高等数学竞赛汇总题库不定积分与定积分

,.高等数学竞赛不定积分不定积分的概念与性质1、设f(sin2x)cos2xtan2x(0x1)，求f(x)2、设f(lnx)1x，求f(x)3、已知f(x)x[f(x)1]，试求函数f(x)利用基本积分法求不定积分一、利用凑微分法求不定积分1、求下列不定分;cos2x1dxsinxcosx(1)dx（2）dx（3）（4）dx1sinxcosxx22x5sin2x2cos2x(cosxsinx)52、求下列不定积分3（1）(x2x)ex(x23x1)exdx（2）(xlnx)2(lnx1)dx1arctanxcos2xsinxlnx2（3）dx（4）dx（5）dx1x2cosx(1cosxesinx)xlnx(1xln2x)二、利用第二换元积分法求不定积分1、三角代换求下列积分xdxx3dxx29dx（1）（2）（3）dx（4）(x21)1x23x211x2(1x2)212、倒代换（即令x）求下列积分tdxdx（1）(a0)（2）x2a2x2x(x72)1dt3、指数代换（令axt,则dx）lnat2xdxdx（1）（2）12x4xxxx1e2e3e64、利用分部积分法求不定积分（1）(x21)e2xdx（2）(x32x5)cos2xdx（3）x2arccosxdx（4）x3(lnx)2dx（5）excosxdx,.5、建立下列不定积分的递推公式1（1）Idx（2）Itannxdxn(x2a2)nn有理函数的积分1、求下列不定积分x2dxdx（1）dx（2）（3）x24x3x(x1)2(12x)(1x2)2、求下列不定积分x11dxdxx2n12x31（1）（2）dx（3）dx（4）x83xx(2x10)xn1(x1)100简单无理函数积分1x(x1)1、dx2、dxx3xxx1三角有理式积分1sinx1、1sinxdx2、dx3、dxsin3x1sinxxsinx4、dx5、sin4xcos2xcos3xdx6、sin5xcos6xdx1cosx含有反三角函数的不定积分x2arccosx1、arctanxdx2、dx1x2(1x2)3抽象函数的不定积分f(x)f2(x)f(x)f(lnx)1、dx2、dxf(x)[f(x)]3xf(lnx)分段函数的不定积分1,x0;例如：设f(x)x1,0x1;求f(x)dx.2x,x1,.高等数学竞赛定积分比较定积分大小221、比较定积分lnxdx和(lnx)2dx的大小11arctanx2、比较定积分1ln(1x)dx和1dx的大小001x利用积分估值定理解题一、估值问题51、试估计定积分4(1sin2x)dx的值42、试估计定积分3xarctanxdx的值33二、不等式证明11、证明不等式：1ex2dxe0182、证明不等式：21x4dx13三、求极限1nnxx1xe1、lim2dx2、limdxn01x2n01ex关于积分上限函数及牛顿-莱布尼兹公式问题1、求下列导数：3dt（1）F(x)x；x21t4yx2sintdy（2）由方程et2dtdt1确定的隐函数yf(x)的导数00tdx22、设f(x)在[0,)上连续且满足x(1x)f(t)dtx，求f(2)01618x1xx3、设f(x)为关于x的连续函数，且满足方程f(t)dtt2f(t)dtC，求0x89f(x)及常数C.4、求下列极限：x2xtetsintdt(1cost2)dt（1）lim0（2）lim06x5x0xex0x2,.5、设f(x)是连续函数，且f(x)x21f(t)dt，求f(x).06、已知f(x)8f(x)dx8且f(0)0，求2f(x)dx及f(x)00定积分的计算一、分段函数的定积分lkx,0x、设f(x)2;求(x)xf(t)dt1lc,xl,0222、求定积分max(x,x2)dx2二、被积函数带有绝对值符号的积分1、求下列定积分：（1）elnxdx（2）1ttxdt10e2、求定积分2cosxcos3xdx的值2三、对称区间上的积分31sinx1、设f(x)在[a,a]上连续，计算x(x2)dx11cosx2、设f(x)在(,)上连续，且对任何x,y有f(xy)f(x)f(y)，计算1(x21)f(x)dx1sin2x3、计算积分I4dxx1e44、设f(x),g(x)在区间[a,a](a0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)f(x)A（A为常数）.