九年级数学上册平行线分线段成比例同步练习

图19—K—9图19—K—922.1第4课时平行线分线段成比例一、选择题1.如图19—K—1,已知直线a〃b〃c,直线m交直线a,b,c于点A,B,C,直线n交AB1DE直线a,b,c于点D,E,F,若bc=2,则臣的值为（）1a・31B.22C・3D.12.[2017•合肥市53中模拟]=4,则EC的长为（）A.1B.2C.3D.图19—K—1如图19—K—2，在△ABC中，DE〃BC,AD=6,DB=3,AE图19—K—2如图19—K—3,l〃l〃l,直线AC与DF交于点0,且123）3.[2018•合肥市50中期中]l3分别交于点A,B,C和点D,E,F,则下列比例式不正确的是（AB=DEBc=ef与l1,l2,A.ABDEB一=—B.BOE0C.0B=OEOc=OF0D0AD—=—D.OFAC图19—K—3[2016•安庆市16中期中]如图19—K—4,在ABCD中，AC与BD交于点0,E为0D的中点，连接AE并延长交DC于点F,贝yEF：AE等于（）A.1：4B.1：3C.2：3D.1：2图19—K—4[2017•哈尔滨]如图19—K—5，在△ABC中，D,E分别为AB,AC边上的点，DE〃BC,点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G,则下列结论中一定正确的是（）AD_AEAAB_ECBDCEB=B.ADAEAGAEB.GFBDAGACD.AFEC图19—K—5[2017•恩施州]如图19—K—6,在^ABC中，DE〃BC,ZADE_ZEFC,AD:BD_5：3,CF_6，则DE的长为（）A.6B.8C.10D.12）8.[2017•长春]如图19—K—8,点A,B,C和点D,E,F.若AB:BC_1图19—K—8图19—K—67.[2017•芜湖市29中模拟]如图19—K—7,ABCD中，E,F分别是AD,AB的中点,EF交AC于点G,那么AG：GC的值为（A.1：2B.1：3C.1：4、填空题直线a〃b//c，直线、-与这三条平行线分别交于：2,DE_3,则DF的长为.如图19—K—9,BD/AC,AB与CD相交于点0,器_|,如果OB_4,那么AB_图19—K—13图19—K—13如图19—K—10,AB〃CD,B0：C0=l：4,E,F分别是OC,OD的中点，则0F：OA图19－K－10AG如图19—K—ll所示，人。是4ABC的中线，若AE=EF=FC,BE交AD于点G,则亦=BD图19—K—11三、解答题求AB的长.12.13.[2018•肥东县模拟]如图19—K—13，在△ABC中，DG〃EC,EG〃BC.求证：AE2=AB・AD.AE114.[2018•合肥市瑶海区期中]如图19—K—14,。是4ABC的边BC的中点，且亦二彳已知AG〃DE,分别求出DGmAF”/士BD和fc的值•15阅读理解题请阅读下面的材料，并回答所提出的问题.三角形内角平分线性质定理三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.图19—K—15已知：如图19—K—15,AABC中，AD是角平分线.求证：BD_ABDC=AC证明：如图19—K—16,过点C作CE〃DA，交BA的延长线于点E.•.•CE〃DA,图19—K—16AZ2_Z3,Z1_ZE.又TAD平分ZBAC,AZ1_Z2,AZ3_ZE,••・AC_AE.•.•CE〃DA,BDAB・*DC_AE，BDAB又•••ac=ae,・・・dc=ac.上述证明过程中，用到了哪些定理？(写出两个定理即可)在上述证明过程中,主要用到了下列三种数学思想的哪一种？①数形结合思想；②转化思想；③分类讨论思想.用三角形内角平分线的性质定理解答下面的问题：图19—K—17如图19—K—17，在△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm.求BD的长．1．［解析］B°.°a〃b〃c.DE_AB_1EF=bc=2,2.［解析］B•・伽化，・・・誥_||,即3_EC，解得EC_2.3．D4.B5.［解析］C•DE〃BC,ADAEAGAEAGAEBDCE•*AB_AC，GF_EC，AF_AC，AD_AE，故选项A,B，D错误.故选C.6•［解析］C•.•DE〃BC,・・・ZADE_ZB_ZEFC,・・・EF〃AB,ADAE5CFCE••"BD_EC_3，・BF_AE_3555，・・・bf_3cf_3X6_io.