液压流体力学 流体动力学基础 理想流体的运动微分方程式

((液压流体力学))南京工程学院夏庆章20130808第五章流体动力学基础 流体动力学概述 5.1理想流体的运动微分方程式 5.3理想流体的伯努利方程式 5.4实际流体总流的伯努利方程式 5.7伯努利方程的应用 5.8动量定理及其应用流体动力学概述 流体动力学是研究流体在外力作用下的运动规律即研究流体动力学物理量和运动学物理量之间的关系的科学。 流体动力学主要研究内容就是要建立流体运动的动量平衡定律、动量矩平衡定律和能量守恒定律（热力学第一定律）。5.1理想流体的运动微分方程式1、选取控制体：在所研究的运动流体中，任取一微小平行六面体，如图5-1所示。六面体边长分别为dx、dy、dz，平均密度为，顶点A处的压强为p。2、受力分析质量力：fxdxdydz,fydxdydz,fzdxdydz表面力：设A点压强为p时，则与其相邻的ABCD、ADEH、ABGH三个面上的压强均为p，而与这三个面相对应的EFGH、BCFG、CDEF面上的压强可由泰勒级数展开略去二阶以上无穷小量而得到，分别为则x、y、z轴向上的表面力分别为：X轴：Y轴：Z轴：则根据牛顿第二定律有： 化简整理得：欧拉运欧拉平动微分衡微分方程式方程式 其中加速度项可分解为时变加速度和位变加速度之 和： 欧拉运动微分方程式又可以表示为：5.3理想流体的伯努利方程式一、理想流体沿流线的伯努利方程式在流场中任取一流线，假设单位质量的流体质点某瞬时的速度为v=ui+vj+wk。不论运动是否定常，经过dt时间质点沿流线移动一段微小位移dl=dxi+dyj+dzk则单位质量理想流体沿这段微元流线移动时外力所作的功为： 在定常流动的条件下 令平均速度两边求导得： 所以（5-15）化简为 若流体不可压缩，即=c，积分上式得 在重力场中如果流体所受的质量力只有重力，则 fx=0，fy=0，fz=-g，U=-gz得到理想不可压缩流体重力作用下沿流线的伯努利方程式：式一 式二 式三 二、理想流体总流的伯努利方程 1、动能修正系数α 用平均速度表示的单位时间内通过某一过流断面的流体动 能为：单位时间内通过同一过流断面的真实流体动能为： 其中 所以2、缓变流动及其特性缓变流动：流线间夹角很小，流线曲率很小，即流线几乎是一些平行直线的流动。缓变过流断面：如果在流束的某一过流断面上的流动为缓变流动，则称此断面为缓变过流断面。缓变流动具有以下两条主要特性：（1）在缓变流动中，质量力只有重力。（2）在同一缓变过流断面上，任何点上的静压水头都相等。3、理想流体总流的伯努利方程式任取1-1、2-2两过流截面，并在其上取一微小流束，对应的面积分别为dA1和dA2，对应的速度分别为u1和u2，对应的压强分别为p1和p2，相对于基准面的位置高度分别为z1和z2。对于理想流体，每一微小流束上单位重量流体的能量关系式为 单位时间内流过总流过流断面1-1、2-2的流体所具 有的能量关系式为 式中：于是： 得理想流体总流的伯努利方程式：4、伯努利方程的物理意义理想流体伯努利方程的物理意义是：在满足一定的条件下，沿总流单位重量流体所具有的总机械能（位置势能、压强势能及动能）可以相互转化，但总和不变，它是机械能守恒定律在理想流体中的表现形式。