计算方法练习题与答案

WORD格式练习题与答案练习题一练习题二练习题三练习题四练习题五练习题六练习题七练习题八练习题答案练习题一一、是非题1.x*–12.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限11042。()2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。()3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。()x214.用2近似示cosx产生舍入误差。()专业资料整理WORD格式5.3.14和3.142作为的近似值有效数字位数相同。()二、填空题349y12231.为了使计算x1x1x1的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为；2.x*–0.003457是x舍入得到的近似值，它有位有效数字，误差限为，相对误差限为；3.误差的来源是；4.截断误差为；5.设计算法应遵循的原则是。三、选择题x*1．–0.026900作为x的近似值，它的有效数字位数为()。(A)7；(B)3；(C)不能确定(D)5.2．舍入误差是()产生的误差。(A)只取有限位数(B)模型准确值与用数值方法求得的准确值(C)观察与测量(D)数学模型准确值与实际值3．用1+x近似表示ex所产生的误差是()误差。(A).模型(B).观测(C).截断(D).舍入1．用*2表示自由落体运动距离与时间的关系式(g为重力加速度)，s是在t24s=gt时间t内的实际距离，则ss*是（）误差。t(A).舍入(B).观测(C).模型(D).截断5．1.41300作为2的近似值，有()位有效数字。(A)3；(B)4；(C)5；(D)6。四、计算题专业资料整理WORD格式221．3.142，3.141，7分别作为的近似值，各有几位有效数字？2．设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？3．利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：11x,|x|11dt|x|1x1(1)12x1x，(2)x1t2x|x|1ln(2e1,，(4)x1x)x1(3)14．真空中自由落体运动距离s与时间t的关系式是s=2gt2，g为重力加速度。现设g是精确的，而对t有0.1秒的测量误差，证明：当t增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。5*.采用迭代法计算7，取x2017x1(x)kk2xkk=0,1,⋯,若xk是7的具有n位有效数字的近似值，求证xk17的具有2n位有效是数字的近似值。练习题二一、是非题1.单点割线法的收敛阶比双点割线法低。()2.牛顿法是二阶收敛的。()x33.求方程x10在区间[1,2]内根的迭代法总是收敛的。()4.迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。()专业资料整理WORD格式5.求非线性方程f(x)=0根的方法均是单步法。()二、填空题1.1.用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为；1.2.设f(x)可微,求方程xf(x)的牛顿迭代格式是；x32.3.用二分法求方程x10在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为，要求准确到103，则至少应二分次；*25)xk1(xk)x3.4.(x)x(x，要使迭代格式局部收敛到5，则的取值范围是；x30根的单点割线法是4.5.求方程x4，其收敛阶为；双点割线法是，其收敛阶为。三、计算题1.用二分法求方程x2x10的正根，使误差小于0.05。3x210在x01.5附近的一个根，将方程改写为下列等价形2.求方程x式，并建立相应迭代公式。11x1xk112(1)x2，迭代公式xk；132xk11x23k(2)x1x，迭代公式；121xk1x(3)x1，迭代公式x1k；试每种迭代公式的收敛性，并选取收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似值。3.用牛顿切线法求5的近似值。