易知四边形defb是平行四边形，・・・de_bf_i°.［解析］B如图，连接BD,与AC相交于O.VE,F分别是AD,AB的中点,AE：F是AABDAG1「AG1的中位线，・・・ef〃bd,・・・ao_2.又•••oa_oc,・gc_3.［］9ABDE13［解析］•••a〃b〃c,・・・BC_EF，即2_E：，解得EF_6.・・・DF_DE+EF_9.［答案］10［解析］•••BD〃AC,ODOB•*OC_OA，2_空3OA・OA_6，・AB_10.［答案］2：1［解析］由已知可得EF〃CD.又AB〃CD,・AB〃EF.•B0:C0_1：4,OE_EC,.•・0E:B0_2：1,・0F:OA_2：1.11.［答案］1［解析］VAD是厶ABC的中线，・BD_CD.•.•AE_EF_FC,・・・F是CE的中点,AGAE1.•・DF〃GE,・*AD_AF_2,12.解:Vl〃l〃l,123ABDE•*AC_DF，即缶_DF・「DE3AB3又7DF=7,bc=4，AAB+4=7,解得AB=3.13.［解析］根据平行线分线段成比例的性质，由DG〃EC，可推出AD：AE=AG：AC,由EG〃BC，可推出AG：AC=AE：AB，再通过等量代换可得AD：AE=AE：AB，即可证得结果.证明:•••DG〃EC,・・・AD：AE=AG：AC.•.•eg〃bc,.・.ag:AC=AE：AB，.•・AD:AE=AE：AB，即AE2=AB・AD.DGAE114.解:VAG#DE，•*BD_BE_3'DG1AFDG1••，，CD_3，.FC_CD_3'15解：(1)证明过程中用到的定理有：平行线的性质定理；等腰三角形的判定定理.(答案不唯一)(2)②转化思想.⑶TAD是角平分线,BDAB•'*DC_AC'又TAB=5cm，AC=4cm，BC=7cm，BD5・*7-BD_4,・BD=35"9(cm).33平行线分线段成比例定理讲义与习题练习问题：一组等距离的平行线截直线a所得的线段相等吗？，那么在直线b上所截的线段有什么关系呢?总结：一组等距离的平行线在直线a所截得的线段相等，那么在直线b上所截得的线段也相等.如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等•.•直线a〃b〃c,AB=BC.•.A'B'=BC。平行线分线段成比例定理：1.三条平行直线L//L//L截直线AE上的线段AC、CE长度之间（除相等外）存在着什么关系呢？同样截直123线BF上的线段BD、DF长度之间存在着什么关系呢？AC_2BD_2ACBD_2板：由Li//L2//L3可得：ce—3；DF—3所以：CE—DF~32•平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段的比相等。2L3观察上图我们容易发现下面结论成立.1．应用定理，等分线段（1）已知线段AB,你能它三等分吗？依据是什么？已知：线段AB（如图7）。如图7求作：线段AB的三等分点。选择题：（1）如右图，已知L//L//L，下列比例式中错误123的是：（）AC_BD~CE~~DFCE_DF~AE_~BFACBDB_AEBFAEBDD_BFAC22⑵如右图，已知Li//L2//L3，下列比例式中成立的是：（）AD_CE~DF~~BCCE_AD~DF~~BCADBCB_BEAFAFBED_DFCEL31L311根据学生的回答情况对定理最进行一次总结，重点是对应两字.例题：如图，已知L//L//L,123AB_BC_AC证明：DF.2•已知：如图13,AD是AABC的中线，E是AD的中点,AE的延长线交AC于F。求证：FC=2AF。推论：观察下图形后填空:12令A、D两点重合将有关线擦掉（BE〃CF,BE截AC、AF两边）令B、E两点重合AB在图3和图4中，都有BC_（12将有关线擦掉（AD〃CF,AD截CB、FB两边的延长线）推论:于三角形一边的直线截其他两边（或）,所得的线段成比例.几何语言:•:BE//CF（或AD〃CF）2．已知：如图，l1//l2//l3,AB=a,BC=b,DF=c，求EF.±±T=T!另外,根据比例性质，还可得到11=11,即同一比中的两条推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段的比相等（或成比例），那么这条直线平行于三角形的第三边为了使于记忆，上述&个可使用一^简单的形舉化的语言：-下下上上全全下下全全防===,,=,,线段不在同一直线上!也就是"看=【例1】如图，DE〃BC,且DB=AE，若AB=5,AC=10，求AE的长。