5.4实际流体总流的伯努利方程式一、实际流体总流的伯努利方程式 二、实际流体总流的伯努利方程的适用条件 （1）不可压缩流体（=constant）； （2）恒定流动（）； （3）只在重力作用之下（质量力只有重力）； （4）沿流量保持不变(qv1=qv2=qv3)； （5）所选用的过流断面必须是缓变过流断面。一、几何意义§4－4伯努利方程的几何意义和能量意义结论：对于理想流体，定常运动，质量力只有重力作用时，沿流线有：几何高度、压力高度和流速高度之和为一常数。Z+Hp+Hv=Ｈ三个高度（水头）之和称为总水头。其端点的连线——总水头线为一条水平线。如下图所示。二、能量意义(物理意义)伯努利方程表明单位重量流体的总机械量沿流线守恒。对于理想、不可压缩流体，定常运动，只有重力作用时，单位重量流体的位能，压力能和动能之和在流线上为一常数。因为在定常运动中流线与轨迹重合，所以同一流体微团在运动过程中单位重量的位能、压力能和动能之和保持不变。讨论：1.实际流动中总水头线不是水平线，单位重量流体的总机械能沿流线也不守恒,为什么？2.对于管流，已经知道可作为一元流动处理。对于不可压缩流体，由连续性方程知道过流断面大处流速小，对于水平放置的管内不可压缩流体的定常流动，若已知流量、面积、能否知道该过流断面上的流体压力？3.伯努利方程的应用：实例一：小孔口出流（如船舶舱壁上破一洞）图示容器装有液体，在重力作用下从小孔流出。求流量。设小孔面积比容器中液面面积小很多，液面高度ｈ近似认为不变（近似为定常流），不计流体粘性，此时流体的质量力只有重力。满足伯氏方程来求解的前提。取小孔轴线为基准，整个容器看成一个大流管取容器液面为截面Ⅰ，出流流束截面收缩到最小处为截面Ⅱ，该处流动满足渐变流的条件。在此两截面上，各物理量分别为：截面Ⅰ：ｚ1＝ｈｐ1＝ｐ0Ｕ1＝０截面Ⅱ：ｚ2＝０ｐ2＝ｐ0Ｕ2＝Ｕ这样就可解出小孔理想出流的速度公式：实际上因为粘性对阻力的影响，出流速度小于此值，一般用一个流速系数来修正，则Ｕ实际＝Ｕ （16）由实验确定，=0.96～１流量Q=平均流速Ｕσc收缩断面：出流中，流体从四面八方向到孔口处汇集时，因惯性的作用，流线不可能突然转到水平方向，射出的流注因之必然出现颈缩现象。令μ＝ψ为流量系数μ由实验测定，如圆形孔口，值为0.61～0.63。实例二文德利管（一种流量计）应用伯努利方程的原理可制成各种测量流速或流量的仪器。文德利管就是其中的一种。Ⅰ和Ⅱ处的压力差由测压管读出来，为已知量。令Ｕ1和Ｕ2分别为Ⅰ和Ⅱ截面上的平均流速 取管轴为基准列伯努利方程:注意：这里没考虑流体粘性的影响，实际应用时按上式算得的Ｑ还应乘上修正流量的系数μ，它的值约为0.98。实例三汽化器汽化器原理如图,空气由活塞的抽吸作用从自由大气中吸入,细管将汽油自油箱引来。求:汽化器的真空度解：取主管轴为基准，整个汽化器作一个流管.取入口远前方为截面Ｉ最小截面处为截面Ⅱ截面Ⅰ：ｚ＝０，ｐ＝ｐ0，Ｕ≈０截面Ⅱ：ｚ＝０，ｐ待求，流线上Ａ，Ｂ，管Ⅰ（测压管）的口部平行于流线，可测Ａ点的静压ｐ，90°弯管Ⅱ迎向水流，使其口部垂直于流线。设流线近似为一组平行直线，则铅直方向上动水压力按静水压力分布，即ｐA＝γｈ′实例四（用于测流速）皮托管和联合测管Ｂ点:ｐB＝γ（ｈ′＋ｈ）管Ⅰ测得压力称动压力ｐA管Ⅱ测的压力称总压ｐB，又称总压管皮托管。