取x02,计算三次，保留三位小数。4.用割线法求方程x33x10的在x01.5附近的一个根，精确到小数点后第二位。专业资料整理WORD格式四*、证明题已知方程f(x)0，试导出求根公式2f(x)f(x)kkxk1xk2[f(x)]2f(x)f(x)kkk并证明：当x*是方程f(x)0的单根时，公式是3阶收敛的。练习题四一、是非题311A253．矩阵125具有严格对角优势。()1311A1532．125是弱对角优势矩阵。()3．高斯—塞德尔迭代法一定比雅可比迭代法收敛快。()||M||1x(k1)(k)f收敛的必要条件。()4．是迭代格式Mx*5.逐次超松弛迭代法是高斯—赛德尔迭代法的一种加速方法。()3x5x112x2x0121.解方程组的雅可比迭代格式（分量形式）为(B)1，该迭代矩阵的谱半径；3x5x1122.解方程组x12x0的高斯—赛德尔迭代格式（分量形式）2，迭代矩阵B2为，该迭代矩阵的谱半径(B2)；3.幂法的迭代公式为；4*．QR算法是用来求矩阵的全部特征值的一种方法。5*．雅可比方法是用来求矩阵的全部特征值及特征向量的一种变换方法。三、选择题专业资料整理WORD格式1.解方程组Axbx(k1)f收敛的充要条件是()的迭代格式(k)Mx||A||1||M||1（A）；（B）；（C）(A)1（D）(M)1。；2．幂法的收敛速度与特征值的分布（）（A）有关；（B）无关；（C）不一定。3．幂法是用来求矩阵（）特征值及特征向量的迭代法。（A）按模最大；（B）按模最小；（C）任意一个；（D）所有的。4．解代数线性方程组的松弛法收敛的必要条件是（）（A）01；（B）01；（C）02（D）02。；5．反幂法是用来求矩阵（）特征值及特征向量的迭代法。（A）按模最大；（B）按模最小；（C）任意一个；（D）所有的。四、计算题1．用简单迭代法（雅可比迭代法）解线性方程组3x1x35x13x2x31xx4x8123x(0)(0,0,0)T取，列表计算三次，保留三位小数。2．用高斯—赛德尔迭代法解线性方程组3xx513x3xx1123xx4x8123(0)T取x(0,0,0)，列表计算三次，保留三位小数。400A1213．用幂法求矩阵012按模最大特征值及相应特征向量，列表x(0)(1,1,1)T，保留两位小数。计算三次，取4*．取1.46，用松弛法解线性方程组专业资料整理WORD格式2xx112x2xx0123x2xx1234x4x034(0)xT取(0,0,0)，列表计算三次，保留三位小数。410A1215*．用雅可比方法求实对称矩阵011的特征值及相应特征向量（按四位小数计算，0.1）。210A1316*．用QR算法求矩阵014的全部特征值。练习题五一、是非题1.在求插值多项式时，插值多项式的次数越高，误差越小。()(xx)(xx)122.(xx)(xx2)表示节点x0处的二次插值基函数。()0103.牛顿插值多项式的优点是：在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。()x0,x1,,xn4.在拉格朗日插值中，插值节点必须按顺序排列。()x0f(x)5.利用等距节点的牛顿插值公式计算附近的，用后插公式。()二、填空题1.已知n3，则三次插值基函数l2(x)=_____________________。nl(x)______ili(x)i02.n+1个节点的拉格朗日插值基函数的和。0,1,2,f(x)4，取节点xkk(k⋯），用线性插值求f(2.1)3.已知x的近似f(2.1)P1(2.1)________________值，其计算公式。4.______________插值不仅要求插值函数和被插值函数在节点取已知函数值而专业资料整理WORD格式且取已知导数值。5.已知f(3,f[1,0]1)2,f(0)1,f(2)则__________________，f[0,2]f[1,0,2]_____________________，，牛顿二次插值多项式N(x)。2三、选择题xx1x0x1表示线性插值()点的基函数.．函数1(A)x0；(B)y0；x1(D)y1。(C)．过点(1,1),(0,3),(2,4)的二次插值多项式p(x)中x2的系数为().22(A)–0.5(B)0.5(C)2(D)-23．给定互异的节点x0,x1,,xn,p(x)是以它们为插值节点的插值多项式，则p(x)).是一个((A).n+1次多项式(B).n次多项式(C).