上上’全全’上上’全全’下下•例2如图（1）,在AABC中，M是AC的中点,是AB上一点，且AE=-AB,4连接EM并延长，交BC的延长线于D，BCCD_•例3如图（2）,已知AABC中，AE:EB=1:3,则竺+型的值为（）FCFD53A.-B.lC.3D.2HYPERLINK\l"bookmark80"22(1)(2)BD:DC=2:1,AD与CE相交于F,FEC如图：AD为△ABC的中线，E为AC边上的一个三等分点，:BE和AD交于F，贝VAF/FD=练习：1如图，已知直线a〃b〃c,直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F,AC=4,CE=6,BD=3，贝VBF=•2已知，线段a,b、c,求作：线段a,b、c的第四比例项d3如图，平行四边形ABCD中，BC与AD的中点分别为E,F,且BF,DE与对角线AC交于点H,G.求证:AH=HG=GC.DC作业：1．判断题（1）三条平行线截两条直线，所得的线段成比例（）（2）—条直线交△ABC的边AB于点D,交AC边于点E,如果AB=9,BD=5,AC=3.5,AE=2，那么DE〃BC.(l〃l〃lACCEAE123'则BDdfbf(AD_AE(4)如图2,在△ABC中，DE^BC，贝U_瓦BC(3)如图1,DE_(2•选择题（1）如图3,在AABC中，DE^BC交AB于D,交AC于E,下列不能成立的比例式一定是（）AD_AEA_DBEC2)ABACB_BADAE如图4,E是□ABCD的边CD上一点,AC_ECc—CABCE=-CD3DBD．AD_DE,AD=12,那么CF的长为（）A•4B•6c•3D•12(3)如图5,□ABCD,E在CD延长线上，AB=10,DE=5,EF=6,则BF的长为()A.3B.6C.12D.16(4)如图6,在ABC中，AB=3AD,DE//BC,EF//AB,若AB=9,DE=2,则线段FC的长度是()（5）如图3,在AABC中，DE〃BC,DE分别与AB、AC相交于点D、E,若AD=4,DB=2，则AE:EC的值为（2©3A)0.5B)2D)3.填空题2)如图9,l//l//l123,AM=2,MB=3,CD=4.5,则ND=,CN=如图10,D、E分别为AB的三等分点，DF〃EG〃BC,若BC=12，则DF=―—EG=；如图11,AABC中，DE//BC,若AE:EC=2:3,DB-AD=3,则AD=/cNBB图9cE\AhD图8DB=图114•如图，已知△ABC中AB=AC,AD丄BC,M是AD的中点,图10CM交AB于P,DN〃CP交AB于N,若AB=6cm，求AP的值.5、如图：P是四边形OACB对角线的任意一点，且PM〃CB,PN〃CA,求证：OA：AN=OB：MBMONAaDE6、如图，△ABC中，AF:FD=1:5,BD=DC，求：AE:EC.6、如图，在AABC中，EFIICDDE〃BC，求证：AF・BD.-AD•FDC一、选择题（共8小题）1、（2011•肇庆）如图，已知直线a〃b〃c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4,TOC\o"1-5"\h\zCE=6，BD=3，贝VBF=（）A、7B、7.5C、8D、8.52、（2011・泰安）如图，点F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（）A、B、C、D、3、（2011•怀化）如图所示：AABC中，DEIBC，AD=5，BD=10，AE=3.贝VCE的值为（）A、9B、6C、3D、44、（2010•北京）如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE〃BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（）A、3B、C、6D、8第斗题易第1题團5、（2010•鞍山）如图，设M、N分别是直角梯形ABCD两腰AD、CB的中点，DE上AB于点E,将△ADETOC\o"1-5"\h\z沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE：BE等于（）A、2：1B、1：C、3：2D、2：36、（2009•上海）如图，已知AB〃CD〃EF，那么下列结论正确的是（）A、B、C、D、7、（2007•襄阳）如图，直线l］〃l2〃l3，另两条直线分别交1］、12、13于点A、B、C及点D、E、F，且AB=3,DE=4，EF=2，贝9（）A、BC：DE=1：2B、BC：DE=2：3C、BC・DE=8D、BC・DE=68、（2006•湘西州）如图，直线AB〃CD〃EF，若AC=3，CE=4，则的值是（）A、B、C、D、第庁题图第S题图9、如图，DE〃BC，DF〃AC，AD=4cm，BD=8cm，DE=5cm，求线段BF的长.