（1）证明：af(x)g(x)dxAag(x)dxa0(2)利用（1）的结论计算定积分2sinxarctanexdx2四、换元积分法1、求下列定积分：,.11010arcsinxln2sinxcosx（1）2dx（2）1e2xdx（3）2dx1x(1x)004sinxcosx4五、分部积分sinx1、设f(x)有一个原函数为，求xf(x)dxx2x2、3arcsinxdx01xln(1x)3、1dx0(2x)2积分等式的证明一、换元法（适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件）1、若函数f(x)连续，证明：a1a2（1）x3f(x2)dxxf(x)dx020（2）bf(x)dx(ba)1f[a(ba)x]dxa01111（3）dxxdxx1x211x2xsin3x2、设f(x)连续，求证xf(sinx)dxf(sinx)dx，并计算dx02001cos2x3、设f(x)连续，且关于xT对称，aTb，z证明：bf(x)dx2bf(x)dx2Tbf(x)dxaTa（提示：f(x)关于T对称，即f(Tx)f(Tx)）二、分部积分法（适用于被积函数中含有f(x)或变上限积分的命题）例：设f(x)连续，F(x)xf(t)f(2at)dt，证明：0F(2a)2F(a)f2(a)f(0)f(2a)三、构造辅助函数法（适用于证明在积分限中至少存在一点或x使等式成立的命题）0解题思路：（1）将或x改成x，移项使等式一端为零，则另一端即为所作的辅助函数F(x)0或F(x)。,.（2）验证F(x)满足介值定理或微分中值定理的条件。（3）由介值定理或微分中值定理，即可证得命题。1、设f(x),g(x)在[a,b]上连续，证明：至少存在一点(a,b)，使得：f()bg(x)dxg()f(x)dxab12、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)a,f(x)dx(b2a2).求证：在a2(a,b)内至少存在一点使f()f()1四、积分不等式的证明常用的证明积分不等式的定理有：定积分的比较定理，估值定理，函数的单调性，积分与微分中值定理。1、设f(x)在[a,b]上连续，且严格递增，证明：(ab)bf(x)dx2bxf(x)dxaa2、设f(x)在[0,)上连续且单调减少，0ab，求证：abf(x)dxbaf(x)dx003、设f(x)在[a,b]上可导，且f(x)M,f(a)0.证明：bMf(x)dx(ba)2a2广义积分1、求下列广义积分dx（1）xex2dx（2）0x24x91dx（3）edx（4）21x1(lnx)20(1x)2dx2、证明：无穷积分(p0)当p1时收敛，当0p1时发散.1xpdx3、当p0时，1是以x0为瑕点的瑕积分，证明它在0p1时收敛，在p1时0xp发散.,.高等数学竞赛导数与微分练习利用导数定义解题1(x2)2sin,x2;1、设函数g(x)x2又f(t)在t0处可导，求复合函数0,x2.yf(g(x))在x2处的导数。22、已知f(x)在x处可导，求limx[f(x)f(x)]000xx2x3,x1,3、设f(x)3求f(x)在点x1处的导数f(1)x2x1,1f(a)n4、设函数f(x)在xa处可导，且f(a)0,试求lim[]nnf(a)12f(ex2)1f(1sin2x)5、设f(1)0,f(1)a,求极限limx0lncosx6、设f(x)在R上有定义，且f(0)1,又f(xy)f(x)eyf(y)ex，求f(x)导数在几何上的应用1、设函数yf(x)由方程e2xycos(xy)e1确定，求曲线yf(x)在(0,1)处的法线方程2、已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x0的某个领域内有关系式f(1sinx)3f(1sinx)8x(x),其中(x)是当x0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x1处可导，求曲线yf(x)在点(6,f(6))处的切线方程.利用导数公式及求导法则求导x1、已知y()x，求y1x12、若f(t)limt(1)2tx，求f(t)xx2x11dy3、若yf(),f(x)lnx3,求x1dx,.dy4、设函数yy(x)由方程ln(x2y)x3ysinx确定。求dxx0xarctantdy5、设函数yy(x)由所确定，求2yty2et5dxd2y6、设函数yf(xy)，其中f具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求dx2求高阶导数常用方法：（1）将函数变形。利用已知函数的n阶导数公式；（2）利用莱布尼兹公式求某些积的n阶导数。11、设函数f(x)，求f(n)(0)(12x)(1x)2、设函数yln(x23x2)，求y(50)3、设函数f(x)arctanx,求f(n)(0)4、设函数yx2e2x，求y(20)5、设函数yexsinx可导、连续与极限存在的关系g(x)ex,x0;1、设f(x)x其中g(x)具有二阶连续导数，且0x0.g(0)1,g(0)1.求f(x),并讨论f(x),在(,)内的连续性。1xsin,x0;2、设f(x)x其中0,讨论在什么条件下f(x)在x0处连续。0x0.