次数小于n的多项式(D).次数不超过n的多项式9()395067,差商21004．fxxxxf[1,2,2,,2]()(A)0(B)-3(C)50(D)-7f(x),它的n次插值多项式p(x)为5．对于次数不超过n的多项式().(A)任意n次多项式(B)任意不超过n次的多项式(C)f(x)本身(D)无法确定四、计算题f(1)2,f(1)3,f(2)4,f(x)N2(x)1.已知求的牛顿插值多项式，及f(1.5)的近似值，取三位小数。2.证明：若f(x)二阶连续可微，则对于f(x)的以x0,x1为节点的一次插值多项P1(x)式，插值误差(xx)210f(x)P(x)f(x)1max8xxx01f(x)x41，利用拉格朗日插值余项求以3.设2x-1，0，1，2为插值节点的三次插值多项式。专业资料整理WORD格式*yf(x)f(1)y0,f(1)m04．已知函数的数据f(2)y,，用基函数法求f1(x)的二次插值多项式H2(x)使H2(1)y,H(2)y,H(1)m02120.5*．要给出f(x)ex在区间[-2,2]上的等距节点函数表，用分段三次Hermite插值求ex的近似值，要使误差不超过108，问函数表的步长h应为多少？x114i6.已知的f(x)函数表f(x)245i(1)求f(x)的二次插值多项式；(2)用反插值求x，使f(x)=0。练习题六一、判断题1．在等距节点的情况下，才能计算函数的差分。()2．向前差分与向后差分不存在等量关系。()3．已知观察值(xi,yi)(i0,1,2,⋯,n)，用最小二乘法求得的拟合多项式其次数为n次。()4．利用最小二乘原理对一组数据找出合适的数学公式来拟合，首先应确定公式的类型。()5．数据拟合的步骤首先是建立正规方程组。()二、填空题2f21．已知某函数的二阶向前差分1为0.15,则其二阶向后差分f为3_______。2．利用牛顿前插公式计算某点的近似值，应首先确定公式中的t，其计算公式为t=____________。3．已知函数y1个节点xi处的函数值yif(x)在[a,b]上的n，则其三次样条插值函数s(x)满足的条件为________________________。(x,y)1,2,iii．已知⋯,30)，其线性拟合的正规方程组为_________。4(xy．用形如axb的非线性拟合数据(x,y)做变换_____________后为线性ii5拟合y=abx。三．选择题1.()是利用函数的值求自变量的值。专业资料整理WORD格式(A)三次样条插值(B)反插值(C)分段插值(D)爱尔米特插值yii*,n,最小二乘法原理要求下列哪个为最小()2．记y,i1,2,innn2maxiiii(A)1in(B)i1(C)i1(D)i13．当线性方程组满足()时称为超定方程组。(A)(A)未知数的个数等于方程的个数(B)(B)未知数的个数大于方程的个数(C)(C)未知数的个数小于方程的个数(D)(D)未知数的个数与方程的个数大小任意4．x*是超定方程组Axb的最小二乘解的充分必要条件是().x*是ATAxATb的解x*是AATxATb的解(A)(B)x*是ATxT(C)b的解(D)三者都不对1dn2nP(x)n[(x1)]nn．勒让德多项式2n!dx是()5(A)小于n次的多项式(B)等于n次的多项式(C)大于n次的多项式(D)小于等于n次的多项式四、计算题yf(x)的函数表如下,解答下列问题1．已知函数xif(x)i(1)列出相应的差分表；(2)分别写出四次牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式；(3)用三次插值多项式求f(0.04)和f(0.32)的近似值。f(1.3)14.8,f(1.6)17.4,f(2.4)18.5,f(3.1)20.02．已知，按最小二乘原理求一次多项式拟合上述数据。3x2x2124x5x3123．求超定方程组2xx11的最小二乘解。12专业资料整理WORD格式x21012iyyyyyyi012344．已知观察值f(x)的二次拟合多项式p(x),求f(0)的近似值。利用25．用形如yalnxb的函数拟合下列数据xif(x)i练习题七一、填空题f(1)1.1f(2)1.2f(3)1.51.已知，，，则三点式高斯求积公式为33f(x)dxf(x)dx1()，用抛物线求积公式求得1（）。2.