平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1.平行线分线段成比例定理如下图’如果i//12//「则筹=DFAB_DEAC_DFAB_ACDE~DFl1l2l32.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE/BC，则AD_AE_DEAB一AC一BC43平行的判定定理：如上图’如果有AB_等_DC'那么de〃BC。专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例2】如图，DE〃BC，且DB_AE，若AB_5,AC_10，求AE的长。【例3】如图，已知AB//EF//CD，若AB=a，CD=b，EF=c，求证：1=-+1cabAEBFD【巩固】如图，AB丄BD，CD丄BD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EF丄BD，垂足为F.证明：丄+丄二丄.ABCDEF【巩固】如图，找出S、S、S之间的关系，并证明你的结论.AABDABEDABCD【例4】如图，在梯形ABCD中，AB〃CD，AB=12,CD=9，过对角线交点O作EF〃CD交AD,BC于E，F，求EF的长。【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD中，AD〃BC，AD=a,BC=b,E,F分别是AD,BC的中点，AF交BE于P，CE交DF于Q，求PQ的长。专题二、定理及推论与中点有关的问题【例5】（2012年北师大附中期末）（1）如图（1）,在AABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，且AE=-AB,4连接EM并延长，交BC的延长线于D，则BC=.CD（2）如图（2），已知AABC中，AE:EB=1:3，BD:DC=2:1则竺+兰的值为（FCFDA.52，AD与CE相交于F，B.1D.2C.2(2)【例6】（2011年河北省中考试题）如图，在AABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O•1)当AE=丄时，求AO的值；AC2AD2)当AE=丄、丄时，求AO的值；AC34AD3)试猜想AE1时AO的值，并证明你的猜想.ACn+1AD【例7】（2013年湖北恩施中考题）如图，AD是AABC的中线，点E在AD上，F是BE延长线与AC的交点.（1）如果E是AD的中点，求证：AF=-；FC2（2）由（1）知，当E是AD中点时，兰=-•竺成立，若E是AD上任意一点FC2ED（E与A、D不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立请说明理由.【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。求证：AF=EF。C【例8】（宁德市中考题）如图，AABC中，D为BC边的中点，延长AD至E，延长AB交CE的延长线于p。若AD=2DE，求证：AP=3AB。【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图，AABC中，BC=a，若D,E分11别是AB,AC的中点，则DE=-a；112若D、E分别是DB、EC的中点,22--则DE22若D、E分别是DB、EC的中点,3322若D、E分别是DB、EC的中点,nnn-1n-1专题三、利用平行线转化比例【例9】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P.求证：PM-PN=PR-PSA【巩固】已知，如图，四边形ABCD，两组对边延长后交于E、F，对角线BD〃EF，AC的延长线交EF于G.