在流线上列立伯氏方程，考虑到Ａ点ｚ＝０ｐ＝ｐAUA＝UB点ｚ＝０ｐ＝ｐBUB＝０测出总压ｐB和静压ｐA之差，可算出流速。在上述问题中ｐB－ｐA＝γ（ｈ′＋ｈ）－γｈ′＝γｈ读出皮托管与测压管的液面高度差h，可算出流速。实际应用上，常将测压管和皮托管结合在一起，形成“联合测管”，或称普朗特管这时UA＝U，UB＝０Ａ处感受到动压Ｂ处感受到总压公式（４-２５）仍能用。实际应用中的“联合测管”（普朗特管）若测量空气或其它液体的流速，用∪形管连接管Ⅰ、Ⅱ，仍用公式（４-２４）即：ｐB－ｐA：总压与动压之差PB－ｐA＝γ1ｈ∪形管中液面高度差。实例五虹吸管求虹吸管出口流速和最高点S处的压力列0-1两截面的伯努利方程列0-S两截面的伯努利方程虹吸管ｄ=150ｍｍ，Ｈ1=3.3ｍ，Ｈ2=1.5ｍ，z=6.8ｍ不计能量损失，求虹吸管中通过的流量及管道最高点Ｓ处的真空值。解：取ｏ′-ｏ′为基准，列断面ｏ-ｏ和２-２的伯氏方程：ｏ-ｏ和１-１断面列方程：5.7伯努利方程的应用一、比托管测速如图所示，中心为全压测管，静压测管包围在其周围。在驻点之后适当距离的外壁上沿圆周垂直于流向开几个小孔，作为静压管口。将两管的通道分别接在差压计的两端，差压计给出全压和静压的差，若差压计为U形差压计，则： 式中为被测液体密度，1为U形差压计内液体的密 度，h为U形管中液面的高度差。二、文丘里流量计三、孔板流量计为了测量管道中的流量，在管道中装置了叫做孔板流量计的仪器，这种测量流量的仪器包括一块有孔的薄板，安装在管道的法兰中，如图5-12所示。 四、射流泵装置射流泵又称引射器，它是由一个收缩的喷管和另一个具有细径的收缩扩散管及真空室所组成，如图5-13所示。自喷管射出的液流经收缩扩散管的细径处，流速急剧增大，结果使该处的压强小于大气压强而造成真空，如果在该处连一管道通至有液体的容器，则液体就能被吸入泵内，与射流液体一起流出。 本章小结 几个基本概念：缓变流动、缓变过流断面、动压、静压、全压。 重点：欧拉运动微分方程式、伯努利方程式推导计算及应用、动量定理推导、动量方程应用。 作业：5-1；5-2；5-6；5-10；5-11；5-13§４-５动量定理及动量矩定理一、动量定理工程中常常需流体和物体之间的相互作用力的合力或合力矩。这时应用动量定理较为合适与方便。为应用方便，需将动量定理转换成适合于控制体的形式（欧拉法）。控制体：相对于所选坐标系，在流场中形状、大小任意，固定不动的空间。控制面：控制体的边界（可以是流体，固体）。流体经过控制面流入、流出。通过控制面一般有流体质量、动量、能量交换，控制体内与控制体外的流体或固体存在作用力与反作用力。适合于控制体形式动量方程推导如下：体体积为τ，控制面积σ，t时刻：流体在σ内,dt后：流体移到σ′内,总动量变化率：常运动时，流体质点离开空定间区域Ⅱ,Ⅲ，该位置将被同样速度的另一质点所占据,即公共区域Ⅱ内动量不变，即两项积分可合并成在σ＝σ1＋σ2上的积分由动量定理，控制面σ内流体的动量变化率应等于作用于σ内流体上外力的总和，即（３）流体中的物体施加于流体上的作用力，这一项正是要求出的力。注意速度的含义和符号：Ｆx，Ｆy，Ｆｚ：物体作用在控制面内流体上的合力的３个分量，则流体作用在物体上的合力为他们反作用力。为了计算方便，控制面通常这样来选取：（１）边界面或流面。