已知f03f0.54f13，则用三点式可求得，，f(0)（），f(0.5)（f(1)（f(x)），），且（）。b3.复合梯形求积公式为af(x)dxf(x)C2[a,b]（），当时,Rn(f)其余项()。4.数值积分代数精确度的定义是（）。nbf(x)dxAf(x)kk5.求积公式ak0的代数精度以（）求积公式为最高，具有（）次代数精度，其节点称为（）点。二、选择题1.求积公式研究的误差为（）。A.观测误差B.模型误差C.舍入误差D.截断误差ba已知在[a,b]上，f2f(x)C2[a,b]h2.(x)，且，步长n，则复合梯形求积公式的误差限为（）。(ba)3(ba)3A.6B.6ba2h3hC.6D.63.梯形公式、抛物线公式及n阶NC求积公式的代数精度分别至少为（）。A.1,2,nB.2,3,nC.1,3,nD.1,4,n+1hx1x04.数值微分的二点公式中，其误差限为（），其中xx10。专业资料整理WORD格式hO(h2)A．B.2f()h()hmaxf(x)fC.2D.x0xx1225.f(x)C4[0,2]f(4)1，0f(x)dx有两位整数，用复已知，在[0，2]内(x)合抛物线求积公式计算要保证有5位有效数字，步长最多应为（）。A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4三、判断题nbf(x)dxAf(x)kka1、高斯求积公式k1的代数精度为2n+1。()2、梯形求积公式和抛物线求积公式都是高精度方法。()3、在使用插值型求积公式时，勿须进行误差分析。()4、n越大，NC求积公式的代数精确度就越高，相应地求积公式的稳定性也越好。()5、具有n+1各节点的插值型求积公式至少具有n+1次代数精度。()四、计算题1dx1、分别用梯形公式和抛物线公式计算积分0x，[0，1]八等分，并估计41误差。22、n=4，用复合梯形公式求0(x32)dx的近似值，取四位小数，并估计误差。1.514x103、用复合抛物线公式计算0edx，要使截断误差不超过2，应至少将区间[0，1.5]多少等份？23A2f(2)A,A,A4、设有求积公式0f(x)dxAf(0)2Af(1)，求012使代数01精度尽量高。5、利用二次插值推导出数值微分的三点公式，并由此计算f(x)(1x)2在x1.0,1.1和1.2处的导数值。练习题八一、填空题yyx1，步长h0.11.用Euler方法解常微分方程初值问题y(0)1，计专业资料整理WORD格式yn1y算格式为=（），1=（）。专业资料整理WORD格式yf(x,y)2.求解常微分方程初值问题y(x)y改进的欧拉公式为00（）3.常微分方程初值问题的数值解法一般分为（）法和（）法。4.求解常微分方程初值问题的Adams公式是（）步法。5.求解常微分方程初值问题的四阶R-K方法的局部截断误差为（）。二、选择题1、已知一个求解常微分方程的差分公式的局部截断误差为O(h2)，则该方法的阶是（）。A．1B．2C．0D．32、求解一阶常微分方程初值问题的梯形公式为（）步法。A．多B．2C．3D．13、梯形公式是求解常微分方程的（）阶方法。A．2B．4C．3D．54、四阶R-K方法每步要计算（）次f的值。A．4B．5C．2D．35、改进的Euler公式的局部截断误差为（）。O(h2)O(h3)C.O(h4)D.O(h5)A.B.三、判断题1、R-K法是一类低精度的方法。()2、求解微分方程初值问题的二阶R-K方法是多步法。()3、梯形方法是一种隐式的多步法。()4、求解微分方程初值问题的向后Euler法是隐式方法。()5、求解常微分方程初值问题的预估—校正公式的局部截断误差为O(h2)。()四、计算题1、用Euler法求解y2xyy(0)1（0x1）专业资料整理WORD格式h0.2，保留两位小数。2、用Euler法求xy(x)t2dte0在x0.5,1.0,1.5,2.0处的近似值，保留5位小数。3、用改进的Euler法（梯形公式）解初值问题y83yy(1)2（1x2）取步长h0.2，至少保留5位小数。4、用预估—校正公式求初值问题yxy2y(0)1（0x1）的数值解，取步长h0.2，以四位有效数字计算。五*、证明题对常微分方程初值问题yy0y(0)1n2hyn证明梯形公式求得的近似解为2h，并进一步证明当步长h0ynex时，。计算方法练习册答案习题一一、1．；2．；3．；4．；5．．y12(3(49t)t)t,t14,1106,1103二、1．