滑轮的半径均为R，系统从静止开始运动。求物体C下落h后的速度和加速度。（设圆柱体与接触面间、定滑轮与绳子间都无相对滑动）C解：mgT1maAT2'T2T1RT2RJRB1RT2RfRJ2fT1'T2fmaCaR1,aCR2,aaCR2,JmR2/2T1816ghCag，v2ah1515另解：mg图1010mgh1mv21J121J221mvC22222vR1,vCR2,vvCR2,J1mR22v16gh，av28g152h15例20如图，长为l质量为m的均匀杆，在光滑桌面上由竖直位置自然倒下，当杆与水平夹角为时，求：（1）质心的速度和杆的角速度；（2）地面对杆的支撑力。l解：（1）mgl1mvC21JC2mglsin2222lsin2vCdylcosdlcosdt2dt23g(1sin)23co2s)l(1vCcos3gl(1sin)13co2s（2）dd3gcos3sin26sin4dtdl(13cos2)2NlcosJC226sin4Nmg3sin2(13co2s)2lC11