这些面上没有动量进出，因而动量的通量等于零；（２）速度及压力分布已知的面二、动量矩定理理想流体作定常运动时的动量矩定理：即绕某一点或某一轴的动量矩变化率等于外力对同一点或轴的力矩之和：实例六流体对弯管管壁的压力取管壁和截面σ1、σ2组成的封闭面为控制面对此控制面内流体应用动量定理实例七射流对倾斜平板的冲击力　厚为ｂo的二元流束以ｖ向平板AB冲击，流速与平板的夹角为α，求流体对平板的作用力。　　沿平板切向和法向取坐标。整个射流暴露大气中，故流体中压力处处为大气压力ｐ０忽略重力的影响，由伯氏方程可知：V1=V２=V解：　　流出与流入控制面的动量之差等于作用于控制面内流体之外力。平板给流体的反力是外力之一。列立τ方向和ｎ方向的动量定理，有：由连续性方程有b0＝b1+b2联立有:可以看出,当α为锐角时ｂ1＞ｂ2，因在拐弯曲率小的那边，流体能顺地流过去，故有更多的流体拥向这边，使得曲率小的这边流束厚。式中：Ｒτ为流体对平板作用的切向分力(为零)。总冲击力Ｒn沿平板法向。ｂ1、ｂ2:流束冲击平板后分为两股流束的厚度对０应用动量矩定理来求Ｐn,作用点离开０点的距离ｅ。规定反时针为正,反之为负。ｂ0处进流通过０点，动量矩为零。式中的负号表示Ｐn作用点位于τ轴的负向上。实例八气垫船基本原理顶部进气从底部向周围喷出。喷出宽度为ｂ0速度ｖ0与底部水平线成θ的夹角，然后转为水平向两侧喷出。船自重Ｗ，底面积Ｓ。试求:底部间隙ｈ和艇重量Ｗ之间的关系。设艇底压力为ｐ，以右边喷柱(单位厚度)为讨论对象，取控制体如图，沿水平方向列动量方程:解：艇自重全部由气垫所承担，即Ｗ＝ｐＳｘ方向受气垫压力为ｐｈ(相对压力)将Ｗ＝ｐＳ代入式（ａ）得:为喷出的流体动量，由风扇的功率所决定。W越大则间隙ｈ越小,Ｓ增大则ｈ增大。故艇的形状较扁平以增大S.实例九滑行艇的基本原理设滑行艇ＡＢ与水平面夹角为α，水速ｖ0从右向左流动。水原来深度为ｈ0，流经滑行艇后分为两部分：一部分宽度为δ，以速度ｖ2沿艇首喷出，试求:作用在滑行艇上的力。另一部分水深为ｈ，以速度ｖ1向艇尾流去。自由表面上处处为大气压力ｐ0（艇底除外）由伯努利方程得：ｖ1＝ｖ2＝ｖ0艇体反力在ｘ方向分量为－Ｐsinα由连续方程知：ｈ0＝ｈ＋δＰ:艇对流体的作用力。负值为其方向与图中方向相反。图示的Ｐ正好就是流体对滑行艇的作用力。例4.1洒水器如图4－17，喷嘴ａ，ｂ的流量均为Ｑ＝2.8×10-4ｍ3／s，喷嘴的截面积均为1cm2，略去损失，试确定洒水器的转速ω。例4.2阻力测定的试验中，直径为ｄ的圆柱体浸没于二维不可压缩定常流场中，在控制面边界上测量速度和压力。定义阻力系数：流出控制面的动量为：１-２并非流线，有流体从１-２面上流出例4.3船上有两股射流以此带动叶轮转动来充当动力推船前进。设进水道与船运动方向垂直，进水截面均为0.02ｍ2，水通过船上的喷嘴（截面积为0.04m2）沿船纵向以相对速度Ｖ向后射出。若该船航行速度v=6m/s，所受阻力为3.924ｋＮ。求：射流的流量和射流的推进效率。解：射流截面积Ａ＝0.04ｍ2取图示的虚线为控制面，根据动量定理Ｆ＝ρＡＶ（Ｖ－v）即3924＝1000×0.04×Ｖ（Ｖ－６）得：Ｖ＝12.9ｍ/s，Ｑ＝ＡＶ＝0.516m3/s单位重量流体的能量为:V2/2g射流所作的功为Ｆv＝ρＡＶ（Ｖ－v）v