x1；2．26；3．略；4．略；5．略．三、1．C；2．A；3．C；4．C；5．A．2x2四、1．4位，3位，3位；2．0.333%；3．（1）13x2x2，（2）专业资料整理WORD格式11213arctan1x(x1)，（3）x2!x3!x，（4）ln(x21x)；4．略；5．略．习题二一、1．；2．；3．；4．．xf(x)nnbaxn1x[1,1],10n二、1．2n；2．1f(xn)；3．2；x3x4nn5xn1x(xx),1,nn0(,0)33．5；5．xxxxnn004x3x4nnxn1xn(xx),1.618nn1x3xx3xn1．nnn1三、1．1.59375；2．（1）收敛，（2）收敛，（3）发散，（2）收敛速度快，x*1.467；3．2.236；4．1.88．四、略．习题三一、1．；2．；3．；4．；5．．二、1．2,68,564,；2．7,；1002102001313ALU1001,L0222224220100033333．；11002,221004．7；5．33．3．x=（1,1,1,1）T；4．x=（2,1,三、1．B；2．B；3．B；4．B；5．D．四、1．x=（2,-2,1）T；2．x=（1,1,1）T；-1）T．习题四一、1．；2．；3．；4．；5．．专业资料整理WORD格式x5x112((kk1))533,x(k1)1(k)62x1二、1．2；(k1)5(k)15xx0125333,,5(k1)1(k1)06x2x12．26；yAxkk1mmax(y)kkx1ykkmk3．；4．任意实的非奇异；5．实对称．三、1．D；2．A；3．A；4．C；5．B．四、1．x=（2.444,0.333,-2.531）T；2．x=（2.399,0.401,-2.499）T；3．14,v(1,0.47,0.14)4．略；5．略；6．略．1习题五一、1．；2．；3．；4．；5．．(xx)(xx)(xx)013(x2x)(xx)(xx3)；2．1；3．22.5；二、1．02121,1,2,2(x1)2(x1)xHermite．；5．33．4三、1．A；2．A；3．D；4．A；5．C．N(x)21(x1)5(x1)(x1)5215,0.1252xx四、1．2222；2．略；2x3x21H2(x)y(x22x)y(x22x1)m(x23x2)3．4．010；823x2371x5．0.03；6．(1)1515,(2)21．习题六一、1．；2．；3．；4．；5．．xx0二、1．0.15．h；．略；专业资料整理WORD格式；23专业资料整理WORD格式303030xyiii1ai103303002a111xxxyy,xiiiii1i1i1；5．yx．．4三、1．B；2．C；3．C；4．A；5．B．四、1．略；2．12.362.53x；3．x=（1.6530,0.6612）T12yyy2y)(2.93748100134；5．y0.53084lnx．．4习题七5f(258f(2)5f(25),2.467)4,0,8一、1．95995；2．4,；n13h(f(x)f(x)2f(x)),(ba)f()0ni3．2i112n2；4．略；5．高斯（Gauss），2n1，高斯（Gauss）．二、1．D；2．C；3．C；4．D；5．D．三、1．；2．；3．；4．；5．．四、1．T80.22316,R0.40691104,S40.18595,R0.3179107；A1A2A1,,T8.25,40132．R0.5；3．8；4．339；0.247,0.217,0.1875．．习题八0.9y0.1x0.1,1yn1ynh(f(x,y)f(x,y))一、1．nn；2．nnn1n12；3．单步，多步；4．多；5．0(h5)．二、1．A；2．D；3．A；4．A；5．B．三、1．；2．；3．；4．；5．四、1．．n012345xn00.20.40.60.81.0yn11.21.521.982.623.462．n01234xn00.51.01.52.0yn00.50.889401.073341.12604专业资料整理WORD格式3．n012345专业资料整理WORD格式xn11.21.41.61.82.0yn22.307692.473372.562582.610622.636494．n012345xn00.20.40.60.81.0yn11.021.0861.3111.5982.205五、略．专业资料整理