求证：EG=GF•【例10】已知：P为AABC的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交对边AC、AB于D、E，求证：兰+竺=1DCEB【例11】在AABC中，底边BC上的两点E、F把BC三等分，BM是AC上的中线，AE、AF分别交BM于G、H两点，求证：BG:GH:HM=5:3:2【例12】如图，M、N为AABC边BC上的两点，且满足BM=MN=NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F.求证：EF=3DE.B【例13】已知：如图，在梯形ABCD中，AB//CD，M是AB的中点，分别连接AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于点E，DB与MC交于F•（1）求证：EF//CD（2）若AB二a,CD二b，求EF的长.【巩固】（山东省初中数学竞赛题）如图，在梯形ABCD中，AD〃BC，AD=3,BC=9,AB=6,CD二4，若EF〃BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，求EF的长。【例14】（山东省竞赛题）如图，ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F，若AB=a,AD=c,BE=b，求BF的值。B【例15】已知等腰直角AABC中，E、D分别为直角边BC、AC上的点，且CE=CD，过e、D分别作AE的垂线，交斜边AB于L，K•求证：BL=LK•过手练习【习题1】如已知DE〃AB，OA2=OC-OE，求证：AD〃BC•【习题2】在AABC中，BD二CE，DE的延长线交BC的延长线于P,求证:AD-BP二AE-CP•【习题3】如图，在AABC的边AB上取一点D，在AC取一点E，使AD=AE，D1．选择题（1）如图5-27,AABC中，D在AB上，E在AC上，下列条件中，能判定DE〃BC的是（）直线DE和BC的延长线相交于P，求证：%=fl图5-283）如图5-29，△ABC中,C．aeADAE1猛=If=2，则a〉图5-27A.AD°AC=AE'ABB.AD°AE二EC°DBC.AD°AB二AE°ACD.BD°AC二AE*AB(2)如图5-28，l//l//l，z与z交于点P，PA=a,AB=b,BC=c,PD=d,DE12345e，EF=f，则bf=()A．B．图5-291C4(4)如图5-30，已知BN//AM,ND〃MC,那么有()图5-30PDPNPAPCA.=B.=DANMPBPDPANDC.=D•以上答案都不对PBMC1(5)如图5-31,H为口ABCD中AD边上一点，且AH=-DH,AC和BH交于点K,则AK:KC等于()图5-31A.1：2B.1：1C.1：3D.2：32.填空题(1)如图5-32，梯形ABCD中，AD/BC,延长两腰交于点E,若AD=2,BC=6,ABEDf则EC=——DE~DC图5-32(2)如图5-33，梯形ABCD中，DC〃AB,DC=4,AB=7,且MN^PQ^AB,DM=MP=P4,贝yMN=,PQ=；图5-33(3)如图5-34，梯形ABCD中，AB^CD,M为AB中点，分别连结AC、BD、MD、MC,且AC与MD交于E,BD与MC交于F,则EF与AB的位置关系是；3•如图5-35,2BC中,M为AC的中点，E为AB上一点，且AE4AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D,求证：BC=2CD.AFAD4•如图5-36在SC中，EF〃CD,DE〃Bc,求证：fdd6.如图5-38,M为口ABCD的边BC的中点，F为DC边上的点，BF交AM于N,交AC于E,且AN=3MN,求FC：AB的值.7.如图5-39，已知D是△ABC中AB边上一点，DEHBC交AC于E,连结CD,过E8.如图5-40,已知△ABC中，AB>AC,AD丄BC于D,F为BC中点，过F作BC垂线交AB于E,BD=6cm,DC=4cm,AB=8cm,求AE、BE的长.ABFDU9•如图5-41，已知AABC中，ZACBFO。，沐bfC:SAAFC=1：3,BC=12Cm，FE丄BC于E,求EB的长.10.如图5-42，已知：口ABCD对角线交于O,OE丄BC于E,交AB的延长线于F,若AB=a,BC=b,BF=c，求BE的长.参考答案（1）A（2）D（3）A（4）B（5）C11（1）3，2（2）5,6（3）平彳丁提示：过点C作CN//DE交AB于N.4206.7.略8.cm,一cm334.略5.1:109.3cmbc10a2c